圆球的体积和面积公式

体积与面积公式

多 面 体 的 体 积 和 表 面 积

体积与面积公式

f 一个组合三角形的面积

V=

棱

锥

n 组合三角形的个数 O 锥底各对角线交点

1 F h 3 S= n f+ F S1= n f

Go=h/4

F1, F2 两平行底面的面积 h 底面间距离棱台

V=

a 一个组合梯形的面积 n 组合梯形数

1 h( F1+ F2+ F1F2 ) 3 S= an+ F1+ F2 S1= an

G0=

h F1+ 2 F1 F2+ 3 F2 4 F1+ F1 F2+ F2

圆柱：

R 外半径 r 内半径圆柱和空心圆柱∧管∨

V=πR 2 h S= 2πR h+ 2πR 2 S1= 2πR h空心直圆柱： V=πh( R 2 r 2 )= 2πRpth S= 2π ( R+ r )h+ 2π ( R 2 r 2 ) S1= 2πh( R+ r )

t 柱壁厚度 p 平均半径 S1=内外侧面积

Go=h/2

h1 最小高度斜线直圆柱

V=πr 2

h1+ h2 2 1 ) cosα

h2 最大高度 r 底面半径

G0= GK=

S=πr (h1+ h2 )+πr 2 (1+ S1=πr (h1+ h2 )

h1+ h2 r 2tg 2α+ 4 4(h1+

积分法求圆球的表面积与体积 方法一:

如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=

将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体

从X 负半轴到X 正半轴将直径2R 等分n 份)

(∞→n 每份长为x ?

球体也同时被垂直分成n 份薄片

每片的半径为22x R r -=

每片分得弧长为l d

如图:当无限等分后

(1)CE d l ≈弧 (2)CE OC ⊥ (3)x EH ?=

易证CEH OCX ?∝? CX OC EH CE =?CX

EH OC CE ?= x x R R

l ?-=??22弧 薄片的球面面积x x R R

x R l r S ?--=?=?22222)2(ππ

x R S ?=?π2

球面面积??+-+-==R

R R R Rx Rdx ππ22=2

4R π 方法二:

如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=

将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体

沿X 轴正方向到X 轴负方向将圆心角等分n 份

)(∞→n 每份为θ?,),0(πθ∈

球体也同时被垂直分割成n 份薄片

每片弧长相等对应圆心角为θ?

每片对应的半径为θsin R r =

当0→?θ时

(1)θ?=∠BOC (2)CB CB 弧弦≈ (3)CB OB

圆柱与圆锥

例题精讲

圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式 立体图形 h

表面积 S圆柱?侧面积?2个底面积?2πrh?2πr2 体积 V圆柱?πr2h 圆柱r hr圆锥

nπl2?πr2 360注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 S圆锥?侧面积?底面积?1V圆锥体?πr2h 3板块一 圆柱与圆锥

【例 1】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的

表面积是多少平方米？(π取3.14)

0.511111.5

【例 2】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直

径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？

【例 3】 (第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那

么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)

【例 4】 如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这

个油桶的容积．(π?3.14)

16.56m

【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做

最常用的面积、体积计算公式

用求面积、体积公式

1 平面图形面积

平面图形面积见表1-73。

平面图形面积 表

1-73

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

2 多面体的体积和表面积

多面体的体积和表面积见表1-74。

多面体的体积和表面积 表1-74

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

3 物料堆体积计算

物料堆体积计算见表1-75。

物料堆体积计算 表

1-75

最常用的面积、体积计算公式

4 壳体表面积、侧面积计算

1-3-4-1 圆球形薄壳（图1-1）

图1-1 圆球形薄壳计算图

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

4-2 椭圆抛物面扁壳（图1-2）

图1-2 椭圆抛物面扁壳计算图

最常用的面积、体积计算公式

1-3-4-3 椭圆抛物面扁壳系数计算

见图1-2，壳表面积（A）计算公式：

A＝Sx·Sy＝2a×系数Ka×2b×系数Kb

式中 Ka、Kb——椭圆抛物面扁壳系数，可按表1-76查得。

椭圆抛物面扁壳系数表 表1-76

最常用的面积、体积计算公式

查表说明

［例］已知2a＝24.0m，2b＝16.0m，hx

最常用的面积、体积计算公式

用求面积、体积公式

1 平面图形面积

平面图形面积见表1-73。

平面图形面积 表

1-73

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

2 多面体的体积和表面积

多面体的体积和表面积见表1-74。

多面体的体积和表面积 表1-74

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

3 物料堆体积计算

物料堆体积计算见表1-75。

物料堆体积计算 表

1-75

最常用的面积、体积计算公式

4 壳体表面积、侧面积计算

1-3-4-1 圆球形薄壳（图1-1）

图1-1 圆球形薄壳计算图

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

4-2 椭圆抛物面扁壳（图1-2）

图1-2 椭圆抛物面扁壳计算图

最常用的面积、体积计算公式

1-3-4-3 椭圆抛物面扁壳系数计算

见图1-2，壳表面积（A）计算公式：

A＝Sx·Sy＝2a×系数Ka×2b×系数Kb

式中 Ka、Kb——椭圆抛物面扁壳系数，可按表1-76查得。

椭圆抛物面扁壳系数表 表1-76

最常用的面积、体积计算公式

查表说明

［例］已知2a＝24.0m，2b＝16.0m，hx

常用几何图形参数计算表序号 图形名称 图B任 意 三 角 形

式

参数 代号a b

参数值4

名

称A=b*h/2

计算公式

计算值6.000 6.000 53.130° 90.000° 36.870° 60.000° 120.000° 0.176 0.260 0.225 2.598 1.000

面积(A) 5 3 2.4 6 圆心角(α) β n 6 内角(β) R s R 0.26 面积(A) 外接圆(R) 内切圆(r) 面积(A) β=180-α=180*(n-2)/n A=n*s*r/2 R=(s/2)/sin(α/2) r=(s/2)/tan(α/2) A=n*R^2*sin(α/2)*cos(α/2) s=2*R*sin(α/2) 角度(°) A=sqrt((s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) ∠A=acos((b^2+c^2-a^2)/(2*b*c)) ∠B=acos((a^2+c^2-b^2)/(2*a*c)) ∠C=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*a*b)) α=360/n

c

1

h

ac

A

b

C

h s

2

正 n 边 形

r α

Sl

R

1 边长(s)

r

9 面积(A) A=l*r

《面积意义和面积单位》

【教学内容】

人教版《义务教育课程标准实验教科书〃数学》三年级下册第70～76页。

【教学目标】

1、初步理解面积的意义，体会统一面积单位的重要性。 2、认识常用的面积单位平方厘米、平方分米、平方米，初步形成这些单位实际大小的观念。建立1平方米、 1平方分米、1平方厘米的表象。

3. 学习选用观察、重叠、数格子的方法比较面积的大小。让学生凭借直观，发展空间观念。给学生留下探究空间，获得成功 4、培养学生观察、比较、抽象、概括的能力.提高解决实际问题的能力。

5、培养学生学习数学的兴趣及合作学习、探究学习的精神 【教学重点】使学生知道面积的含义，认识常用的面积单位。 【教学难点】面积单位和长度单位的区别。

【教学过程】

一、情境引入，设计悬念

同学们，你们想听阿凡提的故事吗？请看（讲阿凡提的故事！） （听故事）

你们知道这份契约有什么问题吗？学习了今天这节课你就明白了。

二、体验感知，理解面积的意义 1、物体表面的面积

①由故事中的“60米”引出长度单位。

1

常用的长度单位有哪些呢？测量长度单位需要用到什么工具？ 比较两把尺子的长短，物体有长短。 ②比较树叶的大小，引出：物体是有大小的

③

《面积意义和面积单位》

【教学内容】

人教版《义务教育课程标准实验教科书〃数学》三年级下册第70～76页。

【教学目标】

1、初步理解面积的意义，体会统一面积单位的重要性。 2、认识常用的面积单位平方厘米、平方分米、平方米，初步形成这些单位实际大小的观念。建立1平方米、 1平方分米、1平方厘米的表象。

3. 学习选用观察、重叠、数格子的方法比较面积的大小。让学生凭借直观，发展空间观念。给学生留下探究空间，获得成功 4、培养学生观察、比较、抽象、概括的能力.提高解决实际问题的能力。

5、培养学生学习数学的兴趣及合作学习、探究学习的精神 【教学重点】使学生知道面积的含义，认识常用的面积单位。 【教学难点】面积单位和长度单位的区别。

【教学过程】

一、情境引入，设计悬念

同学们，你们想听阿凡提的故事吗？请看（讲阿凡提的故事！） （听故事）

你们知道这份契约有什么问题吗？学习了今天这节课你就明白了。

二、体验感知，理解面积的意义 1、物体表面的面积

①由故事中的“60米”引出长度单位。

1

常用的长度单位有哪些呢？测量长度单位需要用到什么工具？ 比较两把尺子的长短，物体有长短。 ②比较树叶的大小，引出：物体是有大小的

③

各种图形计算公式表 名称 图形 计算公式 尺寸说明

长方形

V=abh S=2(abahbh S=2h(ab =√aabbhh

a、b、h---边长 O---底面对角线交点 V(体积、F(底面积、S(面积、S 侧表面积

三棱体

V=Fh S=(abch2F S=(abch

a、b、c---边长 h=高 F=底面积 O=底面中线交点

棱锥

V=Fh S=nfF S=nf

f---一个组合三角形的面积 n---组合三角形的个数 O---锥底各对角线交点 F---棱锥的底面积 h---棱锥的高

棱台

V=h(FF2√FF2 S=anFF2 S=an

F、F2---两平行底面的面积 h---底面间的距离 a---一个组合梯形的面积 n---组合梯形的个数

圆柱和 空心圆 柱

园柱V=πh S=2πh2π S=2πh 空心直园柱V=πh(=2πh S=2π(h2π( - S=2π(h;

---外半径 ---内半径 ---柱壁厚度 ---平均半径 Si---内外侧面积

各种图形计算公式表

斜截直 圆柱

h---最小高度 h

六 、体积和面积问题

1. 一个圆柱形水桶,底的直径是1.2尺,水桶高1.5尺,做100个这样的

水桶,要用铁皮多少平方尺?

2. 有一个圆柱形水桶,从外面量高是0.95米,直径是0.61米,如果桶壁

厚度5毫米,这个水桶的容积是多少立方分米?

3. 水在内直径为1.4米的管子里流动,如果水流速度每秒2米,那么15

分钟流过的水是多少立方米?

4. 一个建筑工地挖地基,长24.5米,宽18米,深2米.挖出的土平均每4

立方米重7吨.如果用载重7吨的汽车6台,把这些土的2/3运出,需运多少次?

1

5. 一根圆钢材长50厘米,横截面直径为8厘米,共重20096克. 这根

圆钢材加工成一个零件后重量为17600克. 这个零件的体积是多少立方厘米?

6. 已知一个正方形的周长和一个圆的周长相等.如果这个圆的周长

是62.8厘米,那么正方形的面积和圆的面积哪一个大?大多少平方厘米？

7. 一个钢管长1.5米,外圆的周长是78.5厘米,管厚是5厘米.每立方厘米的钢管重为7.8克,问这支钢管重多少克?

8. 一个长方形的长和宽都增长5厘米后,它的面积就增加125平方厘米,原来