关于积分的论文

学号：

本科毕业论文

学 院 专 业 年 级 姓 名 论文题目 定积分的若干应用 指导教师 薛艳昉 职称 讲师

2013年5月16日

目 录

摘 要 ····························································································· 1 关键词 ····························································································· 1 Abstract ···········································································

目录

1.数值积分的历史 .................................................................................................................... 3 1.1数值积分的起源 ............................................................................................................. 3 1.2数值积分的经典方法 ..................................................................................................... 3 1.3著名数学家—辛普森 ..................................................................................................... 3 2.常用的数值积分方法 ............................

是好的写作材料

科

年第

期

国土资源高等职业教育研究

关于积分方程的求解问题王东霞

李富强

平顶山工学院

含有变上下限积分的方程称为积分方程,,,

。

甲

一

甲、

,

这类方程的求解间题是一种常见的题型也是考研的常考内容但在大多数《教材中没有进高等数学》

即,…二

小丁气,,

、

气‘,

,

,

甲

,

‘,

,

,

行深人地讨论决。,

。

学生遇到此类问题时感到难以解,,

甲

是方程

的连续解证毕,,

。

为此本文针对这类方程的求解问题进行讨论。,,

命题

设

连续

可导函数

是含

供大家参考

参变量的积分方程

由于积分与微分是两种互逆运算因此我们可以考虑把积分方程转化为微分方程进行求解其理,

丸的解的充要条件是二‘

一,

是微分方程勺二

论依据由以下命题给出

。

一

命题二

设

,

连续,

,

可导函数,

二

甲

满足初始条件证明必要性,

劫

勺

的解

。

是积分方程

若

是方程一‘

的解则,

气’,

,

‘二

丁瓦,

‘。

对一

耘二

一

‘

作

的连续解的充分必要条件是

杯是微分方程

变量代换令

一

,

则一

五一

礼勒二

一

‘

、

二、

一

满足初始条件杯勒证明必要性

的解

。

那么的连续…

,

二

石、…,

一

若

州

是方程

解则,

连续

,

石丁、可导。

一

可导二,

,‘

了气,

,

,

,‘

又

可导故

对,,

式两边求导得二

一

翔

,

’

连续可导故甲,,

‘

气。

,

可导

。

又。

翔

翔

又

可导 ,

是方程解,

满足初始条件《扔是方程一

甸

的拓

对

式两边求

是好的写作材料

科

年第

期

国土资源高等职业教育研究

关于积分方程的求解问题王东霞

李富强

平顶山工学院

含有变上下限积分的方程称为积分方程,,,

。

甲

一

甲、

,

这类方程的求解间题是一种常见的题型也是考研的常考内容但在大多数《教材中没有进高等数学》

即,…二

小丁气,,

、

气‘,

,

,

甲

,

‘,

,

,

行深人地讨论决。,

。

学生遇到此类问题时感到难以解,,

甲

是方程

的连续解证毕,,

。

为此本文针对这类方程的求解问题进行讨论。,,

命题

设

连续

可导函数

是含

供大家参考

参变量的积分方程

由于积分与微分是两种互逆运算因此我们可以考虑把积分方程转化为微分方程进行求解其理,

丸的解的充要条件是二‘

一,

是微分方程勺二

论依据由以下命题给出

。

一

命题二

设

,

连续,

,

可导函数,

二

甲

满足初始条件证明必要性,

劫

勺

的解

。

是积分方程

若

是方程一‘

的解则,

气’,

,

‘二

丁瓦,

‘。

对一

耘二

一

‘

作

的连续解的充分必要条件是

杯是微分方程

变量代换令

一

,

则一

五一

礼勒二

一

‘

、

二、

一

满足初始条件杯勒证明必要性

的解

。

那么的连续…

,

二

石、…,

一

若

州

是方程

解则,

连续

,

石丁、可导。

一

可导二,

,‘

了气,

,

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又

可导故

对,,

式两边求导得二

一

翔

,

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连续可导故甲,,

‘

气。

,

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。

又。

翔

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又

可导 ,

是方程解,

满足初始条件《扔是方程一

甸

的拓

对

式两边求

关于瑕积分收敛的判断

课本中关于瑕积分收敛的判断主要是基于定理3与其推论（课本下册p.283）。由这一推论可以看出：推论是根据 x?a? （视具体情况亦可是 x?b?）时无穷大量 f?x? 相对于无穷大量

1? 的阶来判断。因为：lim??x?af?x??d 等价于

x?a?x?ax?alim?f?x?1?d ，当 0?d??? 时，无穷大量 f?x? 与无穷大量 是同?1?x?a???x?a?1 ，无穷大量 f?x? 的阶是 ? ），由于例3 （课x?a1本下册p.280），相对于无穷大量 ，无穷大量 f?x? 的阶 ??1 时瑕积分

x?a阶无穷大量（ 即：相对于无穷大量

?baf?x?dx 收敛，阶??1 时瑕积分

?f?x?dx 发散。当然，由于存在不可比较的无

ab穷大量，这一判断收敛的方法也不是万能的。

习题例解：

?例1． 判别瑕积分

?20d? 的敛散性（课本下册p.289：2（6））

1?sin?解：由于lim????2?1???，点 ?? 是其瑕点。又由于（注1）

21?sin????1?sin??1?cos??????2?

?2sin2??2 ，

?lim????22????1 ，当 ????2??2 时，相对于无穷大

学海无涯苦作舟！

关于定积分一些重要性质的讨论

摘要：本文介绍改进的定积分保序性和第一和第二中值定理及其它重要性质，并举例说明其应用。

关键词：定积分 保序性 中值定理 1．引言：

由定积分的保序性可导出严格保序性，积分中值定理的中值号可在开区间（a,b）内取得。通常的高等数学教材将这些内容或者省略或者放入习题，而不加以重视。本文对此类性质作介绍，并举例说明它们在处理习题过程中的灵活应用，而且由此得出的结论也会加强。 2．定积分重要性质及其应用 2.1 保序性

设f（x）在[a,b]上连续非负，且f（x）不恒为零，则?f(x)dx>0

ab证明 若?f(x)dx=0,由f(x)的连续性和非负性有:

ab0≤?f(t)dt≤?f(x)dx=0 x∈[a，b].

aaxb从而?f(t)dt≡0，即

axddx?xaf(t)dt≡0，x∈[a，b]这与f（x）在[a，

b]上不恒为零矛盾。定理得证。

例1设f(x) 于[0, ?] 连续,且??0f(x)sinxdx=?f(x)cosxdx=0

0?试证在(0,?) 内至少存在两点?,? ,使得f( ?)=f(? )=0 证明 令F(t)=?f(x)sinxdx (0≤ t ≤

毕业论文

用层次分析法研究微积分的学习方法

摘要：我们在学习微积分的过程中，学习方法不对容易造成学习效果不明显，效率偏低，

而导致学习成绩不佳的情况。本文旨在针对此种问题，通过应用层次分析法对学生在学习微积分过程中的经常碰到的问题进行简单分析研究，对微积分学习效果、学习效率进行一个量化分析。从而找出其影响因素再进行具体分析，并给出几种微积分课程的学习方法，最终是为了给出一个较为合理的学习方法选取方案，使同学们可以更好地去学习微积分这门重要课程。

关键词：微积分;层次分析法; 学习方法;优先级

Use ahp study calculus study method

Abstract: We are studying the calculus process, learning method wrong easy to cause the

learning effect is not apparent,.the efficiency is low, which leads to the study of poor grades. This paper aimed at this problem, by applying the analytic hierarc

根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间,化三重积分为三次积分。

科技信息

高校理科研究

关孑求船三重积分帕方法襄樊学院数计学院陶爽卢方芳[摘要]根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间，化三重积分为三次积分。 [关键词】积分区域最大投影柱坐标球面坐标 1出的曲形如 z f x )=, .给面=1,, x ) ( yz Y令￡ )如 y, y= )得到一个关于 xy,的方程，是封闭曲面围成的区域在 X Y平面上的最大投影，也是 x满足的范围，然后根据所得到的 xy O, y, 的关系判断 f 2 l的大小。, f 例 1化三重积分 f,z xy z ( Y ) dd为三次积分， x,d积分区域 Q是由曲面 z x 22 z2 X围成的闭区域。= Z y及=一2+ 解根据 x 2 2 x有 x 1因为得到的是最大投影，以 xy 2 y一 y,+所，满足的是 x y≤1 22,+根据该式可知≤2 X则一2,,

故闭区域在平面上的最大投影区域 D (, I+2】据 y得=(y x y≤1根 x)z, 2≤1出、 =[≥z z 2≥x y而根据所给的曲面方程形式，+,可以使用柱坐标变换，

令{p S 0 p+ f C≤<∞ X O= f ≥≥ 22~== z xy

根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间,化三重积分为三次积分。

科技信息

高校理科研究

关孑求船三重积分帕方法襄樊学院数计学院陶爽卢方芳[摘要]根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间，化三重积分为三次积分。 [关键词】积分区域最大投影柱坐标球面坐标 1出的曲形如 z f x )=, .给面=1,, x ) ( yz Y令￡ )如 y, y= )得到一个关于 xy,的方程，是封闭曲面围成的区域在 X Y平面上的最大投影，也是 x满足的范围，然后根据所得到的 xy O, y, 的关系判断 f 2 l的大小。, f 例 1化三重积分 f,z xy z ( Y ) dd为三次积分， x,d积分区域 Q是由曲面 z x 22 z2 X围成的闭区域。= Z y及=一2+ 解根据 x 2 2 x有 x 1因为得到的是最大投影，以 xy 2 y一 y,+所，满足的是 x y≤1 22,+根据该式可知≤2 X则一2,,

故闭区域在平面上的最大投影区域 D (, I+2】据 y得=(y x y≤1根 x)z, 2≤1出、 =[≥z z 2≥x y而根据所给的曲面方程形式，+,可以使用柱坐标变换，

令{p S 0 p+ f C≤<∞ X O= f ≥≥ 22~== z xy

本科生毕业论文设计

不定积分的计算方法及拓展

作者姓名： 指导教师：

所在学院： 数学与信息科学学院 专业（系）： 数学与应用数学 班级（届）： 201X届数学X班

二〇一五年 四月二十四日

1

目 录

中文摘要、关键字 ???????????????????????? 1 1 不定积分的计算方法

???????????????????? 2

1.1 分部积分法 ???????????????????????? 2 1.1.1 分部积分法得基本认识 ????????????????? 2 1.1.2 函数u、v的优选判别 ????????????????? 3 1.2 第一换元积分法

???????????????????? 4

1.2.1 第一换元积分法概念 ????????????????? 4 1.2.2 常用凑微分公式 1.3 第二换元积分法

?????????????????? 4

???????????????????? 5

1.3.1 第二换元积分法概念 ????????????????? 5 1.3.2 第二换元法的常用代换 ???????????????? 2 几种特殊类型函数的积分

5

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