常用函数泰勒展开

.

精品 图 1 )exp(x y =及其 Taylor 展开式

其中，

。!

4!3!21)(;!

3!21)(;!

21)(;

1)(;

)exp(4

32443

2332

2211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+====

-3-2-10

123

-50

5

101520

25

Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation

X Y

.

精品 图 2 )sin(x y =及其 Taylor 展开式

其中，

。!

7!5!3)(;!

5!3)(;!

3)(;

)();

sin(7

53775

3553

3311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-=====

-4-3-2-10

1234

-8-6

-4

-2

2

4

6

8

Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation

X Y

.

精品 图 3 )cos(x y =及其 Taylor 展开式

其中，

。!

8!6!4!21)(;!

6!4!21)(;!

4!21)(;!

21)();

一、 泰勒级数

在泰勒定理中曾指出，若函数f在点x0的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数，则：

f''(x0)f(n)(x0)2（1） (x-x0)+?+(x-x0)n+Rn(x) f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+2!n!'这里Rn(x)为拉格朗日余项

f(n+1)(?)（2） Rn(x)=(x-x0)n+1

（n+1）!其中，?在x与x0之间，称（1）为f在x0的泰勒展式。

如果在（1）中抹去余项Rn(x)，那么在x0附近f可用（1）式右边的多项式来近似代替，如果函数f在x=x0处存在任意阶的导数，这时称形式为

f''(x0)f(n)(x0)2 f(x0)+f(x0)(x-x0)+ (x-x0)+?+(x-x0)n+? （3）

2!n!'的级数为函数f在x0的泰勒级数，对于级数（3）是否能在x0附近确切的表达f,或说f在x0的泰勒级数在x0附近的和函数是否就是f，这就是下面要讨论的问题。

先看一个例子： 例1 由于函数

?-x12?f(x)??e,x?0

??0,x?0在x=0处任何阶导数都等于0，即

f(n)(0)=0,n=1,2,?

所以f在x=0的泰勒

Mathematica函数及使用方法

----------------------------------------------------------注：为了对Mathematica有一定了解的同学系统掌握Mathematica的强大 功能，我们把它的一些资料性的东西整理了一下，希望能对大家有所帮助。

---------------------------------------------------------- 一、运算符及特殊符号 Line1; 执行Line，不显示结果

Line1,line2 顺次执行Line1，2，并显示结果 ?name 关于系统变量name的信息 ??name 关于系统变量name的全部信息 !command 执行Dos命令 n! N的阶乘

!!filename 显示文件内容 < Expr>> filename 打开文件写 Expr>>>filename 打开文件从文件末写

() 结合率 [] 函数 {} 一个表

<*Math Fun*> 在c语言中使用math的函数 (*Note*) 程序的注释 #n 第n个参数 ## 所有参数

rule& 把rule作用于后面

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1、ABS函数 函数名称：ABS

主要功能：求出相应数字的绝对值。 使用格式：ABS(number)

参数说明：number代表需要求绝对值的数值或引用的单元格。

应用举例：如果在B2单元格中输入公式：=ABS(A2)，则在A2单元格中无论输入正数（如100）还是负数（如-100），B2中均显示出正数（如100）。

特别提醒：如果number参数不是数值，而是一些字符（如A等），则B2中返回错误值“#VALUE！”。 2、AND函数 函数名称：AND

主要功能：返回逻辑值：如果所有参数值均为逻辑“真（TRUE）”，则返回逻辑“真（TRUE）”，反之返回逻辑“假（FALSE）”。 使用格式：AND(logical1,logical2, ...)

参数说明：Logical1,Logical2,Logical3……：表示待测试的条件值或表达式，最多这30个。 应用举例：在C5单元格输入公式：=AND(A5>=60,B5>=60)，确认。如果C5中返回TRUE，说明A5

一、数学函数

ABS(x) 返回x的绝对值

BIN(x) 返回x的二进制（OCT返回八进制，HEX返回十六进制） CEILING(x) 返回大于x的最小整数值 EXP(x) 返回值e（自然对数的底）的x次方 FLOOR(x) 返回小于x的最大整数值 GREATEST(x1,x2,...,xn)返回集合中最大的值 LEAST(x1,x2,...,xn) 返回集合中最小的值 LN(x) 返回x的自然对数 LOG(x,y)返回x的以y为底的对数

MOD(x,y) 返回x/y的模（余数） PI()返回pi的值（圆周率）

RAND()返回０到１内的随机值,可以通过提供一个参数(种子)使RAND()随机数生成器生成一个指定的值。

ROUND(x,y)返回参数x的四舍五入的有y位小数的值 SIGN(x) 返回代表数字x的符号的值 SQRT(x) 返回一个数的平方根

TRUNCATE(x,y) 返回数字x截短为y位小数的结果 二、聚合函数(常用于GROUP BY从句的SELECT查询中) AVG(col)返回指定列的平均值

COUNT(c

一、关系运算： 1. 等值比较: =

语法：A=B

操作类型：所有基本类型

描述: 如果表达式A与表达式B相等，则为TRUE；否则为FALSE 举例：

hive> select 1 from lxw_dual where 1=1;

2. 不等值比较: <>

语法: A <> B

操作类型: 所有基本类型

描述: 如果表达式A为NULL，或者表达式B为NULL，返回NULL；如果表达式A与表达式B不相等，则为TRUE；否

则为FALSE 举例：

hive> select 1 from lxw_dual where 1 <> 2;

3. 小于比较: <

语法: A < B

操作类型: 所有基本类型

描述: 如果表达式A为NULL，或者表达式B为NULL，返回NULL；如果表达式A小于表达式B，则为TRUE；否则为

FALSE 举例：

hive> select 1 from lxw_dual where 1 < 2;

4. 小于等于比较: <=

语法: A <= B

操作类型: 所有基本类型

描述: 如果表达式A为NULL，或者表达式B为NULL，返回NULL；如果表达式A小于或者等于表达式B，则为TRUE；

否则为FALSE 举例：

hive> select 1 from lxw_dual

数组函数 lowerBound()

UpperBound()

Blob(大二进

Pos() Replace()

CloseChannel() ExeclRemote()

PrintSetFont() PrintSetSpacing()

Right() RightTrim()

GetDataDDEOrigin() PrintSetup() GetRemote() OpenChanner() RespondRemote() SetRemote() StartHotLink() StopHotLink()

DDE服务器函数

PrintText() PrintWindth() PrintX() PrintY()

窗口操作函数 Close()

CloseWithReturn()

Space()

制对象）函数 Blob()

Trim()

BlobEdit() Upper() BlobMid() Len() String()

数据类型检

查与转换函DoScript() 数 Asc() Char() Dec() Double()

GetApplication() 系统与环境函数 Clipboard() CommandParm()

GetComma

第十一章 函数级数 级数的收敛、求和与展开一、数项级数的审敛法√

二、求幂级数收敛域的方法4、5、7节

三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数 展开法机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、幂级数和函数的求法 求部分和式极限 利用幂级数性质，借用已知幂级数的和函数求解 (在收敛区间内)

n 0

an xS (x)

n

逐项求导或求积分

n 0

an x n

难

求和

对和式积分或求导

S * ( x)

数项级数 求和

直接求和:

求部分和等

间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值机动 目录 上页 下页 返回 结束

常用函数的幂级数(或常用幂级数的展开式)

1 2 1 n e 1 x x x , 2! n!x

x ( , )

( 1) n n 1 ln(1 x) x 1 x 2 1 x 3 1 x 4 x n 1 2 3 4 x ( 1, 1] 5 7 2 n 1 3 x x x n x ( 1) sin x x 5! 7 ! (2n 1) ! 3! x ( , ) x2 x 4 x6 x

SQL中的单记录函数 1.ASCII

返回与指定的字符对应的十进制数;

SQL> select ascii('A') A,ascii('a') a,ascii('0') zero,ascii(' ') space from dual; A A ZERO SPACE --------- --------- --------- ---------

65 97 48 32

2.CHR

给出整数,返回对应的字符;

SQL> select chr(54740) zhao,chr(65) chr65 from dual; ZH C -- - 赵 A 3.CONCAT 连接两个字符串;

SQL> select concat('010-','88888888')||'转23' 高乾竞电话 from dual; 高乾竞电话 ---------------- 010-88888888转23 4.INITCAP

返回字符串并将字符串的第一个字母变为大写; SQL> select initcap('smith') upp from dual; UPP ----

一、C标准函数库

：诊断

中只定义了一个带参的宏assert，其定义形式如下：

void assert (int 表达式)

assert宏用于为程序增加诊断功能，它可以测试一个条件并可能使程序终止。在执行语句：

assert(表达式);

时，如果表达式为0，则在终端显示一条信息：

Assertion failed: 0, file 源文件名, line 行号 Abnormal program termination

然后调用abort终止程序的执行。 在中，带参宏assert是被定义为条件编译的，如果在源文件中定义了宏NDEBUG，则即使包含了头文件，assert宏也将被忽略。

：字符类别测试

在头文件中定义了一些测试字符的函数。在这些函数中，每个函数的参数都是整型int，而每个参数的值或者为EOF，或者为char类型的字符。中定义的标准函数列表如下：

中定义的函数

函数定义 int isalnum(int c) int isalpha(int c) int isascii(int c) int iscntrl(int c) int isdigit(int c) int isgraph(int c) int islower(int c)