北京大学量子力学教授

量子力学习题（三年级用）

北京大学物理学院

二O O三年

第一章 绪论

1、计算下列情况的Broglie de -波长，指出那种情况要用量子力学处理：

（1）能量为eV .0250的慢中子()克2410671-?=μ.n ；被铀吸收；

（2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a

； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。

2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？

3、利用Broglie de -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。

第二章 波函数与波动力学

1、设()()为常数a Ae x x a 2

221-=?

（1）求归一化常数

（2）.?p ?,x x ==

2、求ikr ikr e r

e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若(),Be e A kx kx -+=?求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结论？（其中k 为实数）

4、一维运动的粒子处于

()?

??<>=?λ-000x x Axe x x

的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。

5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的

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目录

2018年北京大学物理学院612量子力学考研强化五套模拟题（一） (2)

2018年北京大学物理学院612量子力学考研强化五套模拟题（二） (9)

2018年北京大学物理学院612量子力学考研强化五套模拟题（三） (17)

2018年北京大学物理学院612量子力学考研强化五套模拟题（四） (25)

2018年北京大学物理学院612量子力学考研强化五套模拟题（五） (34)

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第 2 页，共 43 页 2018年北京大学物理学院612量子力学考研强化五套模拟题（一）

说明：根据本校该考试科目历年考研命题规律，结合出题侧重点和难度，精心整理编写。考研强化检测使用。共五套强化模拟题，均含有详细答案解析，考研强化复习必备精品资料。

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一、简答题

1． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？

【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并

北京大学 简介

北京大学

北京大学创办于1898年，初名京师大学堂，是中国第一所国立大学，也是中国近代第一个以“大学”身份和名称建立的学校，其成立标志着中国近代高等教育的开端。作为中国近代唯一以最高学府身份创立的学校，北大最初也是国家最高教育行政机关，行使教育部职能，并开创了中国高校中最早的文科、理科、政科、商科、农科、医科等学科的大学教育，是近代以来中国高等教育的奠基者。北大传承着中国数千年来国家最高学府——太学（国子学、国子监）的学统，既继承了中国古代最高学府正统，又开创了中国近代高等教育先河，可谓“上承太学正统，下立大学祖庭”。自建校以来，一直享有崇高的声誉和地位。在中国近现代史上，北大始终与国家民族的命运紧密相连，深刻的影响了中国百年来的历史进程。

学校为教育部直属全国重点大学，国家“211工程”、“985工程”建设大学、中国顶尖学府“九校联盟”（C9联盟）的重要成员。北京大学已经成为中国培养高素质、创造性人才的综合性研究型高校，同时也是中国综合实力第一的大学，理科、文科、社会科学、新型工科和医科都是它的强项。在2012年教育部学科评估中，北大有35个一级学科列全国三甲，数量高居全国高校第一（比第二名多11个）。

[1]

北京大学是中国大

周旺生 教授 ——北京大学法学院

教育背景 1984法学硕士 北京大学法律学系

1989年10月—1990年12月澳大利亚墨尔本大学法学院访问研究

1996年9月—1997年7月美国伊里诺依大学访问研究

凯程在2014年北大法学考研中录取8人，其中2人勇夺细分方向状元，3人复试第一名，北大法学院作为国内最好的法学院，培养了大量的人才，包括总理，凯程对法学的理解，具有独到的优势，三级法是北大法学考研的法宝，并且北大法学专业课6+1，凯程都有全面而应试性的辅导，集训营提供了最强的专业课和公共课保障，也是凯程法学成功的保障。

工作经历

研究领域 主要从事立法学和法理学研究和教学。在国内率先创建立法学学科并取得成功

研究成果 独著著作主要有：《立法学》、《立法论》、《立法学教程》、《规范性文件起草》、《法理探索》、《法理学》等。合著著作主要有：《中关村立法研究》、《立法研究》、《中国法律制度》、《法理学》。在《中国法学》、《法学研究》、《北京大学学报》等核心刊物发表万字以上论文近百篇

主张法学应当经世致用，注意参与中央和地方立法，以其研究成果和立法理念为法治国家建设服务。由周旺生担任专家组组长、首席顾问、起草小组负责人之一的中关村立法，以一系列先进理念和制度创新为诸

量子力学的变分法-量子力学的变分法

　　当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。　　
量子力学的变分法-量子力学的变分法
解薛定谔方程的一种应用范围极广的近似方法
对于束缚定态
它是基于能量本征值方程（即不含时间的薛定谔方程）与能量变分原理的等价性
通过求能量的极值得到能量本征值方程的解
在处理具体问题时
总是采用波函数某种特殊的变化去代替最普遍的任意变分
这样就可得到依赖于波函数特殊形式的近似解
这种方法称为变分法

　　若体系的哈密顿量算符为彑
其能量本征值方程为

(1)
该体系的能量平均值
(2)
是波函数φ的泛函
式中表示对体系全部坐标积分
可以证明
求彑的本征值方程
等价于求解
(3)
也就是满足变分原理(3)的φ为彑的本征函数
唕的极值为所对应的本征值
即
(4)
　　这样
如果能猜测到一个φ正好满足式(1)
则由式(2)所得的唕【φ】等于E
如果猜测的φ与ψ 略有不同
则唕【φ】必定大于E
因而唕【φ】总是给出唕的一个上限
当做了多次猜测之后
其中最小的唕一定是这些猜测中最好的
这样就把最小的唕取作E的近似值
应用以上手续可得到一种通过猜测去计算能量近似值的方法
改善波函数通常是通过一个含连续参数的特殊形式的波函数φ(q
α1
α2
α3
...)来实现

《量子力学》题库

一、简答题

1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为： E?h????

??h?p?n??k

?其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒

子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。

2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？

答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。

3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。

答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。

4 设描写粒子状态的函数?可以写成??c1?1?c2?2，其中c1和c2为复数，?1和?2为粒子的分别属于能量E1和E2的构成完备系的能量本征态。试说明式子??c1?1?c2?

一、 填空题

1．玻尔的量子化条件为 。 2．德布罗意关系为 。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 。 4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．

为归一化波函数，粒子在

方向、立体角

内出现的几率

为 ，在半径为 ，厚度为 为 。

的球壳内粒子出现的几率

6．波函数的标准条件为 。 7．

，

为单位矩阵，则算符

的本征值为__________。

8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。

9．力学量算符应满足的两个性质是 。 10．厄密算符的本征函数具有

河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第四章 态和力学量的表象

第四章 态和力学量的表象

§4-1 状态的表象

一、表象

?具有断续谱，它满足的本征方程为 设力学量算符F?u(x)?fu(x) Fnnn?算符F具有一组正交归一完备的本征函数系?un(x)?。如果把?un(x)?作为一组基矢（或称为基底），则它们张开一个空间。由展开假设可知，对任意一个状态?(x,t)，则有

?(x,t)??cn(t)un(x)

n显然，?(x,t)就是该空间中的一个矢量，所以也称为态矢。因此，这个空间就称为态矢空间，也叫做希尔伯特空间。每一个物理上允许的波函数都是态矢空间中的一个元素，量子力学的所有活动都在这个空间内进行。

?的本征函数系?u(x)?作为基矢组，上面讨论的空间是以F所以称为F表象下的态矢空n间。?(x,t)的展开系数

*cn(t)??un(x)?(x,t)dx

???表示态矢?(x,t)在un(x)上的投影。

若波函数?(x,t)和un(x)都已经归一化，则

????***?*(x,t)?(x,t)dx??cmcn?umundx??cmcn?mn??cnmn??mnn?2?1

河南科技大学物理工程学院教案（李同伟） 第四章 态和力学量的表象

第四章 态和力学量的表象

§4-1 状态的表象

一、表象

?具有断续谱，它满足的本征方程为 设力学量算符F?u(x)?fu(x) Fnnn?算符F具有一组正交归一完备的本征函数系?un(x)?。如果把?un(x)?作为一组基矢（或称为基底），则它们张开一个空间。由展开假设可知，对任意一个状态?(x,t)，则有

?(x,t)??cn(t)un(x)

n显然，?(x,t)就是该空间中的一个矢量，所以也称为态矢。因此，这个空间就称为态矢空间，也叫做希尔伯特空间。每一个物理上允许的波函数都是态矢空间中的一个元素，量子力学的所有活动都在这个空间内进行。

?的本征函数系?u(x)?作为基矢组，上面讨论的空间是以F所以称为F表象下的态矢空n间。?(x,t)的展开系数

*cn(t)??un(x)?(x,t)dx

???表示态矢?(x,t)在un(x)上的投影。

若波函数?(x,t)和un(x)都已经归一化，则

????***?*(x,t)?(x,t)dx??cmcn?umundx??cmcn?mn??cnmn??mnn?2?1

从波函数到薛定谔方程

摘要：本文从波函数出发，阐述薛定谔的推导过程，并且根据哈特里福克方程，克莱因戈

尔登方程完善薛定谔方程的泡利不相容原理，洛伦兹不变性。

关键词：波函数 薛定谔方程 哈特里福克方程 克莱因戈尔登方程

一．波函数：

微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数来描述的，这个波函数所反映的微观粒子

波动性 ，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。（量子力学的基本假设之一）并且，玻恩指出：德布罗意波或波函数不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。 （1）推导过程：

在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿X轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程，即：

应用欧拉公式，可以推广到复数域：

再通过德布罗意公式，可以得到自由粒子的波函数：

（2）波函数性质

1.自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布罗意波是平面波。

2.对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量不是常量，其波函数所描述的 德布罗意波就不是平面波。

3.外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也不相同。 （3）波函数的统计假设

设描述粒子运动状态的波函数为

，则

1.空间某