初中数学竞赛几何定理

第一讲 注意添加平行线证题

在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.

添加平行线证题,一般有如下四种情况.

1 为了改变角的位置

大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P、Q为线段BC上两点,且BP＝CQ, ADA为BC外一动点(如图1).当点A运动到使 ∠BAP＝∠CAQ时,△ABC是什么三角形？试 证明你的结论. BPQC答： 当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时,△ABC为等腰三角形. 图1证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.

在△DBP＝∠AQC中,显然 ∠DBP＝∠AQC,∠DPB＝∠C. 由BP＝CQ,可知 △DBP≌△AQC.

有DP＝AC,∠BDP＝∠QAC. 于是,DA∥BP,∠BAP＝∠BDP.

则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB＝DP. 所以AB＝AC.

这

第一讲 注意添加平行线证题

在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.

添加平行线证题,一般有如下四种情况.

1 为了改变角的位置

大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P、Q为线段BC上两点,且BP＝CQ, ADA为BC外一动点(如图1).当点A运动到使 ∠BAP＝∠CAQ时,△ABC是什么三角形？试 证明你的结论. BPQC答： 当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时,△ABC为等腰三角形. 图1证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.

在△DBP＝∠AQC中,显然 ∠DBP＝∠AQC,∠DPB＝∠C. 由BP＝CQ,可知 △DBP≌△AQC.

有DP＝AC,∠BDP＝∠QAC. 于是,DA∥BP,∠BAP＝∠BDP.

则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB＝DP. 所以AB＝AC.

这

初中几何定理归纳

三角形三条边的关系

定理：三角形两边的和大于第三边

推论：三角形两边的差小于第三边

三角形内角和

三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

推论1 直角三角形的两个锐角互余

推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

角的平分线

性质定理 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

几何语言：

∵OC是∠AOB的角平分线（或者∠AOC＝∠BOC）

PE⊥OA，PF⊥OB

点P在OC上

∴PE＝PF（角平分线性质定理）

判定定理 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上

几何语言：

∵PE⊥OA，PF⊥OB

PE＝PF

∴点P在∠AOB的角平分线上（角平分线判定定理）

等腰三角形的性质

等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等

几何语言：

∵AB＝AC

∴∠B＝∠C（等边对等角）

推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

几何语言：

（1）∵AB＝AC，BD＝DC

∴∠1＝∠2，AD⊥BC（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边）

（2）∵AB＝AC，∠1＝∠2

∴AD⊥BC，BD＝DC（等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边）

（3）∵AB＝AC，AD⊥BC

∴∠1＝∠2，BD＝

篇一：个人精心整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理~及考纲

一、

1. 梅涅劳斯定理

平面几何

证明：当直线交△ABC的AB、BC、CA的反向延长线于点D、E、F时，

(AD/DB)*(BE/EC )*(CF/FA)=1

逆定理证明：

证明：X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1

证明一

过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，

则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG

三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1

证明二

过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF

所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1

证明四

过三顶点作直线DEF的垂线，AA‘，BB'，CC'

有AD：DB=AA’：BB' 另外两个类似， 三式相乘得1

得证。如百科名片中图。

※ 推论 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是

λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是A

初中数学竞赛专题培训 勾股定理与应用

勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a+b=c． 勾股定理逆定理 如果三角形三边长a，b，c有下面关系：

a2+b2=c2

那么这个三角形是直角三角形．

早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法．

关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法．

证法1 如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和． 过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为

AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，

所以△ACE≌△AGB(SAS)．而

2

2

2

所以 SAEML=b2． ① 同理可证 SBLMD=a． ② ①+②得

SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，

即 c2=a2+b2．

证法2 如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，

平面几何的定理

模型1：【内心与外接圆】设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′C.换言之， 点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆也成立). A

I

BC

A' 模型2【内切圆与旁切圆】 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常 常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切. A 性质：（1）设AIA的连线交△ABC的外接圆于D，则DIA＝DI＝DB＝DC； （2）△ABC的∠A的内角平分线交外接圆于点D，以点D为圆心，DC 为半径作圆，与直线AD相交于两点I和IA，则这两点I和IA恰好是△ABC 的内心和旁心。 I BC

D

IA

模型【3垂心性质】△ABC 垂心H关于三边的对称点在△ABC的外接圆上，关于三边中点的对称点在△ABC

的外接圆上；三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的2倍(AH＝|2RcosA|)。

A

B'F

E

O H M DBC

H'

1

模型4【圆幂定理】 从一定

2018年初中数学竞赛辅导专题讲义

第16章几何变换

§16.1对称和平移

16．1．1★设M是边长为2的正三角形ABC的边AB的中点．P是边BC上的任意一点，求PA?PM的最小值．

CPM'A'AMB

解析作正三角形ABC关于BC的对称图形△A?BC．M?是M的对称点，故M是A?B的中 点．PM?PM?，如图所示，则 PA?PM?PA?PM?≥AM?.

连结CM?，易知?ACM??90?，所以AM??AC2?CM?2?4?3?7． 所以，PA?PM的最小值是7．

16．1．2★★已知△ABC中，?A?60?．试在△ABC的边AB、AC上分别找出一点P、Q，使BQ?QP?PC最小．

解析作B关于直线AC的对称点B?，C关于直线AB的对称点C?，连B?C?与AB、AC分别交于点P、Q，则P、Q即为所求，如图所示．

CPM'A'AMB

事实上，对于AB、AC上的任意点P?，Q?， BQ??Q?P??P?C?B?Q??Q?P??P?C? ≥B?C??B?Q?QP?PC? ?BQ?QP?PC．

评注因为?A?60?，所以所作线段B?C?必与线段AB、AC相交．

16．1．3★★求证：直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上高的两倍．

解析如图所示，设

竞赛专题讲座－平面几何四个重要定理

重庆市育才中学 瞿明强

四个重要定理：

梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）

△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、

R共线的充要条件是 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）

。

△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的

充要条件是

托勒密(Ptolemy)定理

。

四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。

西姆松(Simson)定理（西姆松线）

从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

例题：

1． 设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证：

。

【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理）

【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。

2． 过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。

求证：。

【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。

DEG截△ABM→（梅氏定理）

DGF截△ACM→（梅氏定理）

∴===1

【评注】梅氏定理

3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，

，AD、BE、CF交成△LMN

竞赛专题讲座－平面几何四个重要定理

重庆市育才中学 瞿明强

四个重要定理：

梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）

△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、

R共线的充要条件是 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）

。

△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的

充要条件是

托勒密(Ptolemy)定理

。

四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。

西姆松(Simson)定理（西姆松线）

从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

例题：

1． 设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证：

。

【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理）

【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。

2． 过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。

求证：。

【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。

DEG截△ABM→（梅氏定理）

DGF截△ACM→（梅氏定理）

∴===1

【评注】梅氏定理

3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，

，AD、BE、CF交成△LMN

全部、初中几何定理

1过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的相等

4 同角或等角的相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9 相等，两直线平行

10 相等，两直线平行

11 同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，相等

13 两直线平行，相等

14 两直线平行，互补

15 定理 三角形两边的和大于第三边

16 推论 三角形两边的差小于第三边

17 三角形三个内角的和等于180°

18 推论1 直角三角形的两个互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23 角边角 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24 推论 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25 边边边 有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理1 在角的平分线上的点到