高中数学空间向量及其线性运算

课题：空间向量及其线性运算（人教A版 3.1.1+3.1.2部分内容）

? 教学内容解析：

本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-1）》（人教A版）第3章“空间向量与立体几何”第1节“空间向量及其加减运算”和第2节“空间向量的数乘运算”的部分内容。

向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算本身又是一个“图形”所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁在很多数学问题的解决中有着重要的应用。本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。本小节的主要内容可分为两部分一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始课，是学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养。

? 学情分析：

1.学生已经学习过平面向量的概念及其相关运算，为本节空间向量及其线性运算的学习打下了坚实的知识基

课题：空间向量及其线性运算（人教A版 3.1.1+3.1.2部分内容）

? 教学内容解析：

本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-1）》（人教A版）第3章“空间向量与立体几何”第1节“空间向量及其加减运算”和第2节“空间向量的数乘运算”的部分内容。

向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算本身又是一个“图形”所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁在很多数学问题的解决中有着重要的应用。本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。本小节的主要内容可分为两部分一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始课，是学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养。

? 学情分析：

1.学生已经学习过平面向量的概念及其相关运算，为本节空间向量及其线性运算的学习打下了坚实的知识基

。 。 。 内部文件，版权追溯 3.1.2 空间向量的基本定理

课堂探究

探究一 共线向量定理的应用

判定向量共线就是利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立．同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即向量a与b共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线．

【典型例题1】 如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点．判断CE与MN是否共线？

→→

思路分析：由共线向量定理，要判断CE与MN是否共线，即看能否找到x，使CE＝xMN成立．

解：∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，

→→→→→→→→1→→1→∴MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB.

22

1→→→1→→→→→→又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－CA＋CE－AF－FB，

221→→1→1→→→1→∴CA＋AF＋FB＝－CA＋CE－AF－FB， 2222

→→→→→→→→∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)＝2MN，

∴CE∥MN，即CE与MN共线． 探究二 共面向量定理的应用

判断三个(或三个以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，

。 。 。 内部文件，版权追溯 3.1.2 空间向量的基本定理

课堂探究

探究一 共线向量定理的应用

判定向量共线就是利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立．同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即向量a与b共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线．

【典型例题1】 如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点．判断CE与MN是否共线？

→→

思路分析：由共线向量定理，要判断CE与MN是否共线，即看能否找到x，使CE＝xMN成立．

解：∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，

→→→→→→→→1→→1→∴MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB.

22

1→→→1→→→→→→又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－CA＋CE－AF－FB，

221→→1→1→→→1→∴CA＋AF＋FB＝－CA＋CE－AF－FB， 2222

→→→→→→→→∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)＝2MN，

∴CE∥MN，即CE与MN共线． 探究二 共面向量定理的应用

判断三个(或三个以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，

。 。 。 内部文件，版权追溯 3.1.2 空间向量的基本定理

课堂探究

探究一 共线向量定理的应用

判定向量共线就是利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立．同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即向量a与b共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线．

【典型例题1】 如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点．判断CE与MN是否共线？

→→

思路分析：由共线向量定理，要判断CE与MN是否共线，即看能否找到x，使CE＝xMN成立．

解：∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，

→→→→→→→→1→→1→∴MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB.

22

1→→→1→→→→→→又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－CA＋CE－AF－FB，

221→→1→1→→→1→∴CA＋AF＋FB＝－CA＋CE－AF－FB， 2222

→→→→→→→→∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)＝2MN，

∴CE∥MN，即CE与MN共线． 探究二 共面向量定理的应用

判断三个(或三个以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，

2．2.2 向量减法运算及其几何意义

1.相反向量

2．向量的减法

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量的差仍是一个向量．(

)

(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( )

(3)

向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．( )

(4)相反向量是共线向量．( )

答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√

2．做一做

(1)非零向量m 与n 是相反向量，下列不正确的是( )

A ．m ＝n

B ．m ＝－n

C ．|m |＝|n |

D ．方向相反

答案 A

解析 相反向量是模相等、方向相反的向量，故B ，C ，D 都正确．

(2)(教材改编P 87T 2)OB →－OA →＋BA →

＝________.

答案 0

解析 OB →－OA →＋BA →＝AB →＋BA →

＝0.

(3)四边形ABCD 是边长为1的正方形，则|AB →－AD →

|＝________. 答案 2

解析 AB →－AD →＝DB →

，

∵|AB →|＝|AD →|＝1，∴|BD →|＝2，

∴|AB →－AD →|＝|DB →|＝ 2.

探究1 向量的减法运算

例1 化简：(1)(AB →－CD →)－(AC →－BD →

)；

(2)(AC →＋

2．2.2 向量减法运算及其几何意义

1.相反向量

2．向量的减法

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量的差仍是一个向量．(

)

(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( )

(3)

向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．( )

(4)相反向量是共线向量．( )

答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√

2．做一做

(1)非零向量m 与n 是相反向量，下列不正确的是( )

A ．m ＝n

B ．m ＝－n

C ．|m |＝|n |

D ．方向相反

答案 A

解析 相反向量是模相等、方向相反的向量，故B ，C ，D 都正确．

(2)(教材改编P 87T 2)OB →－OA →＋BA →

＝________.

答案 0

解析 OB →－OA →＋BA →＝AB →＋BA →

＝0.

(3)四边形ABCD 是边长为1的正方形，则|AB →－AD →

|＝________. 答案 2

解析 AB →－AD →＝DB →

，

∵|AB →|＝|AD →|＝1，∴|BD →|＝2，

∴|AB →－AD →|＝|DB →|＝ 2.

探究1 向量的减法运算

例1 化简：(1)(AB →－CD →)－(AC →－BD →

)；

(2)(AC →＋

3.1.1-3.1.2 空间向量的数乘运算

[课时作业] [A组 基础巩固]

1．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则( ) A．m，n，p共线 B．m与p共线 C．n与p共线

D．m，n，p共面

解析：由于(a＋b)＋(a－b)＝2a， 即m＋n＝2p，即p＝11

2m＋2n，

又m与n不共线，所以m，n，p共面． 答案：D

2．已知正方体ABCD-A→1→→→→→

1B1C1D1中，A1E＝4A1C1，若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则( )

A．x＝1，y＝1

2

B．x＝1

2，y＝1

C．x＝1，y＝1

3

D．x＝1，y＝1

4 解析：→AE＝AA→A→→1→

1＋1E＝AA1＋4A1C1

＝AA→1→→11＋4(AB＋AD)，所以x＝1，y＝4.

答案：D

3．已知空间向量a，b，且→AB＝a＋2b，→BC＝－5a＋6b，→

CD＝7a－2b，则一定共线的三点是( A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D

D．A，C，D 解析：∵→BD＝→BC＋→CD＝2a＋4b＝2→

AB，∴A，B，D三点共线． 答案：A

4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有( ) ①→OA

8.6 空间向量及其运算

一、选择题

1．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )．

A．{a，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b}

B．{b，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}

解析 若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋

b，a－b可构成空间向量的一组基底． 答案 C

2．以下四个命题中正确的是( )．

A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底

→

→

C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底

解析 若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－λ－1μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b1－μλ＋μ＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾． 1－μ答案 B

3．有下列命题：

①若p＝xa＋y

空间向量及其运算

1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下

?????OB?OA?AB?a?b;BA?OA?OB?a?b;OP??a(??R)

????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a

??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b

a3．平行六面体：

?平行四边形ABCD平移向量a到A?B?C?D?的轨迹所形成的几何体，

D'A'B'C'DC叫做平行六面体，并记作：ABCD－A?B?C?D?它的六个面都是平行四边A形，每个面的边叫做平行六面体的棱 B4. 平面向量共线定理

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．

????向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.

?要注意其中对向量a的非零要求．

5 共线向量

如果表示空间向量的有向线