数学物理方法傅里叶级数答案

实验二、傅里叶级数与傅里叶变换

一、傅里叶级数：

例题：绘制矩形函数

??H?f?t????0??及其频谱的图形。

??????t???2??2

??T??T??t??,?t???222??2

解：

f?t???HT??2Hk??2k?tsincos k?TTk?1?%Fig2d2.m

T=1;tau=0.2;H=1; t=-0.5*T:0.01:0.5*T; f=(t>=-tau/2 & t<=tau/2);

f1=((t-T)>=(-tau/2-T) & (t-T)<=(tau/2-T)); f2=((t+T)>=(-tau/2+T) & (t+T)<=(tau/2+T));

subplot(121)

plot([t-T t t+T],H*[f1 f f2]) axis([-2 2 0 H+0.3]) xlabel('t') ylabel('f(t)') title('矩形脉冲')

k=0:10;

wk=2*k*pi/T;

Ak=abs(2*H/T*sin(wk*tau/2)./(wk/2)); Ak(1)=2*H*tau/T; subplot(122) plot(k,Ak,'b--') hold on

stem(k,Ak,'o') xlabel('k') ylabel('A_k')

§8.7 周期函数的傅里叶函数

8.7.1 基本三角函数系简单的周期运动 : 复杂的周期运动 :(谐波函数)

( A为振幅, 为角频率, 为初相 )

An sin n cos n t An cos n sin n t令

(谐波迭加)

an An sin n , bn An cos n , a0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 2 k 1称上述形式的级数为三角级数.2

定理 1. 基本三角级数函数系 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在

上的积分等于 0 .证:

1 cos nxd x 1 sin nxd x 0 cos k x cos nx dx 1 2

cos(k n) x cos(k n) x d x 0 同理可证 : sin k x sin nx d x 0 (k n ) cos k x sin nx d x 0

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有

1 1dx 2

cos 2 n x d x

§8.7 周期函数的傅里叶函数

8.7.1 基本三角函数系简单的周期运动 : 复杂的周期运动 :(谐波函数)

( A为振幅, 为角频率, 为初相 )

An sin n cos n t An cos n sin n t令

(谐波迭加)

an An sin n , bn An cos n , a0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 2 k 1称上述形式的级数为三角级数.2

定理 1. 基本三角级数函数系 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在

上的积分等于 0 .证:

1 cos nxd x 1 sin nxd x 0 cos k x cos nx dx 1 2

cos(k n) x cos(k n) x d x 0 同理可证 : sin k x sin nx d x 0 (k n ) cos k x sin nx d x 0

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有

1 1dx 2

cos 2 n x d x

实验1：线性系统的时域分析及MathCAD实现

一. 实验目的:

1. 掌握信号的时域（连续函数和序列）的表示方法, 掌握信号的时域分析与变换，包

括信号的叠加，反转，平移，尺度变换。

2. 掌握信号的卷积包括连续函数和离散函数的卷积。 二．实验原理

1． 信号的表示方法

普通函数：连续函数f(t)=sinx , f(t)=e-at

离散函数(序列) f(n)=n2 f(n)=sin(nwt) 奇异函数：冲击函数 δ(t)、 阶跃函数 u(t)、 斜坡函数 p(t) 抽样函数、 单位冲击序列、单位阶跃序列。 2．信号的时域变换 叠加f(t)=f1(t)+f2(t) 反转f(-t)

尺度变换 f(at)

3．卷积

连续函数的卷积：f(t)?离散函数的卷积：f(n)??????f1(?)f2(t??)d?

m????f1(m)f2(n?m)

三．实验过程

a：函数的表示方法

b：信号的时域变换

5：已知函数

求f(1-2t)的波形 c：卷积 1：连续函数的卷积：

2：离散函数的卷积：

练习：求下列函数的卷积 （1）求f1*f1

（2）求f1(n)*f2(n)

实验1：线性系统的时域分析及MathCAD实现

一. 实验目的:

1. 掌握信号的时域（连续函数和序列）的表示方法, 掌握信号的时域分析与变换，包

括信号的叠加，反转，平移，尺度变换。

2. 掌握信号的卷积包括连续函数和离散函数的卷积。 二．实验原理

1． 信号的表示方法

普通函数：连续函数f(t)=sinx , f(t)=e-at

离散函数(序列) f(n)=n2 f(n)=sin(nwt) 奇异函数：冲击函数 δ(t)、 阶跃函数 u(t)、 斜坡函数 p(t) 抽样函数、 单位冲击序列、单位阶跃序列。 2．信号的时域变换 叠加f(t)=f1(t)+f2(t) 反转f(-t)

尺度变换 f(at)

3．卷积

连续函数的卷积：f(t)?离散函数的卷积：f(n)??????f1(?)f2(t??)d?

m????f1(m)f2(n?m)

三．实验过程

a：函数的表示方法

b：信号的时域变换

5：已知函数

求f(1-2t)的波形 c：卷积 1：连续函数的卷积：

2：离散函数的卷积：

练习：求下列函数的卷积 （1）求f1*f1

（2）求f1(n)*f2(n)

周期型方形信号的傅里叶级数展开

周期方形信号的傅里叶级数展开

提出问题：

用有限项傅里叶级数展开逼近周期方波信号。

设周期为1的方波信号由以下函数给出

??

???<=>=-<>=<->=+=)2且1(1)1且0()0且1(1)x (x x x x x x x x x f 。

利用Matlab 软件符号运算及绘图功能，观察方形信号由有限项傅里叶级数展开式的合成情况。

问题背景：

在信号分析与处理，特别是工程中，对于周期信号的处理通常采用傅里叶级数展开来进行分析，即频率分析法。在实际信号处理过程中，可以借助Matlab 软件来模拟傅里叶级数对于信号的逼近情况。

知识基础：

周期函数的傅里叶级数展开，Matlab 软件

实验过程：

对于周期为2π函数()f t , 满足Dirichlet 条件，则可展为傅里叶级数

经过傅里叶变换得到： ?????????---

+-

=∑∑∑∞∞∞111))

1(2sin(21)2sin(2

1))1(2sin(2

1)(x

k x k x k x f πππ 将级数展开式截断到有限项可用来逼近周期函数。利用Matlab 软件，编写程序如下： clear;clc;x=lin

周期方波的傅里叶级数

周期方形信号的傅里叶级数展开

提出问题：

用有限项傅里叶级数展开逼近周期方波信号。

设周期为2 的方波信号由以下函数给出

f(t) /4, 0 t 。

/4, t 2

利用Mathematica软件符号运算及绘图功能，观察方形信号由有限项傅里叶级数展开式的合成情况。

问题背景：

在信号分析与处理，特别是工程中，对于周期信号的处理通常采用傅里叶级数展开来进行分析，即频率分析法。在实际信号处理过程中，可以借助Mathematica软件来模拟傅里叶级数对于信号的逼近情况。

知识基础：

周期函数的傅里叶级数展开，Mathematica软件

实验过程：

对于周期为2 函数f(t), 满足Dirichlet条件，则可展为傅里叶级数

将级数展开式截断到有限项可用来逼近周期函数。利用Mathematica软件，编写程序如下： Clear[s,f,n,k,x,t,a,b,A,B]

f[t_]:=Piecewise[{{4/Pi,0 t

实验报告

课程名称 信号与线性系统分析

实验名称 周期信号的傅里叶级数和频谱分析 实验类型 验证 （验证、综合、设计、创新）

3日

实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析

1实验目的

1）学会利用MATLAB分析傅里叶级数展开，并理解傅里叶级数的物理含义； 2）学会利用MATLAB分析周期信号的频谱特性。

2实验原理及实例分析

周期信号可以再函数的区间里展成在完备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别成为“三角型傅里叶级数”或“指数型傅里叶级数”，统称为傅里叶级数。

2.1周期信号的傅里叶级数

（基本原理请参阅教材第四章的4.1节和4.2节。）

例1：周期方波信号f(t)如图1所示，试求出该信号的傅里叶级数，利用MATLAB编程实现其各次谐波的叠加，并验证Gibbs现象。

f(t)3210-1-2-3-2-1.5-1-0.50t(sec)0.511.52

图1 周期方波信号f(t)的波形图

解：从理论分析可知，周期方波信号f(t)的傅里叶级数展开式为

f(t)?1111(sin?0t?sin3?0t?sin5?0t?sin7

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Signals and Systems

第3章 周期信号的傅里叶级数表示 章Fourier Series Representation of Periodic Signals

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本章内容： 本章内容：Ⅰ. 周期信号的频域分析 Ⅱ. LTI系统的频域分析 系统的频域分析 Ⅲ. 傅里叶级数的性质

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本章的目录: 本章的目录:3.0 引言 3.1 历史回顾 3.2 LTI系统对复指数信号的响应 系统对复指数信号的响应 3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 3.4 傅里叶级数的收敛 3.5 连续时间傅里叶级数性质 3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示 3.7 离散时间傅里叶级数性质 3.8 傅里叶级数与 傅里叶级数与LTI系统 系统 3.9 滤波 3.10 用微分方程描述的连续时间滤波器举例 3.11 用差分方程描述的离散时间滤波器举例 3.12 小结

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3.0 引言 Introduction时域分析方法的基础： 时域分析方法的基础： 信号在时域的分解。 1) 信号在时域的分解。2) LTI系统满足线性、时不变性。 系统满足线性、 系统满足线性 时不变性。

从分解信号的角

热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：

其中：

?

u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。

? ? ?

/,

是空间中一点的温度对时间的变化率。 与

温度对三个空间座标轴的二次导数。

k 决定于材料的热传导率、密度与热容。

热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。

如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。

热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。 利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式

其中的 是对空间变量的拉普拉斯算子。

热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用