线性系统控制理论

《 线性系统理论基础》 考试试卷 A 卷

考试说明：考试时间：95分钟 考试形式（开卷/闭卷/其它）：闭卷

适用专业： 自动化

承诺人： 学号： 班号：

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注：本试卷共 6 大题，共 14 页，满分100分，考试时必须使用卷后附加的统一答题纸和草稿纸。请将答案统一写在答题纸上，如因答案写在其他位置而造成的成绩缺失由考生自己负责。

卷 面 成 绩 汇 总 表（阅卷教师填写） 题号 满分 得分 得 分 一 二 三 四 五 六 总成绩 一、（20分）建立下列系统的状态空间模型：

1．已知图1所示的质量-弹簧-

第一部分: 线性系统时间域理论 线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直 接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论 和方法。

第二章 线性系统的状态空间描述2.1 状态和状态空间系统动态过程的数学描述u1yq

u2up

x1, x2 , , xn

y2yq

1/4,1/50

(1).系统的外部描述 外部描述常被称作为输出—输入描述 例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:

u1

yq

u2up

x1, x2 , , xn

y2yq

y ( n) an 1 y ( n 1) a1 y (1) a0 y bn 1u ( n 1) b1u (1) b0u复频率域描述即传递函数描述

bn 1 s n 1 b1 s b0 y( s) g ( s) n u( s) s an 1 s n 1 a1 s a0(2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程 (3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不 能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,

兰州理工大学2015级线性系统理论大作业

线性系统理论Matlab 实验报告

1、在造纸流程中，投料箱应该把纸浆流变成2cm的射流，并均匀喷洒在网状传送带上。为此，要精确控制喷射速度和传送速度之间的比例关系。投料箱内的压力是需要控制的主要变量，它决定了纸浆的喷射速度。投料箱内的总压力是纸浆液压和另外灌注的气压之和。由压力控制的投料箱是个耦合系统，因此，我们很难用手工方法保证纸张的质量。

在特定的工作点上，将投料箱线性化，可以得到下面的状态空间模型：

.??0.8?0.02??0.051? x???x??0.0010?u ?0.020???? y??x1,x2?

其中，系统的状态变量x1=液面高度，x2=压力，系统的控制变量u1=纸浆流量u2=气压阀门的开启量。在上述条件下，试设计合适的状态变量反馈控制器，使系统具有实特征根，且有一个根大于5

解：本题目是在已知状态空间描述的情况下要求设计一个状态反馈控制器，从而使得系统具有实数特征根，并要求要有一个根的模值要大于5，而特征根是正数时系统不

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第10章 状态空间分析法 章要求：1.理解和掌握一些基本概念； 2.掌握建立系统状态空间表达式的基本方法； 3.会进行状态空间表达式的求解； 4.掌握状态的能性与能关性的判定； 5.熟悉系统状态稳定性的分析； 6.会进行系统的综合 重点：状态空间表达式的建立与分析 难点：系统综合

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10.1 系统的状态空间描述10.1.1 状态空间表达式1. 状态变量

概念： 概念：描述系统状态的最小个数的一组变量中的一个变量。通常用x表示， 对于特殊情况，可用其它。 对于n阶系统，有n个独立变量，这n个变量即构成该系统的n个状态变量。 特点： 特点： ①是时间的函数； ②不唯一。2. 状态矢量和状态导数矢量

将选定的系统所有状态变量及各自对时间的一次导数分别构成的矢 & 量，称为系统的状态矢量和状态导数矢量。分别用x(t)和 x (t )表示： : x1 (t ) x (t ) x (t ) = 2 M xn (t ) x1 x x = 2 M xn & x1

第一章 习题（Exercises）

1-1 设有矩阵

0 0A

an

试证，A的特征多项式为

10 an 1

01 an 2

0 0

a1

( ) det( I A) n a1 n 1 a2 n 2 an 1 an

若 i是A的特征值，试证 1, i, i i

2

n 1T

是对应于 i的特征向量。

1-2 若 i是A的一个特征值，试证f( i)是矩阵f(A)的一个特征值。 1-3 试求下列矩阵的特征多项式和最小多项式

1

1 1

1

1

1

1-4 给定

110

A 001

001

试求A

101

和e

At

1-5 若D可逆，证明

AB

det detD det A BD 1C CD

1-6 若A R

p q

,B Rq p，试证

det Ip AB det Iq BA

1-7 求下列齐次方程的基本解阵和状态转移矩阵

（1）x

0t 0cost

x， （2）xx 0 0 00

0e t 0

（3）x， （4）x x 0 x

00

1-8 已知A,B为常值方阵，且AB BA，试证明

本 科 毕 业 设 计（论文）

题 Matlab的非线性系统控制仿真研究

学生姓名：张 猛

学 号：07131108

专业班级：应用物理学08-1班

指导教师：沈 跃

张令坦

2012年6月15日

目：基于

摘 要

自动控制技术已广泛应用于制造业、农业、交通、航空及航天等众多产业部门，极大地提高了社会劳动生产率，改善了人们的劳动环境，丰富和提高了人民的生活水平。然而，在控制技术需求的推动下，控制理论本身也取得了显著的进步。从线性近似到非线性的研究取得了新的成就，借助Matlab固有非线性模块来研究非线性系统的控制，已称为目前最重要的研究方向之一。本文以自动控制原理为基础，着手研究典型线性系统PID控制器的结构及其控制原理、Matlab仿真分析等。并以此为基础研究非线性系统的稳定性。

关键词：自动控制；PID控制器；Matlab仿真；非线性系统

ABSTRACT

Automatic control technology has been widely used in industry, agriculture, transportation, aviation and space industry departments, etc, greatly e

第二章 线性系统的数学描述

数学模型可以有许多不同的形式，较常见的有三种：

第一种是：把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入输出描述，或外部描述；

例如：微分方程式、传递函数和差分方程。

第二种是：不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态空间描述或内部描述；

它特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。

第三种是：用比较直观的方块图（结构图）和信号流图模型进行描述。 同一系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同的情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效的分析。

许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能具有完全相同的数学模型；

从这个意义上讲，数学模型表达了这些系统的共性，所以只要研究透了一种数学模型，也就能完全了解具有这种数学模型形式的各式各样系统的本质特征。

9

2.1 线性系统的时域数学模型

对于单输入、单输出线性定常系统，采用下列微分方程来描述：

c(n)(t)?a1c(n?1)(t)?a2c?b0r(m)(n?2)?(t)?anc(t) (t)???an?1c(m?1)

(t)?b1r

第二章 线性系统的数学描述

数学模型可以有许多不同的形式，较常见的有三种：

第一种是：把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入输出描述，或外部描述；

例如：微分方程式、传递函数和差分方程。

第二种是：不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态空间描述或内部描述；

它特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。

第三种是：用比较直观的方块图（结构图）和信号流图模型进行描述。 同一系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同的情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效的分析。

许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能具有完全相同的数学模型；

从这个意义上讲，数学模型表达了这些系统的共性，所以只要研究透了一种数学模型，也就能完全了解具有这种数学模型形式的各式各样系统的本质特征。

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2.1 线性系统的时域数学模型

对于单输入、单输出线性定常系统，采用下列微分方程来描述：

c(n)(t)?a1c(n?1)(t)?a2c?b0r(m)(n?2)?(t)?anc(t) (t)???an?1c(m?1)

(t)?b1r

摘 要

建模、控制与优化是控制理论要解决的主要问题。在这些问题中，广泛采用了现代数学方法，使得控制理论的研究不断深入，取得了丰硕的成果。建模是控制理论中所要解决的第一个问题。控制理论中的建模方法主要有两种，一是经验建模，二是根据物理规律建模。所研究的对象主要是动态模型，一般用微分方程或差分方程来描述。设计控制系统是控制理论的核心内容。在线性系统中，我们所用到的数学工具是拓扑、线性群。在非线性系统中，我们用到了微分几何。可以说微分几何是非线性控制理论的数学基础。优化是控制的一个基本目的，而最优控制则是现代控制理论的一个重要组成部分。例如庞特里亚金的极大值原理、贝尔曼的动态规划，都是关于优化和最优控制问题的。

本报告首先介绍了直流电动机的物理模型, 并测量计算了它的具体参数。然后根据牛顿第二定律和回路电压法分别列写运动平衡方程式和电机电枢回路方程式，从而通过一些数学变换抽象出了以电压为输入、转速为输出、电流和转速为状态变量的数学模型。通过对抽象出来的模型进行性能分析，确定需要使用状态观测器来修正系统。继而借助MATLAB软件对转速环进行了状态反馈控制器的设计，使系统的阶跃响应达到了设计指标。

关键词： 建模 控制理论 设计控制系统 直流电动

8-1考虑并回答下面的问题：

（a）在确定非线性元件的描述函数时，要求非线性元件不是时间的函数，并要求有斜对称性，这是为什么？

（b）什么样的非线性元件是无记忆的？什么样的非线性元件是有记忆的？它们的描述函数各有什么特点？

（c）线性元件的传递函数与非线性元件的描述函数，有什么是相同的？有什么是不同的？线性元件可以有描述函数吗？非线性元件可以有传递函数吗？

（d）非线性系统线性部分的频率特性曲线与非线性元件的负倒描述函数曲线相交时，系统一定能够产生稳定的自激振荡吗？

8-2设非线性元件的输入、输出特性为

y(t)?b1x(t)?b3x(t)?b5x(t)

35证明该非线性元件的描述函数为

N(A)?b1?34b3A?258b5A

4式中A为非线性元件输入正弦信号的幅值。

8-3某非线性元件的输入、输出特性如图8.61所示。

aaxy

图8.61 习题8-3图

（a）试求非线性元件的描述函数。

（b）将图8.61所示非线性元件表示为有死区继电器和有死区放大器的并联，用非线性元件并联描述函数的求法求它的描述函数，并与（a）中的结果相比较。

8-4滞环继电特性如图8.62（a）所示，证明它的描述函数可以表示为

N(A)?4M?a??arcsi