三项均值不等式证明

第1篇：不等式证明,均值不等式

1、设a,b?R，求证：ab?(ab)?aba?b2?abba

2、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)＞6abc

3、(a?b?c)(1119??)? a?bb?cc?a

24、设a,b?R?，且a?b?1，求证：(a?)?(b?)?

5、若a?b?1，求证：asinx?bcosx?

16、已知a?b?1，求证：a?b?

7、a,b,c,d?R求证：1＜?441a21b225 2221 8abcd+++＜2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c

111

18、求证2?2?2???2＜2 123n

1111????＜1

9、求证：?2n?1n?22n

10、求下列函数的最值

（1） 已知x＞0，求y?2?x?

（2） 已知x＞2，求y?x?4的最大值（-2） x1的最小值（4） x?

2111（3） 已知0＜x＜，求y?x(1?2x)的最大值（） 2216

11、若正数a,b满足ab?(a?b)?1则a?b的最小值是（）

（2?2333）

12、已知正数a,b求使不等式(a?b)?k(a?b)成立的最小k值为（）（4）

1

3、求函数y?

14、二次函数f(x)?x?ax?x?a的两根x1,x2

均值不等式的证明方法

柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong（数学之家）

本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是An Gn: 一些大家都知道的条件我就不写了

x1 x2 ... xn

n

x1x2...xn

我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：

二维已证，四维时：

a b c d (a b) (c d) 2ab 2cd 4八维时:

(a b c d) (e f g h) 4abcd 4efgh 8abcdefgh

abcd

4abcd

这样的步骤重复n次之后将会得到

x1 x2 ... x2n

2

n

2

n

x1x2...x2n

令x1 x1,...,xn xn;xn 1 xn 2 ... x2

n

x1 x2 ... xn

n

A

由这个不等式有

A

nA (2 n)A

2

nn

1

2

n

x1x2..xnA

2 n

n

(x1x2..xn)2A

n

1

n2

n

即得到

x1 x2 ... xn

n

n

x1x2...xn

这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：

例1：

n

若0 ai 1(i 1,2,...,n)证明

i 1

11 ai

n

1

1 (a1a2...an)n

例2：

均值

均值不等式的证明方法及应用

摘要

均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一。应用均值不等式，可以使一些较难的问题得到简化处理。本文首先系统全面地总结了均值不等式的十种证明方法,其中包括柯西法、数学归纳法、詹森不等式法、不等式法、几何法、排序法、均值变量替换法、构造概率模型法、逐次调整法、泰勒公式法；其次, 结合相关例题给出均值不等式在证明不等式、比较大小、求最值、证明极限的存在性、判断级数敛散性、证明积分不等式方面的应用。

关键词:均值不等式；数学归纳法；最值；极限；积分不等式

第1页 共20页

PROOFS AND APPLICATIONS ON AVERAGE VALUE

INEQUALITY

ABSTRACT

Average value inequality occupies a core position in inequality theory and is one of the most widely used inequalities in modern mathematics. Using average inequality can make some difficult pr

第四章 微积分中值定理与证明 4.1 微分中值定理与证明

一 基本结论

1．零点定理：若f(x)在[a,b]连续，f(a)f(b)?0，则???(a,b)，使得f(?)?0． 2．最值定理：若f(x)在[a,b]连续，则存在x1,x2使得f(x1)?m,f(x2)?M．其中

m,M分别是f(x)在[a,b]的最小值和最大值．

3．介值定理：设f(x)在[a,b]的最小值和最大值分别是m,M，对于?c?[m,M]， 都存在???[a,b]使得f(?)?c．（或者：对于?c?(m,M)，都存在???(a,b)使得

f(?)?c）

4．费玛定理：如果x0是极值点，且f(x)在x0可导， 则 f?(x0)?0．

5．罗尔定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，f(a)?f(b)，则???(a,b)使得

f?(?)?0．

6．拉格朗日定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，，则???(a,b)使得

f(b)?f(a)?(b?a)f?(?)．

) 7．柯西定理：f(x)，g(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且g?(x)?0，则???(a,b使得

f(b)?f(a)f?(?)?．

g(b)?g(a)g?(?)8．泰勒公

均值不等式的应用

刘艺

【摘要】摘要：本文旨在探究均值不等式的应用.即利用均值不等式去解决一类关于n次多项式的不等式证明问题。

【期刊名称】教育教学论坛

【年(卷),期】2011(000)017

【总页数】3

【关键词】均值不等式；n次多项式；基本元素

设a1，a2，…，an∈R+，n∈N且n＞1，则

（当且仅当a1=a2=…=an，时，“=”成立）

利用（*）式，能解决数学中许多诸如不等式、函数最值等问题。本文重在探究如何应用（*）式去解决一类关于n次多项式的不等式的证明问题.

为研究问题方便，不妨称满足（*）式中的a1，a2，…，an为基本元素，由这些元素构成的和式a1+a2+…+an与积式a1a2…an称为基本式.

一、所涉及的命题中，明显含有a1+a2+…+an和a1a2…an等基本式，可选用a1，a2，…，an为基本元素，直接利用（*）式证明例1：设a1，a2，…，an∈R+求证（a1+a2+…+an）

分析：由于题目中明显含有和式（a1+a2+…+an）与，故可选ai和为基本元素，由（*）式着手解决。

简证：选ai和为基本元素，由均值不等式可得

证毕.

例2：设a1，a2，…，an为不相等的正数，且S=a1+a2+…+an，

均值不等式的应用

均值不等式应用

一．均值不等式

1.（1）若a,b R，则a2 b2 2ab (2)若a,b R，则ab

2. (1)若a,b R*，则

a b2

*

a b2

22

a b时取“=”）

ab (2)若a,b R，则a b 2

2

ab（当且仅当a b时取“=”）

a b (3)若a,b R，则ab ） (当且仅当a b时取“=”

2

*

3.若x 0，则x

1x

“=”）;若x 0，则x 2 (当且仅当x 1时取

1x

“=”） 2 (当且仅当x 1时取

若x 0，则x 1 2即x 1 2或x 1 -2 (当且仅当a b时取“=”）

x

x

x

3.若ab 0，则a b 2 (当且仅当a b时取“=”）

b

a

若ab 0，则

ab

ba

2即

2

ab

ba

2

2或

ab

ba

） -2 (当且仅当a b时取“=”

4.若a,b R，则(

a b2

)

2

a b2

（当且仅当a b时取“=”）

注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应

北京市中小学“京教杯”青年教师教学设计大赛

教学基本信息 课题 是否属于 地方课程或校本课程 学科 教材 教学设计参与人员 设计者 实施者 指导者 姓名 宋国鸣 宋国鸣 张吉 刘雪明 卢寒芳 李砚书 单位 北京师范大学良乡附属中学 北京师范大学良乡附属中学 房山区教师进修学校 北京师范大学良乡附属中学 联系方式 13699107527 13699107527 13521399268 13681354383 13401011498 15810522494 数学 学段： 高一第二学段 均值不等式 否 年级 高一 书名：普通高中课程改革标准实验教科书 数学 必修5 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2015年6月 其他参与者 指导思想与理论依据 1.指导思想 新课程倡导学生自主探究、动手实践、合作交流，体验数学发现和创造的历程，深刻地理解基本结论的本质，力求对客观事件蕴涵的数学模型进行思考判断，能够从数学的角度看待问题，用数学的思维思考问题，用数学的方法解决问题. 本节课中教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，注重对学生的基本数学能力、数学素养和学习潜能的培养，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力

自己原创的。

河南开封市高级中学jason_1108@

利用排序不等式证明AM-GM不等式AM-GM不等式若a1,a2, ,an>0，则

a1+a2+ +an≥n

等号当且仅当a1=a2= =an时成立a1a2 an

证明：令G=a1a2 an，则原不等式等价于

a1+a2+ +an≥nG

构造数列

A=

B= aaaaa a,, ,2GGGnGG2Gn,, ,a1a1a2a1a2 an

显然，两组数列中的元素有着一一对应的关系，即A中第K大的元素在B中所对应的元素是第K小的元素。所以，A、B两组数列中的元素对应相乘再相加所得结果是两组数列的反序和，即为n。

另一方面，A、B两组数列错位相乘为两组数列的乱序和，即乱序和是a1+a2+ +an。G

由排序不等式，乱序和大于等于逆序和，即

a1+a2+ +an≥nG

原不等式得证。

高考数学 均值不等式专题试卷

1．设a、b∈R，试比较＋

a＋b与a?b的大小． 22．若a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最大值．

＋

3．设a、b、m∈R，且

＋

＋

bb＋m?，求证：a＞b. aa＋m4．若a、b∈R，且a≠b，M＝ab＋，N＝a＋b，求M与N的大小关系． ba5．用数学归纳法证明不等式

1111＋＋?＋?(n>1，n∈N*)的过程中，用n＋1n＋2n＋n2n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果是A，求代数式A.

22

6．求证：a＋b≥ab＋a＋b－1. 7．已知a>0，b>0，求证：ab?≥a＋b. baxyz111＋＋?＋＋ yzzxxyxyz8．已知x、y、z均为正数，求证：

9．已知a>0，求证：a＋2112－≥a＋－2. 2aaa2＋b2＋c2a＋b＋c10．求证： ?3311．若实数x、y、z满足x＋2y＋3z＝a(a为常数)，求x＋y＋z的最小值．

n2

12．用数学归纳法证明：当n是不小于5的自然数时，总有2>n成立． 13．求函数y＝1?x＋4?2x的最大值． 14．设x、y∈R，求?x2＋2

2

2

??1??12?＋4y???的最小值． 22y??x?15．已知a、b、m、n均为正数，且a

高考数学 均值不等式专题试卷

1．设a、b∈R，试比较＋

a＋b与a?b的大小． 22．若a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最大值．

＋

3．设a、b、m∈R，且

＋

＋

bb＋m?，求证：a＞b. aa＋m4．若a、b∈R，且a≠b，M＝ab＋，N＝a＋b，求M与N的大小关系． ba5．用数学归纳法证明不等式

1111＋＋?＋?(n>1，n∈N*)的过程中，用n＋1n＋2n＋n2n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果是A，求代数式A.

22

6．求证：a＋b≥ab＋a＋b－1. 7．已知a>0，b>0，求证：ab?≥a＋b. baxyz111＋＋?＋＋ yzzxxyxyz8．已知x、y、z均为正数，求证：

9．已知a>0，求证：a＋2112－≥a＋－2. 2aaa2＋b2＋c2a＋b＋c10．求证： ?3311．若实数x、y、z满足x＋2y＋3z＝a(a为常数)，求x＋y＋z的最小值．

n2

12．用数学归纳法证明：当n是不小于5的自然数时，总有2>n成立． 13．求函数y＝1?x＋4?2x的最大值． 14．设x、y∈R，求?x2＋2

2

2

??1??12?＋4y???的最小值． 22y??x?15．已知a、b、m、n均为正数，且a