高中数学基本不等式教学反思

《基本不等式》的教学反思

一、教学目标

理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释

二、教学重点、难点

教学重点：两个不等式的证明和区别

教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵

三、教学过程

提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD中有

4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？

22a b）

提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？ （2ab ）

提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们

22可得容易得到一个不等式，a b 2ab。什么时候这两部分面积相等

呢？

（当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b时，正方形EFGH

22变成一个点，这时有a b 2ab）

22ba b 2ab，当且仅a1、一般地，对于任意实数 、，我们有

当a b时，等号成立。

提问4：你能给出它的证明吗？

2222a b 2ab (a b)当a b时，(a b) 0 证明:

当a b时，(a b)2 0

22所以 a b 2ab

22注意强调 （1） 当且仅当a b时, a b 2ab

(2)特别地,如

基本不等式

【知识梳理】

1．重要不等式

当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．基本不等式

a＋b

（1）有关概念：当a，b均为正数时，把2叫做正数a，b的算术平均数，把ab叫做正数a，b的几何平均数．

（2）不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算a＋b

术平均数，即ab≤2，当且仅当a＝b时，等号成立．

?a＋b?2

?，a＋b≥2 ab(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等(3)变形：ab≤?

?2?号成立)． 【常考题型】

题型一、利用基本不等式证明不等式

【例1】 已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. [证明] 由基本不等式可得： a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2， 同理：b4＋c4≥2b2c2， c4＋a4≥2a2c2，

∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2， 从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 【类题通法】

1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．

。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 §5不等式的应用

[对应学生用书P24]

利用不等式解决实际问题中的大小问题 [例1] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m≠n，甲、乙二人谁先到达指定地点？

[思路点拨] 本题考查比较法在实际问题中的应用，考查应用意识及运算求解能力． [精解详析] 设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有：

t1

t1ssm＋n＝s，＋＝t2. 222m2n2ssm＋n，t2＝， m＋n2mn2ssm＋n－ m＋n2mn2

∴t1＝

∴t1－t2＝

s[4mn－m＋n＝

2mnm＋n]sm－n＝－. 2mnm＋n2

其中s，m，n都是正数，且m≠n， ∴t1－t2<0，即t1

从而知甲比乙先到达指定地点．

对于实际问题中的大小、优秀、强弱等比较问题，通常需阅读理解，建立式子的大小比较模型，然后用求差比较法或求商比较法或直接用平均值、不等式等比较出大小关系，从而使问题得解．

1．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用

3.4基本不等式（第一课时）

一、教学目标

1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；

2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；

3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；

4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式ab?a?b的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解2决问题的能力，体会方法与策略．

以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．

二、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式ab?明过程；

难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式． 三、教学过程： 1．动手操作，几何引入

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互

基本不等式

【教学目标】

1、掌握基本不等式，能正确应用基本不等式的方法解决最值问题

2、用易错问题引入要研究的课题，通过实践让同学对基本不等式应用的二个条件有进一步的理解

3、会应用数形结合的数学思想研究问题 【教学重点难点】

教学重点: 基本不等式应用的条件和等号成立的条件 教学难点：基本不等式等号成立的条件 【教学过程】

一、设置情景，引发探究 问题一：x?1有最小值吗？ x2问题二：x?3?1x?32?2正确吗？

二、合作交流，研究课题

R中，a+b≥2ab，a+b≥?2ab，当且仅当a=b时取到等号。

2

2

2

2

a2?b2a?b2 R中，当且仅当a=b时取到等号。 ??ab?，1122?ab?注意：1、公式应用的条件 2、等号成立的条件 三、实例分析，深化理解 例1、求所给下列各式的最小值 （1）y?a?

1(a?3) a?31(a?3)?3?2?3?5,a?3

1当且仅当a?3??a?3?1?a?4时，ymin?5。a?3x2?2x?2(?1?x?1) （2）y?2x?2y?a?3?(x?1)2?1x?11 y???2(x?1)22(x?1)在(-1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增， 当且仅当

x?11

基本不等式

【教学目标】

1、掌握基本不等式，能正确应用基本不等式的方法解决最值问题

2、用易错问题引入要研究的课题，通过实践让同学对基本不等式应用的二个条件有进一步的理解

3、会应用数形结合的数学思想研究问题 【教学重点难点】

教学重点: 基本不等式应用的条件和等号成立的条件 教学难点：基本不等式等号成立的条件 【教学过程】

一、设置情景，引发探究 问题一：x?1有最小值吗？ x2问题二：x?3?1x?32?2正确吗？

二、合作交流，研究课题

R中，a+b≥2ab，a+b≥?2ab，当且仅当a=b时取到等号。

2

2

2

2

a2?b2a?b2 R中，当且仅当a=b时取到等号。 ??ab?，1122?ab?注意：1、公式应用的条件 2、等号成立的条件 三、实例分析，深化理解 例1、求所给下列各式的最小值 （1）y?a?

1(a?3) a?31(a?3)?3?2?3?5,a?3

1当且仅当a?3??a?3?1?a?4时，ymin?5。a?3x2?2x?2(?1?x?1) （2）y?2x?2y?a?3?(x?1)2?1x?11 y???2(x?1)22(x?1)在(-1,0)上单调递减，在[0,1]上单调递增， 当且仅当

x?11

学习必备 欢迎下载

一. 教材分析

1、教材地位和作用

本节是选自人教社普通高中课程实验标准 数学（必修5）《不等式》一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．同时也是为了以后学习（选修4—5）《不等式选讲》中的几种重要不等式，以及不等式的证明作铺垫，起着承上启下的作用。

本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节课可以培养学生应用数学知识灵活解决实际问题的能力，是学数学用数学的好素材。同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质。

“基本不等式”在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值是高考的热点。它在科学研究、经济管理、工程设计上都有广泛的作用。

2、教学目标 A．知识目标：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的

不等号“≥”取等号的条件.

B．能力目标：通过实例探究基本不等式；

C．情感目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

3、教学重点、难点： a?b重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab?的证明过程；

2a?b难点：用基本不等式求最大最小值，

。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 §5不等式的应用

[对应学生用书P24]

利用不等式解决实际问题中的大小问题 [例1] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m≠n，甲、乙二人谁先到达指定地点？

[思路点拨] 本题考查比较法在实际问题中的应用，考查应用意识及运算求解能力． [精解详析] 设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有：

t1

t1ssm＋n＝s，＋＝t2. 222m2n2ssm＋n，t2＝， m＋n2mn2ssm＋n－ m＋n2mn2

∴t1＝

∴t1－t2＝

s[4mn－m＋n＝

2mnm＋n]sm－n＝－. 2mnm＋n2

其中s，m，n都是正数，且m≠n， ∴t1－t2<0，即t1

从而知甲比乙先到达指定地点．

对于实际问题中的大小、优秀、强弱等比较问题，通常需阅读理解，建立式子的大小比较模型，然后用求差比较法或求商比较法或直接用平均值、不等式等比较出大小关系，从而使问题得解．

1．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用

最新中小学教案试题试卷习题资料

第2课时 基本不等式的应用

课后篇巩固探究

A组

1.函数f(x)=x+-1的值域是()

A.(-∞,-3]∪[5,+∞)

B.[3,+∞)

C.(-∞,-5]∪[3,+∞) D.(-∞,-4]∪[4,+∞)

解析当x>0时,x+-1≥2-1=3,当且仅当x=2时,取等号;当x<0

时,x+-1=--1≤-5,当且仅当x=-2时,取等号.所以函数的值域为(-∞,-5]

∪[3,+∞). 答案C 2.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=()

A.1+B.1+ C.3D.4

解析f(x)=x+=x-2+

+2.∵x>2,∴x-2>0. ∴f(x)=x-2++2≥2+2=4,

当且仅当x-2=,

即x=3时,等号成立. 又f(x)在x=a处取最小值,

∴a=3. 答案C3.周长为4+2的直角三角形的面积的最大值是()

A.2B.1C.4D.

,于是依题意有a+b+解析设两条直角边长分别为a,b,则斜边长为基本不等式知a+b+=4+2.由

=4+2≥2,即≤2,所以ab≤4,当且仅当a=b=2时,取等

最新中小学教案试题试卷习题资料

号.故三角形的面积S=ab≤2.1

最新中小学教案试题试卷习题资料

答案A4.若x

2020年高中数学必修5《基本不等式》精品教案精编版

精品好文档，推荐学习交流

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 课题： 基本不等式：2b a ab +≤（第一课时）

教材：人教版高中课程标准实验教科书《数学·必修5》第三章第四节

1 教材分析

本节书介绍了两个不等式定理：（1）、如果R b R a ∈∈,，那么ab b a 222≥+①；（2）、如果0,0>>b a ，那么2

b a ab +≤②。这两个定理是解决一些数学问题和实际应用问题的重要的数学方法。本节书教学共需3课时，这是第一课时，主要是了解探索基本不等式的证明过程，熟悉基本不等式的结构，为下节基本不等式的应用做准备（以下用①②代替两个定理）。

2 学生分析

有了前面“不等式性质”的学习，学生要理解这两个定理难度并不大。针对学生求知欲旺盛的特点，在教学中，以思考、探索、讨论为主要方法，适当加以讲解，使学生自己收获结论、总结方法，动手解决实际问题，并且增强学习数学的的信心。

3 教学策略

（1）、以“孔融选蛋糕”为例引入，课件辅助，引导学生探究①的证明，并总结证明方法；利用正方形和弦图让学生了解①的几何意义，同时介绍“国际数学家大会”，培养学生的民族自豪感和使命感。

（2）、利用①式，通过