解析函数孤立奇点的分类

留数的课件

解析函数的孤立奇点与留数留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志； 留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留 数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。 数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。 一.孤立奇点及其分类: 孤立奇点及其分类: 1.定义 若f(z)在z0不解析 但在 0的某一去心邻域 定义 在 不解析, 但在z 0<|z z0|<δ 内解析 则称 0为f(z)的孤立奇点 内解析, 则称z 的孤立奇点. 由定义可知， 由定义可知，若z0为f(z)的孤立奇点，则意味 的孤立奇点， 着在z 的某个领域里只有z 一个奇点。 着在 0的某个领域里只有 0一个奇点。 并非所有的奇点都孤立，例如： 并非所有的奇点都孤立，例如：f (z) = 1 1 sin z

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2. 分类 由Laurent级数中负幂项的个数来分类 Laurent级数中负幂项的个数来分类 级数中负幂项的个数 的孤立奇点, 设z0为f(z)的孤立奇点, 则f(z)在0<|z z0|<δ 内 的孤立奇点 在 cn (z z0 )n . 解析， 解析， Laurent展式为 n∑ 展式为 = ∞∞

1).若无负幂项, 则称 0为f(z)的可去奇

3 孤立奇点类型的应用

孤立奇点的一个重要应用就是孤立奇点处的留数的计算，不同孤立奇点处的留数计算方法不同，所以我们必须正确判断孤立奇点的类型，我们通常遇到的是极点处的留数计算． 3.1 留数的定义

定义6：设z0是解析函数f(z)的孤立奇点，我们把f(z)在z0处的洛朗展开式中负一次幂项的系数C?1称为f(z)在z0处的留数．记作

Res[f(z),z0]，

即

Res[f(z),z0]=C?1．

显然，留数C?1就是积分绕z0的闭曲线．

从留数的定义可以看到，如果z0是f(z)的可去奇点，那么Res[f(z),z0]?0．如果

1f(z)dz的值，其中C为解析函数f(z)的z0的去心邻域内2?i?Cz0是本质奇点，那就往往只能用把f(z)在z0展开成洛朗级数的方法来求C?1．若z0是极

点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数． 3.2 函数在极点处的留数

在求极点处的留数时，为了避免每求一个极点处的留数，都要去求一次洛朗展式，所以，给出下面的几个定理来求n阶极点处留数的公式． 3.2.1 简单法则

法则1：设a为f?z?的n阶极点，

f?z??其中，??z?在a点解析，??a??0，则

??z??z?a?lim??z?a

复变函数课件

华东理工大学《复变函数与积分变换》 华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案East china university of science and technology

第五章 留数及其应用 孤立奇点的概念 留数的定义、计算、留数定理 留数的定义、计算、 留数定理的应用(积分计算) 留数定理的应用(积分计算)

复变函数课件

华东理工大学《复变函数与积分变换》 华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教案East china university of science and technology

5.1 孤立奇点的分类1、孤立奇点的定义 、若 f ( z )在 z 0 点不解析 (即奇点 ) 但在 z 0 的某个邻域内解析 ，

的孤立奇点。 则称 z 0 为 f ( z )的孤立奇点。例：1 sin z z = 0是 的孤立奇点。 、 e z 的孤立奇点。 z

1 f (z) = 有两个孤立奇点 z = i , z = 1 ( z i )( z + 1)

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篇一：中国人移民美国的生活自白：孤立无援

中国人移民美国的生活自白：孤立无援

点评：在国内移民家长沾沾自喜，总好像高人一等，其实到了国外才知道并非如此，语言文化的隔阂总觉得好像难以跨越的鸿沟。也许这种感觉需要二三代人才能弥合或者说适应国外的生活，就像美国驻中国大使骆家辉一样。已经完全成为美国人。因为作为移民，他们的血液里还是中国文化，如果完全变成外国文化一定需要时间。

2012年10月24日

15:04和讯网

南桥撰文：斯坦福大学博士王庆根学业和事业都很成功，却因抑郁症自杀，留下儿女。他的经历和我惊人相似，美国生存的压力究竟有多大？移民(微博)后为什么还会抑郁？ 南大校友王庆根，原为奥赛金牌得主，斯坦福大学化学博士，Paypal的首席工程师，可以说学业和事业都很成功，却因抑郁症自杀，留下一双儿女。

王博士的经历和我惊人地相似，我自己还苟活着，但同病相怜，觉得我们这些在美国生活得时间比较久的人，有必要多说说自己实际的生活状况，让其余的人做选择的时候，起码多一些参考。

我不知王博士的离世究竟是什么原因，但不妨借题发挥，顺着“压力”这个话题，说说在美国生存的压力。

海外生活孤立无助

国内报道，多强调王走上绝路，是因工作压力太大。表面上看这似是最合理的解释，但未必有

各地解析分类汇编:三角函数1

1.【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（理）】将函数y?sin2x的图象向右平移

?4个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为

?4)?1 B.y?2cos2 A.y?sin(2x? C.y?2sin【答案】C

2x

x D.y??cos2x

【解析】函数

y?sinx?2(?4y?sin2xx)?的图象向右平移

)cos?42个单位得到

??2s?i?n(x2，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解

析式为y??cos2x?1??(1?2sin2x)?1?2sin2x，选C.

2.【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（理）】在?ABC中，角A，B，C所对边

?分别为a,b,c，且c?42，B?45，面积S?2，则b等于

A.

1132 B.5 C.41 D.25

【答案】B

S?12?acsinB?12?42?22a?2【解析】因为c?42，B?45，又面积

?，解得

a?1，由余弦定理知b2?a2?c2?2accosB,所以b2?1?32?2?42?22?25，所

以b?5，选B.

3.【

AutoLisp函数

一、数学运算功能函数

1．l（十 数值 数值?）返回：累计实数或整数数值 1．2（一 数值 数值?）返回：差值

1．3（* 数值 数值?）返回：所有数值乘积

1．4（/ 数值 数值?）返回：第一个数值除以第二个以后数值的商 1．5（l十 数值）返回：数值十l l. 6（1— 数值）返回：数值一l

l．7（abs 数值）返回：数值的绝对值 1．8（atan 数值）返回：反正切值

1．9（cos 角度）返回：角度的余弦值，角度值为弧度 1．10（exp 数值）返回：数值的指数

1．11（expt 底数指数）返回：底数的指数值 1．12（fix 数值）返回：将数值转换为整数值

1．14（gcd 数值1 数值2）返回：两数值的最大公因数 1．15（log 数值）返回：数值的自然对数值

1．16（max 数值 数值?）返回：数值中的最大值 1．17（min 数值 数值?）返回：数值中的最小值 1．18 pi 常数∏，其值约为3．1415926

1 函数与导数

B1 函数及其表示

6．[2014·安徽卷] 设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ????23π6＝( )

A.12

B.32

C ．0

D ．－12

6．A [解析] 由已知可得，f ??

??23π6＝f ????17π6＋sin 17π6＝f ????11π6＋sin 11π6＋sin 17π6 ＝f ????5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝2sin 5π6＋sin ???

?－π6＝sin 5π6＝12. 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )

A ．y ＝x ＋1

B ．y ＝(x －1)2

C ．y ＝2－x

D ．y ＝log 0.5(x ＋1)

2．A [解析] 由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.

7．、、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝?

????x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数

B ．f (x )是增函数

C ．f (x )是周期函数

D ．f (x )的

函数与导数

B1 函数及其表示

6．[2014·安徽卷] 设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ＝( )

1 B. 221C．0 D．－

2

6．A [解析] 由已知可得，f sin

17π11π17π23π 17π 11π5π

＝f＋sin＝f ＋sin＋sin ＝f ＋

666 6 6 6 6

23π

6

5π11π17π5π5π1π＋sin＋sin2sin ＋sin －＝sin. 666662 62．、[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )

A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2

－

C．y＝2x D．y＝log0.5(x＋1)

2．A [解析] 由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在(0，1)上递减，选项C，D中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B，C，D，选A.

2 x＋1，x>0，

7．、、[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝ 则下列结论正确的是( )

cos x， x≤0，

A．f(x)是偶函数

B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数

D．f(x)的值域为[－1，＋∞)

7．D [解析] 由

人类会研发出和人类一样、 甚至比人类还要聪明的机器人吗？ 如果成真， 我们人类自己又该如何自处？ 多少个富有想象力的科幻小说和电影里， 我们不止一次地面对这个看似不着边际、 又不可回避的问题。

当我们想忽视它的时候， 一些陈旧的科幻故事会跳出来， 将当时的设想和如今的技术产品摆到我们眼前： 看， 多少个荒谬的想象， 在现实中就是不可思议地成真， 还被应用了！ 当我们想推辞说， 拥有人类智慧的机器人， 技术实现上还远得很呢！ 但一个个机器人打败人类的例子又活生生地公布在新闻中， 把这个技术性“能够”和道德性“应该” 的话题， 不断地逼到我们面前。

如今越来越多的人， 在新奇地看着那些会说、 会笑、 会动的机器人时， 会忍不住疑问， 未来会不会发生我们都不曾理解和预想的事情？像宇宙大爆炸一般的技术奇点会不会不期而至？ 人类会成功主宰我们自己的世界吗？ 那个时候， 我们又该说人类是聪明还是愚蠢呢？在人工智能再次成为当下热点话题的今天， 英国伦敦帝国理工学院认知机器人学系教授默里?沙纳汉带着他的新书《技术奇点》来到中国，希望为这个人工智能起步不久的国度， 带来更多的思考和讨论。

人工智能新的春天

《凤凰周刊》： 如今人工智能在当下又掀起全球关注的热潮， 这一

§2.2 函数的定义域、值域及函数的解析式

1．函数的定义域

(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围． (2)求定义域的步骤

①写出使函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式组；

③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) (3)常见基本初等函数的定义域 ①分式函数中分母不等于零．

②偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域为R.

④y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R. π??

⑤y＝tan x的定义域为?x|x∈R且x≠kπ＋2，k∈Z?.

??⑥函数f(x)＝x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}． 2．函数的值域

(1)在函数y＝f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域． (2)基本初等函数的值域 ①y＝kx＋b (k≠0)的值域是R.

4ac－b

②y＝ax＋bx＋c (a≠0)的值域是：当a>0时，值域为?，＋∞?；当a<0时，值域为

?4a?

2

?－∞，4ac－b?.

4a??

2

2

k③y＝ (k≠0)的值域是{y|y∈R且y≠0}．

x④y＝ax (a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤y＝logax (a>0且a≠1)的值域是R.