复合函数的微分法与隐函数的微分法
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5、复合函数微分法与隐函数微分法
复合函数微分法与隐函数微分法
一、复合函数微分法复习: 一元复合函数 y f (u), u ( x)
dy dy du 求导法则 dx du dx微分法则 dy f (u)du f (u) ( x)dx要求:熟练掌握多元复合函数求导的链式法则
1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理:若函数u=u(t),v=v(t)都在点t可导,函数z=f(u,v) 在点(u,v)处偏导数连续,则复合函数z=f(u(t),v(t)) 在点t可导,且有链式法则: z
dz z du z dv dt u dt v dt(1)z只有一个自变量 (2)z有两个中间变量 (3)两个中间变量u,v都只一个自变量
u t
v t
证明略
推广: 设z=f(u,v,w) ,u=u(t),v=v(t),w=w(t) ,
则z=f(u(t),v(t),w(t))对t的导数为
z u t v t w t
全 导 数 公 式
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
dz z du z dv dt u dt v dt
2、复合函数的中间变量均为多元函数的情
多元函数微分法及其应用习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用
(A)
1.填空题
?2z?2z(1)若z?f?x,y?在区域D上的两个混合偏导数, ,则在D上,
?x?y?y?x?2z?2z。 ??x?y?y?x(2)函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处可微的 条件是z?f?x,y?在点?x0,y0?处的偏导数存在。
(3)函数z?f?x,y?在点?x0,y0?可微是z?f?x,y?在点?x0,y0?处连续的 条件。 2.求下列函数的定义域
(1)z?x?y;(2)u?arccos3.求下列各极限
1?cos(x2?y2)sinxyxy(1)lim; (2)lim; (3)lim2
x?0(x?y2)x2y2x?0x?0xxy?1?1y?0y?0y?0zx?y22
?3z?3z4.设z?xln?xy?,求2及。 2?x?y?x?y5.求下列函数的偏导数 (1)z?arctg23y;(2)z?ln?xy?;(3)u?exyz。 xdz。 dtdu7.设u?ex?y?z?,x?t,y?sint,z?cost,求。
dt6.设z?uv2?tcosu,u?et,v?lnt,求全导数
?x2?y2?z?8.曲
经济数学(多元函数的微分法及其应用习题及答案)
第八章 多元函数的微分法及其应用
习题 8-1
1. 指出下列平面位置的特殊性质:
(1)2x?3y?20?0 (2)3x?2?0
(3)4y?7z?0 (4)x?y?z?0 解 (1)因为方程中缺变量z, 所以该平面平行于z轴.
(2)因为方程中缺变量y、z, 所以该平面平行于yz平面即垂直于x 轴.
(3)因为方程中缺变量x且不含常数项, 所以该平面平行于x轴且经过原点(0,0,0). (4)因为方程中缺常数, 所以该平面通过原点(0,0,0).
2. 求下列轨迹的方程:
(1)与点(3,0,?2)的距离为4个单位的点的轨迹;
(2)与两定点P(c,0,0)和Q(?c,0,0)的距离之和等于2a(a?0)的点的轨迹; (3)与z轴和点(1,3,?1)等距离的点之轨迹;
(4)与yz平面的距离为4,且与点(5,2,?1)的距离为3的点之轨迹.。 解 设动点为M(x,y,z),则
(1)点M(x,y,z)与点(3,0,?2)的距离为 整理得动点M(x,y,z)的轨迹为
(x?3)2?(y?0)2?(z?
第七章 多元函数微分法及其应用
第七章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集n 维空间
1.区域
由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点p 与有序二元实数组(x , y )之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x , y )与平面上的点P 视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.
二元的序实数组)(y x ,的全体,即},),{(2R y x y x R R R ∈=?=就表示坐标平面。
坐标平面上具有某种性质p 的点的集合,称为平面点集,记作
}),(),{(p y x y x E 具有性质=
邻域:
设),(000y x P 是xOy 平面上的一个点,δ是某一正数 与点),(000y x P 距离小于δ的点),(y x P 的全体 称为点0P 的δ邻域 记为),(0δP U , 即
}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P
U 邻域的几何意义: U (P 0, δ)表示xOy 平面上以点P 0(x 0, y 0)为中心、δ>0为半径的圆的内部的 点P
(x , y )的全体.
点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U , 即
}||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U .
注: 如果不需要强
西工大—高数答案—多元函数微分法及其应用
第八章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的极限与连续
1.填空
(1)设f?x,y??3x?2y,则f?xy,f?x,y???3xy?6x?4y. (2)设f?y,??x?y?2??x?y,则fx?xy?1?x,y??x?2?x?0?.
(3)设z?z?y?x?1.
y?f?x?1,若当y?1时z?x,则函数f??x??x?2x,
2(4)函数u?arccosz222的定义域是 {?x,y,z?x?y?z?0,x?y?0}.
22222x?y(5)函数z?24x?y222ln(1?x?y)2的定义域是
{(x,y)0?x?y?1,x?y24},此定义域
可用平面图形表示为(图8.1)
(6)函数z?ln?1?x2?y2?在x?y?1
22是间断的.
解 (1)f(xy,f(x,y))?3(xy)?2f(x,y)
=3xy?2(3x?2y)?3xy?6x?4y.
(2) 令y?u,x?yxuv?1?v,可解得x?2图 8.1
uv?1,y?u,于是
2 f(u,v)? (3)于式 z?再令 ?u, f(x,y)?x?xy?1.
y?f(x?1)中令y?1得x?1?f(x
西工大—高数答案—多元函数微分法及其应用
第八章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的极限与连续
1.填空
(1)设f?x,y??3x?2y,则f?xy,f?x,y???3xy?6x?4y. (2)设f?y,??x?y?2??x?y,则fx?xy?1?x,y??x?2?x?0?.
(3)设z?z?y?x?1.
y?f?x?1,若当y?1时z?x,则函数f??x??x?2x,
2(4)函数u?arccosz222的定义域是 {?x,y,z?x?y?z?0,x?y?0}.
22222x?y(5)函数z?24x?y222ln(1?x?y)2的定义域是
{(x,y)0?x?y?1,x?y24},此定义域
可用平面图形表示为(图8.1)
(6)函数z?ln?1?x2?y2?在x?y?1
22是间断的.
解 (1)f(xy,f(x,y))?3(xy)?2f(x,y)
=3xy?2(3x?2y)?3xy?6x?4y.
(2) 令y?u,x?yxuv?1?v,可解得x?2图 8.1
uv?1,y?u,于是
2 f(u,v)? (3)于式 z?再令 ?u, f(x,y)?x?xy?1.
y?f(x?1)中令y?1得x?1?f(x
第8章 多元函数微分法及其应用 习题 9- (3)
多元函数微分法及其应用习题
第三节 三重积分的计算
习题 9-3
1. 化三重积分I=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz为直角坐标系中的三次积分, 其中积分区
Ω
域Ω分别是:
(1) Ω={(x,y,z)0≤x≤2,1≤y≤3,0≤z≤2};
(2)
由锥面z=与平面z=1围成的闭区域;
(3) 由双曲抛物面z=xy及平面x+y=1,z=0围成的闭区域; (4) 由曲面z=x2+2y2及z=2 x2围成的闭区域. 解 (1) 易知∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫dx∫dyf(x,y,z)dz.
01
Ω
(2) 如图9.40, 区域Ω在xOy面上的投影
区域是圆域x+y≤1, 故
2
2
2
3
2
∫∫∫f(x,y,z)dxdydz
Ω
=∫dx∫
1
1y1f(x,y,z)dz.
(3) Ω的顶z=xy和底面z=0的交线为x区域由x轴,y轴和直线x+y=1所围成. 于是Ω可用不等式表示为:0≤z≤xy, 0≤y≤1 x, 0≤x≤1, 因此
∫∫∫
Ω
f(x,y,z)dxdydz=∫dx∫
11 x0
dy∫
xy0
f(x,y,z)dz.
22 z=x+2y,
(4) 如图9.41, 由
2
z=2 x
得x+y=1, 故区域Ω在xOy区域是圆域x2+y2≤1, 于
第8章 多元函数微分法及其应用 习题 8- (7)
高等数学 多元函数微分法及其应用习题
第七节 方向导数与梯度
习题 8-7
1. 求下列函数在指定点M0处沿指定方向l的方向导数:
π
(1) z=cos(x+y), M0(0,), (3,l= 4);
2l=. (2) u=xyz, M0(1,1,1), (1,1,1)
解 (1) 由方向l=(3, 4)可求出与l同向的单位向量为
34
el=(, ,
55
因为函数可微分, 且
z x
π(0,2
= sin(x+y)
π(0,)2
= 1,
z y
π(0,)2
= sin(x+y)
π(0,2
= 1,
故所求方向导数为
z l
π(0,2
341
=( 1) +( 1) ( =.
555
(2) 函数u=xyz在平面上处处可微, 则
u u u u
=cosα+cosβ+cosγ, l x y z
因为
u u u u u u
=yz,=xz,=xy, 所以在点(1,1,1)处有===1. x y z x y z
由l
=(1,1,1)得l=, 于是
cosα=cosβ=cosγ=
故所求方向导数为
,
u
l
(1,1,1)
=11+1=.
2. 求函数z=ln(x+y)在抛物线y2=4x上点(1,2)处, 沿着这抛物线在该点处与x轴正向夹角为锐角的切线方向的方向导数.
解 先求切
考研经典数学讲义第八章多元函数微分法
多元函数微分法
第八章 多元函数微分法一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 一元函数微分学 推广 多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同.1
多元函数微分法
一、基本概念1. 多元函数 (1) 区域 邻域 : U ( P0 ,δ), U ( P0 ,δ) 区域 连通的开集n
y
o
P0x
z
R 空间 {( x1 , x2 xn ) xi R}
(2) 多元函数概念 定义域及对应规律 n 元函数 u f ( P ) f ( x1 , x2 , , xn )
z x2 y2
P D R常用
n
x
y
二元函数 z f ( x , y ) (图形一般为空间曲面) 三元函数u f ( x , y, z ) (无几何直观)2
多元函数微分法
arcsin( 3 x 2 y 2 ) 的定义域. 例1. 求 f ( x , y ) 2 x y
3 x2 y2 1 2 x 2 y 2 4 解: 2 2 x y 0 x y 所求定义域为:
y x
o
2
D {( x, y ) | 2 x 2 y 2 4, x y
多元函数微分学--多元复合函数求导
第三节 多元复合函数微分法
第三节 复合函数的微分法一. 复合函数的微分法 dy dy du = 一元复合函数的微分法则--链导法:(1).z = f [ ( x),ψ ( x)]dx du dx
推广
定理1 设 u = (x) 和 v = ψ (x) 都在点x可导,而z=f(u,v)在对应点 (u,v)可微,则复合函数 z = f [ ( x),ψ ( x)] 在点x可导,且 全导数dz f du f dv = + dx u dx v dx
u z v x
(证明略) 注:1.上述定理可推广到所有的多元复合函数.
2. 因为多元复合函数类型复杂,所以不要死记公式,要学会用 复合关系图.
例如: z = f (u , v, w), u = ( x), v = ψ ( x), w = h( x)dz f du f dv f dw = + + dx u dx v dx w dx
z
u v w
x
u z v
x y
(2).z = f [ ( x, y ),ψ ( x, y )]
定理2 设 u = ( x, y ) 和 v = ψ ( x, y ) 都在点(x,y)可偏导,而z=f(u,v) 在对应点(u,