双曲线求轨迹方程的常用方法

高考数学专题：求曲线轨迹方程的常用方法

张昕

陕西省潼关县潼关高级中学 714399

求曲线的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查考生对曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力.因此要分析轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的形式建立等式.其常见方法如下： （1） 直接法：直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系，直

接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，这种求轨迹方程的方法就称为直接法，直接法求轨迹经常要联系平面图形的性质.

（2） 定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、

双曲线、抛物线、圆等），可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定义法求方程要善于抓住曲线的定义特征.

（3） 代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹

方程.这就叫代入法.

（4） 参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的

变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，消去参数来求轨迹方程.

（5） 几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列

2.1.2求曲线的方程 (求动点的轨迹方程)

上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程 的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借 助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足 某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐 标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通 过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这 就是我们反复提到的坐标法。

上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程 的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借 助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足 某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐 标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通 过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这 就是我们反复提到的坐标法。

点M

按某中规律运动几何意义

曲线C

坐标(x, y )

x, y的制约条件

“数形结合” 数学思想的 基础

代数意义

方程f ( x, y) 0

数学中，用坐标法研究几何图形的知识形 成的学科叫做解析几何。解析几何主要研究的 问题是： (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程； (2)通过曲线的方程，研究曲线的性质。

例1.设A、B两点的坐标是(-1,-1),(3,7), 求线段AB的垂直平分线的方程.

例1.设A、B两点的坐标是(-1,-1

关于求圆锥曲线方程的方法 重难点归纳

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤

定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)

定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小

C' 典型题例示范讲解 18 m C 例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部

20 m 分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A' 14 m A A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端

点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m 建立坐标系并写出22 m B B' 该双曲线方程

命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力

知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积

错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键 技巧与方法

求不定方程整数解的常用方法

摘要：不定方程,是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解，是相当困难的，有时甚至是不可能或不现实的.本文利用变量替换、未知数之间的关系、韦达定理、整除性、求根公式、判别式、因式分解等有关理论，求得一类不定方程的正整数解.通过一些具体的例子，给出了常用的不定方程的解法，分别为分离整数法、辗转相除法、不等式估值法、逐渐减小系数法、分离常数项的方法、奇偶性分析法、换元法、构造法、配方法、韦达定理、整除性分析法、利用求根公式、判别式、因式分解法等等.

关键字：不定方程;整数解;整除性

1引言

不定方程是数论的一个分支，有悠久的历史与丰富的内容，与其他数学领域有密切联系，是数论中的重要的、活跃的研究课题之一，我国对不定方程的研究以延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理，学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学的解题技能.

中学阶段是学生的思维能力迅猛发展的关键阶段.在此阶段要注重培养学生的思维能力，开发学生智力，因此对于初等数论的一般方法、理论有一定的了解是必不可少的.让学生做题讲究

2010届高考数学复习 强化双基系列课件

《圆锥曲线 -轨迹方程》

基本知识概要：一、求轨迹的一般方法： 1.直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的 等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的 等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简， 证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意 “挖”与“补”。 2.定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如 圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨 迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出 轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形 成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’,y’)的运动而 有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得， 则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方 程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横 坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参 数),使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中 消去参数，得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接 消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也 可以引入参数来建立

篇一：高中数学求轨迹方程的六种常用技法

求轨迹方程的六种常用技法

轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法

根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

例1．已知线段AB?6，直线AM,BM相交于M，且它们的斜率之积是

4

，求点M 的轨迹方程。 9

解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则A(?3,0),B(3,0)，设点M的坐标为(x,y)，则直线AM的斜率kAM?

yy(x??3)，直线BM的斜率kAM?(x?3) 由已知有x?3x?3

yy4

??(x??3) x?3x?39

x2y2

化简，整理得点M的轨迹方程为??1(x??3)

94

练习：1．平面内动点P到点F(10,0)的距离与到直线x?4的距离之比为2，

篇一：高中数学求轨迹方程的六种常用技法

求轨迹方程的六种常用技法

轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法

根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

例1．已知线段AB?6，直线AM,BM相交于M，且它们的斜率之积是

4

，求点M 的轨迹方程。 9

解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则A(?3,0),B(3,0)，设点M的坐标为(x,y)，则直线AM的斜率kAM?

yy(x??3)，直线BM的斜率kAM?(x?3) 由已知有x?3x?3

yy4

??(x??3) x?3x?39

x2y2

化简，整理得点M的轨迹方程为??1(x??3)

94

练习：1．平面内动点P到点F(10,0)的距离与到直线x?4的距离之比为2，

《双曲线及其标准方程》说课稿

尊敬的各位评委老师： 下午好！（鞠躬）

我是来应聘高中数学的XX号考生。今天，我抽到的说课题目是《双曲线及其标准方程》。下面，我将从六个方面来阐述我对本节课的认识和理解，它们分别是说教材、说学情、说教法及依据、说学法及依据、说教学程序、说板书设计。

一、说教材

《双曲线及其标准方程》是北师大版高中选修2-1第三章第三节的第一小节。 双曲线是属于圆锥曲线的一个重要的几何模型，有许多性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用，同时，也是体现数形结合思想的重要素材。

依据教材的地位和作用，以及新课改对教学目标的要求，我将本课的教学目 标确定为如下三个维度：

知识与技能目标：理解双曲线的定义，能推导出双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程。

过程与方法目标：培养学生类比推理能力，培养学生数形结合研究解析几何问题的能力。

情感态度与价值观目标：让学生体会数学的理性和严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

根据教材内容和教学目标，我把本课的教学难点确定为：求双曲线的标准方程。依据学生的身心发展和认知结构，我将本课的教学难点确定为：双曲线的标准方程的推导。

二、

《双曲线及其标准方程》说课稿

尊敬的各位评委老师： 下午好！（鞠躬）

我是来应聘高中数学的XX号考生。今天，我抽到的说课题目是《双曲线及其标准方程》。下面，我将从六个方面来阐述我对本节课的认识和理解，它们分别是说教材、说学情、说教法及依据、说学法及依据、说教学程序、说板书设计。

一、说教材

《双曲线及其标准方程》是北师大版高中选修2-1第三章第三节的第一小节。 双曲线是属于圆锥曲线的一个重要的几何模型，有许多性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用，同时，也是体现数形结合思想的重要素材。

依据教材的地位和作用，以及新课改对教学目标的要求，我将本课的教学目 标确定为如下三个维度：

知识与技能目标：理解双曲线的定义，能推导出双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程。

过程与方法目标：培养学生类比推理能力，培养学生数形结合研究解析几何问题的能力。

情感态度与价值观目标：让学生体会数学的理性和严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

根据教材内容和教学目标，我把本课的教学难点确定为：求双曲线的标准方程。依据学生的身心发展和认知结构，我将本课的教学难点确定为：双曲线的标准方程的推导。

二、

解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+

椭圆与双曲线的对偶性质总结

解圆锥曲线问题常用以下方法：

1、定义法

（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。

（2）双曲线有两种定义。第一定义中，r1?r2?2a，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2