直线斜率k的求法

直线斜率的求法

直线的斜率是反映直线倾斜程度的特征量，在解决有关直线的方程问题中占据着重要的地位.下面例析直线斜率的几种常见求法，以期帮助同学们掌握斜率这一重要知识点.

一、 已知倾斜角定义求

例1 如图，菱形ABCD中， ADC 1200，分别求出BC、CD、AC、BD所在直线的斜率.

分析：准确的找出（或求出）所求直线的倾斜角是关键. 每一条直线都有唯一的倾斜角，直线与横坐标轴正半轴方向的夹角即为该直线的倾斜角.

解：因为在菱形ABCD中， ADC 1200，

所以， BAD 600， ABC 1200，

故kBC tan(1800

1200)=tan60 ；

因为CDPABPx轴，所以直线CD倾斜角为0，故kCD tan00 0; 00

又因为菱形的对角线是相应角的角平分线，

所以 BAC 300， DBA 600，

所以 DBx 1800 DBA 1200，

所以，kAC tan300

kBD tan1200 点评：由直线的倾斜角求斜率，必须正确利用直线的倾斜角与斜率的

000关系：k tan （其中 0,180 且 90）.要注意斜率k随着倾斜角

的变化而变化的趋势：当 00时，k 0；当00 900时，k为正且随着 的增大而增大；当 90

直线的倾斜角与斜率

课前热身

1.下列说法中正确的是( )

A.一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角.

B.直线的倾斜角α的取值范围是第一或第二象限角. C.和x轴平行的直线，它的倾斜角为180°.

D.每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率. 2.下列多组点中，三点共线的是( ) A.(1，4)，(-1，2)，(3，5) C.(1,0),(0,-13B.(-2,-5),(7,6),(-5,3) D.(0，0)，(2，4)，(-1，3)

),(7，2)

3.已知直线l1的方程是ax-y+b＝0,l2的方程是bx-y-a＝0(ab≠0,a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是( )

4.设点A(2，-3)，B(-3，-2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )

A.k≥

34或k≤-4

34

B.k≥D.-

3434或k≤-

14

C.-4≤k≤

知识要点

≤k≤4

3.1倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平

求直线的斜率的几种基本方法

重庆市 唐小荣 一、利用定义)2(tan π

αα≠=k

例1（教材）如图1，直线1l 的倾斜角1α =30°，直线2l ⊥1l ，求1l ，2l 的斜率． 解：1l 的斜率3

330tan 01=

=k ，的倾斜角00021203090=+=α，2l ∴的斜率3120tan 02-==k 2α

二、利用两点式 如果直线过))(,(),(212211x x y x B y x A ≠、，那么可用公式1

212x x y y k --=

求直线的斜率

例2 求经过两点)1,2(A 和)2,(m B 的直线l 的斜率 解：当2=m 时，221==x x ，所以直线l 垂直于x 轴，故其斜率不存在。 当2≠m 时，则直线l 斜率1212x x y y k --==212--m =2

1-m 。 例3 如图2，已知直线l 过点P )2,1(-，且与以A )3,2(--，B )0,3(为端点的线段相交。求直线l 的斜率的取值范围。

解：直线PA 的斜率是,5)2(1)3(21=-----=k 直线PB 的斜率2

1)1(3202-=---=k ，当直线l 由PA 变化与Y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由锐角)5(tan =αα增至900，斜

数学说课教案

直线的倾斜角和斜率

一 、教材结构与内容分析

直线的倾斜角与斜率是高二数学教材第二册（上）第七章第一节的内容，是在学生已经掌握了函数的图像和三角以及向量的知识后学习的。它是解析几何的第一课时，可以让学生认识到数形结合这种数学思想方法的重要性，同时为进一步学习直线的方程做知识铺垫。

二、教学目标

1．基础知识目标：使学生了解直线的方程和方程的直线概念，理解直线的倾斜角和斜率的概念。

2．能力训练目标：培养学生观察、归纳、联想等发现规律的一般方法，并初步了解数形结合的数学思想。

3．情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣，师生共同构建和谐课堂。

三、教学重点、难点和关键

1．教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念。 2．教学难点：斜率概念的学习。 3．关键：正确理解斜率的概念。 四、教法和学法

为了体现以学生发展为本，体现循序渐进与启发式的教学原则，我进行了这样的教法设计：在教师的引导下，创设情境，确立学生的课堂主体地位，通过一系列问题的设置来启发学生思考，在思考中体会数学概念形成过程中所蕴含的数学思想方法，同时辅以多媒体手段，结合师生共同讨论，培养学生观察、讨论、归纳等学习数学的方法。

五、教学过程设计

（一）创设情境，引入主题

用一个二元一次

教学设计方案

XueDa PPTS Learning Center

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页

姓名 覃桂穗

学生姓名 填写时间

学科 数学

年级

高二

教材版本 人教版 阶段

观察期□：第（ ）周 维护期□

本人课时统计 第（ ）课时 共（ ）课时 课题名称 直线倾斜角、斜率

课时计划

第（ ）课时 共（ ）课时

上课时间

教学目标

同步教学知识内容

直线与圆

个性化学习问题解决 直线倾斜角及斜率

教学重点 直线倾斜角及斜率 教学难点 斜率不存在时需要讨论

教学过程

教师活动

学生活动

一、知识梳理

1.直线的倾斜角、斜率及直线的方向向量

（1）直线的倾斜角

在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.

当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°. 可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. （2）直线的斜率

倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，

即k =tan α（α≠90°）.

倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90

直线的倾斜角与斜率

这章我们来学习平面几何，以前研究平面几何，我们是直接依据图形中点、线、面的关系，研究图形的性质。现在我们采用另一种研究方法：坐标法，就是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质，这种方法叫解析几何法，解析几何法的创立是数学发展史上的一个重要的里程碑。本课时我们将研究最基础的知识——直线的倾斜角和斜率，请同学们在其学习过程中体会和感受解析几何研究问题的基本方法和思想。

教学目标:

理解直线的倾斜角的概念，理解斜率的概念和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。 一．导学问题： 1. 平面内，确定直线的条件是什么？这里“确定”的含义是什么？ 预设的回答：两点确定一条直线。

2. P是平面直角坐标系内任一点，请过P作一条直线，和同桌比较你们所作直线是否相同，并思考你们所作的直线有什么不同。

师：可见过一点的直线有无数条，要想过一点确定一条直线，还得加上直线的方向，我们用直线的倾斜角来刻画，那么什么是直线的倾斜角？

3.直线倾斜角的定义是什么，并在定义中标出你认为的关键词。 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线向．．．．．．l．．上方向之间所成的角α

高一数学教学

3．1《直线的倾斜角与斜率》导学案

【学习目标】:

1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念。

2.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。

3.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直。

4.通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力。 【学习重点】:

1.直线的倾斜角、斜率的概念和公式。 2.两条直线平行和垂直的条件。 【学习难点】:

1.斜率公式的推导。

2.启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.【知识链接】:

平面直角坐标系,坐标,正切函数,诱导公式 【学习过程】: 一 预习自学

1．当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，＿＿＿＿＿＿＿＿的角 叫做直线l的倾斜

角，特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定 0，故 取值范围是＿＿＿。 2．我们将一条直线的倾斜角 （ 90）的正切值tan ，称为＿＿＿，通常用k表示。即k tan 。由定义知，倾斜角为＿＿的直线斜率不存在。

3．给定两点P 1 x1,y1 ，P2 x2,y2 ，x1 x2，过两点的直线的斜率公式为：＿＿＿＿＿。

小试身手：

（1）.直线l经过原点和点 1,1 ，则

3.1.1直线的倾斜角与斜率

勒奈·笛卡尔 勒奈 笛卡尔（René Descartes，

1596-1650）：法国数学家、科

学家和哲学家，堪称17世纪 以来欧洲哲学界和科学界最 有影响的巨匠之一，被誉为 “近代科学的始祖”.

解析几何

坐标法

坐标法：以坐标系为桥梁， 坐标法：以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数 问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法. 问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.

在平面直角坐标系里

点用坐标表示: 直线如何表示呢？

y y

p ( x, y )

o

o

思考？

一条直线的位置由 哪些条件确定呢？

直线的位置

我们知道，两点确定一条直线。

y

o

一点能确定一条 直线的位置吗？

过一点O的直线可以作无数条， 可以用直线与X轴的夹角描述它 们的倾斜程度

一、直线的倾斜角

1、直线倾斜角的定义：

当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基 准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角 倾斜角（angle of inclination） 倾斜角

y

α

o

注意： (1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。

练习：

下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )

y y

α

o o

α

A

y

B

α

y

o

α

D

o

C

们规定它的倾斜角为 0 o ，因此，直线 o o 的倾斜角的取值

8.2 直线的倾斜角与斜率

【教学目标】

知识目标：

1. 掌握直线的倾斜角的概念，知道直线的倾斜角的范围．

2. 理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式，了解倾斜角与斜率之间的关系． 能力目标：

让学生从学习中体会到用代数方法解决几何问题的优点，能够从不同角度去分析问题，体会代数与几何结合的数学魅力．

情感目标：

在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境.同时培养独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神.

【教学重点】

直线倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式。

【教学难点】

倾斜角概念形成，斜率概念的理解。

【教学设计】

这节课主要采用了发现探究，学生合作讨论的教学法．本节首先通过观察同一坐标系中的两条直线引入了直线倾斜角的定义，在明确了倾斜角范围后，定义了直线的斜率，最后讨论了直线斜率与直线上两个不同点坐标之间的关系．直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要引导学生正确理解概念．

【教学备品】

教学课件．

【教学方法】

发现探究法

【课时安排】

1课时．(45分钟)

【教学过程】 环

直线的倾斜角与斜率练习题

评卷人 得 分 一．选择题（共16小题）

1．直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，则l1与l2的位置关系是（ ） A．平行 B．重合

C．相交但不垂直 D．垂直

2．直线x+y﹣1=0的倾斜角为（ ）

A．

B．

C．

D．

3．若直线x﹣y﹣1=0的倾斜角为α，则α的值是（ ） A．

B．

C．

D．

4．直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（ ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

5．若三点A（3，1），B（﹣2，b），C（8，11）在同一直线上，则实数b等于（A．2

B．3

C．9

D．﹣9

6．直线的倾斜角是（ ）

A．30° B．45° C．60° D．120°

7．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是（ ） A．[0°，90°） B．[0°，180°） C．[90°，180°）

D．（90°，180°）

8．若直线l过点A（﹣1，1），B（2，﹣1），则l的斜率为（ ） A．﹣ B．﹣ C． D． 9．若直线过点M（1，2），N（4，2+），则此直线的倾斜角为（ ）A．30° B．45° C．60° D．90°

10．若直线x+（