微元法的实质

在这里起航制作室制作 Ttangjianwei@126.com

微元法

（唐建伟）

（天水师范学院 数学与统计学院 数学与应用数学 甘肃天水 741001）

摘要 现在我们求：如果所求量Ф是分布在某区间【a，b】上的，或

者说它是该区间端点x的函数，即Ф=Ф（x），x∈[a,b],而且当x=b时，Ф（b）适为最终所求的值。

关键词 微元法、平面图形面积、立体体积、曲线弧长

引言 定积分的所有问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”

三个步骤导出所求量的积分形式。但为了简便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”。本节将采用此法来处理。

正文

在任意小区间[x，x+Δx]包含于[a，b]，恰当选取Φ微小增量ΔΦ的近似可求量Δ'Φ（所谓ΔΦ的近似可求量是指用来近似代替ΔΦ的有确定意义而且可计算量。例如：当Φ是由函数f确定的曲边梯形的面积时，Δ'Φ是以f（x）为长、Δx为宽 矩形的面积；当Φ是已知平行截面面积A(x)的集合体的体积时，Δ'Φ是以面积为A（x）的截面为底、Δx为高的柱体的体积。这里矩形的面积和柱体的体积都是有确定意义的，而可以利用公式进行计算）。若能把Δ'Φ近似表示

三、微元法

方法简介

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。

赛题精讲

例1：如图3—1所示，一个身高为h的人在灯以悟空速度v沿水平直线行走。设灯距地面高为H ，求证人影的顶端C点是做匀速直线运动。

解析：该题不能用速度分解求解，考虑采用“微元法”。 设某一时间人经过AB处，再经过一微小过程Δt（Δt→0），则人由AB到达A′B′，人影顶端C点到达C′点，由于ΔSAA′= vΔt则人影顶端的移动速度：

H?SAA??SCC?HH?hvC =lim=lim=v ?t?0?t?0?tH?h?t

可见vc与所取时间Δt的长短无关，所以人影的顶端C点做匀速直线运动。 例2：如图3—2所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀

微元法在解题中的应用

江苏省镇江第一中学 邹建平

随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围，为高中物理的学习提供了更好的数学工具，使得高中物理不仅可以从研究方法上得到提升，这也就使得学生利用数学方法处理物理问题的能力得到很大的提高。在教学中渗透微元思想，对加深学生对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力将起到重大的作用．比如：位移对时间的变

dxdv，求位移：x??vdt；速度对时间的变化率——加速度：a?，dtdtdp求速度v??adt；动量对时间的变化率——力：F?，求冲量I??p??Fdt；磁通量对时

dtd?间的变化率——感应电动势：E?；通过导体某一截面的电量对时间的变化率——电流强度：

dtdqdWI?，求电量q??idt；功对时间的变化率——瞬时功率：P?，求功W??Fdx；穿

dtdtd?过线圈的磁通量对时间的变化率——感应电动势：E?n。学生掌握微元思想对这些物理概

dt化率——瞬时速度：v?念、规律的理解，拓宽知识的深度和广度，开拓解决物理问题的新途径，是认识过程中的一次“飞跃”。

一、用微元法解题的基本方法和步骤

例. 如图所示，水平放置的导体电阻为R ，R与两根光滑的平行金属导

第六章 微元法的应用 ..................................................................................................................... 2 §6.1 微元法 .................................................................................................................................. 2 §6.2 定积分在几何学中的应用 .................................................................................................. 4 §6.3 定积分在物理学中的应用 .................................................................................................. 9 §6.4 定积分在其它领域的应用 ...

什么是实质正义 相关概念：形式正义 经济法的实质正义 内涵、怎样产生的

经济法实质正义的价值构成 实质公平、平等自由、理性秩序

正义的产生根源于人类利己的本性和利益的纷争,正义是法律的理想和终极目标。尽管部门法之间关于正义的解释存在不同的视角,也有不同的侧重和取舍,但始终围绕着自由、公平、秩序等价值元素。

法律形式正义的困境与经济法实质正义的产生

由于主张法律形式主义的立法导向和司法结果,在法律适用中完全回避了主体人格现实经济地位的差异,忽视了法律规则的凝固与滞后性问题,由此使法律实质上演变为保护社会强者的工具,在维护形式正义的同时也维护着某些实质上的非正义。

民商法试图通过确立特殊原则或规则以弥补法律形式主义的局限并不十分有效,对于社会性利益的损害和经济强者与弱者之间的利益失衡,私法救济始终存在难以克服的局限。私法的局限为经济法提供了舞台,通过特别立法的形式提供统一法律依据,对社会经济秩序进行干预和规制显得十分必要。

经济法实质正义的基本内涵和价值构成

实质正义及其基本内涵:在社会经济领域,主张实质而非形式的机会公平;关注具体而非抽象的人格平等;强调全局性而非局部性的社会利益;并通过“利益倾斜性配置”来调节和消除基于出身、禀赋等偶然因

复分解反应的实质(课件)

复分解反应的实质与离子共存复分解反应的实质是：两种离子 反应生成水或气体或沉淀 。

复分解反应的实质(课件)

1.H+和OH-反应生成H2O。 2.H+和CO32-、HCO3-反应生成H2O和 CO2气体。 3.NH4+和OH-会生成NH3和H2O。 4.Ca2+与CO32-反应生成CaCO3沉淀。 Cu2+、Fe3+都与OH-会生成Cu(OH)2、 Fe(OH)3沉淀，Ag+与Cl-生成AgCl沉 淀，Ba2+与SO42-、 CO32-生成BaSO4 和BaCO3沉淀。

复分解反应的实质(课件)

总结： 1.初中化学常见的7个沉淀：AgCl、BaSO4、BaCO3 CaCO3、Mg(OH)2 、Cu(OH)2、Fe(OH)3 2.生成水的几种类型： H+ + OH- = H2O 2H+ + CO32- = CO2↑ + H2O

H+ + HCO3- = CO2↑ + H2ONH4+ + OH- = NH3 ↑ + H2O

3. 生成气体的几种类型：2H+ + CO32- = CO2↑ + H2O H+ + HCO3- = CO2↑ + H2O

NH4+ + OH- = NH3 ↑ + H2O

复分解反应的实质(课件)

开设小、初、高全课程辅导 学习成就梦想

消元法解题

当一个题目中含有两个或两个以上的未知数时，我们可以通过比较条件，分析对应的未知数量的变化情况，设法消去其中的一个未知数量，从而把一道数量关系复杂的题目变成简单地题目解出来，这种解题方法就是消元法。解答时注意以下几点：

1、把条件写成几个等式，并排列在一起进行比较，如果有一种量的数相同，就很容易把这种量消去。

2、如果两种量的数都不相同，可以用一个数去乘等式的两边，使其中的一个量的数相同，然后消去这个量。 3、解答后，可以把结果代入条件列出的每一个等式中计算，检验是否符合题意。

重点点拨：

例1、3袋大米和5袋面粉共重135千克；9袋大米和4袋面粉共重240千克。求每袋大米重多少千克？每袋面粉重多少千克？

例2、买4个水瓶和10个水杯要用112元钱，若买同样的3个水瓶和8个茶杯要用86元钱。水瓶和茶杯的单价各是多少元？

例3、学校第一次购买了6个排球和6个足球，共用去366元，第二次购买了同样的5个排球和4个足球，共用去269元。每个排球多少元？每个足球多少元？

开设小、初、高全课程辅导 学习成就梦想

例4、购买5千克苹果和3千

l—2 有限单元法的特点在实际工作中，人们发现，一方面许多力学 问题无法求得解析解答，另一方面许多工程问 题也只需要给出数值解答，于是，数值解法便 应运而生. 力学中的数值解法有两大类型.其一是对微 分方程边值问题直接进行近似数值计算，这一 类型的代表是有限差分法；其二是在与微分方 程边值问题等价的泛函变分形式上进行数值计 算，这一类型的代表是有限单元法.

有限差分法的前提条件是建立问题的基本微分 方程，然后将微分方程化为差分方程(代数方程) 求解，这是一种数学上的近似.有限差分法能 处理一些物理机理相当复杂而形状比较规则的 问题，但对于几何形状不规则或者材料不均匀 情况以及复杂边界条件，应用有限差分法就显 得非常困难，因而有限差分法有很大的局限 性.计算结果已成为各类工业产品设计和性能 分析的可靠依据.大型通用有限元分析软件不 断吸取计算方法和计算机技术的最新进展，将 有限元分析、计算机图形学和优化技术相结合， 己成为解决现代工程学问题必不可少的有力工 具.

有限单元法的基本思想是里兹法加分片近 似.将原结构划分成许多小块，用这些离散单 元的集合体代替原结构，用近似函数表示单元 内的真实场变量，从而给出离散模型的数值 解.由于是分片近似，可采用

IPO实质性的东西没有改变

圈钱发行优先股的基本是负债率高的公司

什么样的企业会去发优先股?轻资产行业本身不需要大量负债，重资产行业有大量的固定资产可以做抵押贷款，强现金流行业直接发ABS

优先股的就两个特点，第一股息高，第二优先清偿。这个金融结构基本上就是为高负债的但是现金流有严重问题的垃圾资产设计的。因为只有高负债行业才有可能通过高杠杆将优先股的成本摊薄。

2008年整个资本市场frozne，大家都认为高盛下面一堆有毒资产，高盛在市场上一毛钱都借不到。这种山穷水尽的情况下高盛才发那么高利率的优先股。后来高盛的现金流缓过来，他就尽快赎回优先股,这么高的债务成本对股东伤害太大。美国的优先股市场上80%都是金融和地产公司发行的来看看国家鼓励优先股

就是解决一大坨债务问题，这个金融工具，对城投公司，中小城商行来说简直就是天大的馅饼

圈钱的东东是利好吗

如果没有现金还不出利息，那么就是债券违约，这对于中国的债券市场是一个巨大冲击。那么现在有了优先股这个东西，先找冤大头发一把优先股，把城投债换下来。债务违约就木

有鸟。没钱怎么发高股息捏？设计一个累积红利条款，没钱就挂账哈，等啥时候有钱了再说哈。看看5月以来的债券市场

熊优先股可解决公司融资问题，改善

"#+*

!

月

"学术论文"

用于弹性波方程模拟的基于逐元技术的谱元法"

$

林伟军"!王秀明"!!张海澜"

":中国科学院声学研究所!北京"##*#*$:(DSQUO;2AC1;9.!)QQ(!OULC5""!#!

!!B),T;=G3C1C/AEL;321;"#$!)9?2A/10/J4JO

摘要!!由于结合了谱方法和有限元法的优势!谱元法为弹性波方程的数值模拟提供了一种新的有效工具:文中从弹性动力学方程的弱形式出发!详细阐述了使用M;;3<A;正交多项式展开的谱元法4基本理论及相应数学公式:单元内的弹性波场用高阶M/A/3;插值近似!而每个单元上的数值积分44采用P/9??’MCX/22C’M;;3<A;积分方法:如此可得到对角形式的全局质量阵!简化了运算:逐元技术4被用于M;;3<A;谱元程序中!极大地减少了内存和计算需求:最后!四个数值算例被用于验证这种4谱元法的高精度和强适应性:同时证明这种新的谱元法很适合用于那些具有复杂结构!包括起伏自由表面的非均匀介质中的弹性波模拟:

关键词!!谱元!699;<(9多项式!弹