华师大第五版数学分析课本答案

第五章 导数与微分

一、填空题

1．设f(x)?(x?a)n?(x)，其中函数?(x)在点a的某邻域内具有n?1阶导数，则

f(n)(a)?____________

n?x?lntdy2．若?，则?_________ nmdx?y?t3．若y?x?(sinx)x，则y'?___________

4．已知f(x)?x(1?x)(2?x)?(100?x)，且f'(a)?2?98!，则a?_______ 5．设

2f(x)是可导函数，?x是自变量在点x2处的增量，则

lim?x?0f(x??x)?f(x)?x?__________

f(a?3t)f(a?5t)t6．已知f(x)在x?a处可导，且f'(a)?k(k?0)，则limf(x)xt?0?__________

7．设函数f(x)二阶可导，且lim?1,f??(0)?2，则limx?0f(x)?xx2x?0?______

8．设函数f(x)处处可导，且有f'(0)?1，并对任何实数x和h，恒有

f(x?h)?f(x)?f(h)?2hx，则f'(x)?__________

9．设f(x)是可导函数，且f'(x)?sin2[sin(x?1)],f(0)?4，f(x)的反函数是y??(x)，则?'(x)?_

第六章 微分中值定理及其应用

习题

§1拉格朗日定理和函数的单调性

1、试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点?，使f?(?)?0：

11??xsin,0?x?,（1）f(x)??x? （2）f（x）=|x|，-1≤x≤1。

?0,x?0;?2、证明：（1）方程x3?3x?c?0（这里c为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根；

（2）方程xn?px?q?0（n为正整数，p、q为实数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。

3、证明定理6、2推论2。

4、证明（1）若函数f在[a，b]上可导，且f?(x)?m，则

f（b）≥f（a）+ m（b - a）；

（2）若函数f在[a，b]上可导，且|f?(x)|?M，则

|f（b）- f（a）|≤M（b-a）；

（3）对任意实数x1，x2，都有|sinx1?sinx2|?|x2?x1|。 5、应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：

b?abb?a（1），其中00。 21?h6、确定下列函数的单调区间：

（1）f（x）=3x?x； （2）f（x）=2x?lnx；

222（3）f（x）=2x?x； （4）f（x）=7、应用函数的单调性证明下列不等式： （1）tanx

第二章 数列极限

习题

§1数列极限概念

1?(?1)n1、设an=，n=1，2，…，a=0。

n（1）对下列ε分别求出极限定义中相应的N： ?1=0.1，?2=0.01，?3=0.001；

（2）对?1，?2，?3可找到相应的N，这是否证明了an趋于0？应该怎样做才对； （3）对给定的ε是否只能找到一个N？ 2、按ε—N定义证明：

nn!3n2?n3lim?（1）lim=1；（2）lim；（3）；

n??n?1n??2n2?1n??nn2（4）limsin

n???n=0；（5）limn=0（a>0）。

n??nan3、根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列： （1）lim1nn??；（2）limn??（3）lim3；

n??11lim；（4）； 3nn??n3（5）lim12nn??；（6）limnn??（7）lim10；

12n??n。

4、证明：若liman= a，则对任一正整数k，有liman?k= a。

n??n??5、试用定义1?证明： （1）数列{

n1}不以1为极限；（2）数列{n(?1)}发散。 n(?1)n6、证明定理2.1，并应用它证明数列{1?}的极限是1。

n7、

1. 设f(x0)?0,f?(x0)?4,试求极限:lim?x?0f(x0??x).

?x2x,x?32. 设f(x)?试确定a,b的值,使f(x)在x?3可导. ax?b,x?3?3. 试确定曲线y?lnx上的哪些点的切线平行于下列直线: (1) y?x?1, (2) y?2x?3. 4. 求下列曲线在指定点的切线方程与法线方程:

x2,P(2,1); (2) y?cosx,P(0,1). (1) y?4?x?1,x?05. 求下列函数的导函数: (1) f(x)?|x|; (2) f(x)??.

1,x?0?31??xmsin,x?06. 设f(x)??(m为正整数).试问: x??0,x?0(1)m为何值时,f在x=0连续;(2)m为何值时,f在x=0可导;(3)m为何值时,f?在x=0连续.

7. 证明:若函数f(x)在[a,b]上连续,且f(a)?f(b)?K,f??(a)f??(b)?0,则在(a,b)内至少存在一点?,使

f(?)?K.

8. 求下列函数的导函数：（1）y?(x?a1)1(x?a2)2?(x?an)n; (2) y????1a2?b2arcsinasinx

P.124 习题

1．试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点?，使f?(?)?0：

1??xsin（1）f(x)??x??0解 （1）因为f在[0,理，???(0,0?x?x?01?， （2）f(x)?|x|?1?x?1

11?]连续，在([0,?1)可导，且f(0)?f()，所以由Rolle定

?1?)，使得f?(?)?0。

?1x?0，且f?(0)不存在，故不存在一点?，使f?(?)?0

?1x?0?3（2）因为f?(x)??2．证明：（1）方程x?3x?c?0（这里c为常数）在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；

32证明 设f(x)?x?3x?c，由于方程f?(x)?3x?3?0在(0,1)内没有根，所以

（由P.120，例1）方程x?3x?c?0在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根。

（2）方程x?px?q?0（n为正整数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。

证明 设f(x)?x?px?q，于是f?(x)?nx奇数，故方程f?(x)?nxnn?1nn?1n3?p?0。当n为偶数时，n-1为

?p?0至多有一个实根（因为幂函数nxn?1?p严格递增），

从而方程x?px?q?0至多有两个实根；

当n为奇数

第一章 实数集与函数

一、填空题

1． 已知函数f(x)的定义域为?0,4?，则函数g(x)?f(x?1)?f(x?1)的定义域为

_________。

2． 设f(x)?ex，f?g(x)??1?x2，则g(x)?_______

1?x?2 的定义域是 ； 21?x1４．函数 y?3?x?arctan 的定义域是 ；

x3．函数 y??x3?4x?1 , x?1５．设 f(x)?? ，则 f(x?4) = ；

?x?2 , x?1６．函数 y?2sin2xx?tan 的周期是 ； 32７．把函数 y?ln2arcsinx3 分解为简单函数 ； ８．函数 y?x?1 , x?1 的反函数是 ；

９．函数 y?ex?1 的反函数是

第十七章 多元函数微分学

一、证明题 1. 证明函数

?x2y22,x?y?0?22f(x,y)??x?y 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.

?0,x2?y2?0?2. 证明函数

1?22(x?y)sin, x2?y2?0?22x?yf(x,y)?? 2?0, x?y2?0?在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f在原点(0,0)可微.

3. 证明: 若二元函数f在点p(x0,y0)的某邻域U(p)内的偏导函数fx与fy有界,则f在U(p)内连续.

4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有

x?yarctg≈x+y.

1?xy5. 试证:

(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和; (2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和. 6.设Z=

y,其中f为可微函数,验证

fx2?y2??1?Z1?ZZ+=2. x?xy?yy7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f为可微函数,证明:8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换 x=u cosθ-v sinθ, y=u sinθ+v cosθ 之下.?fx?+fy2?Z?Z sec x + s

第一章 概论

问题解答

1-3 分析全过程：

取样、处理与分解；试样的分离与富集；分析方法的选择；结果的计算与评价。

1-4 标定碱标准溶液时，邻苯二甲酸氢钾（KHC8H4O4, M=204.23g.mol-1）和二水合草酸(H2C2O4. 2H2O, M=126.07g.mol-1)都可以作为基准物质，你认为选择哪一种更好？为什么？

答：选择邻苯二甲酸氢钾更好。因为邻苯二甲酸氢钾的摩尔质量较大，称量误差较小。

1-5.基准物Na2CO3和Na2B4O7·10H2O都可用于标定HCl溶液的浓度.你认为选择哪一种更好 为什么 答:选择Na2B4O7·10H2O更好.因为Na2B4O7·10H2O的摩尔质量较大,称量误差较小

1-6 用基准Na2CO3标定HCl溶液时，下列情况会对HCl的的浓度产生何种影响（偏高、偏低或没有影响）？ a. 滴定时速度太快，附在滴定管壁的HCl来不及流下来就读取滴定体积 b. 称取Na2CO3时，实际质量为0.0834g，记录时误记为0.1824g c. 在将HCl标准溶液倒入滴定管之前，没有用HCl溶液荡洗滴定管 d. 锥瓶中的Na2CO3用蒸馏水溶解时，多加了50mL蒸馏水

第一章 概论

问题解答

1-3 分析全过程：

取样、处理与分解；试样的分离与富集；分析方法的选择；结果的计算与评价。

1-4 标定碱标准溶液时，邻苯二甲酸氢钾（KHC8H4O4, M=204.23g.mol-1）和二水合草酸(H2C2O4. 2H2O, M=126.07g.mol-1)都可以作为基准物质，你认为选择哪一种更好？为什么？

答：选择邻苯二甲酸氢钾更好。因为邻苯二甲酸氢钾的摩尔质量较大，称量误差较小。

1-5.基准物Na2CO3和Na2B4O7·10H2O都可用于标定HCl溶液的浓度.你认为选择哪一种更好 为什么 答:选择Na2B4O7·10H2O更好.因为Na2B4O7·10H2O的摩尔质量较大,称量误差较小

1-6 用基准Na2CO3标定HCl溶液时，下列情况会对HCl的的浓度产生何种影响（偏高、偏低或没有影响）？ a. 滴定时速度太快，附在滴定管壁的HCl来不及流下来就读取滴定体积 b. 称取Na2CO3时，实际质量为0.0834g，记录时误记为0.1824g c. 在将HCl标准溶液倒入滴定管之前，没有用HCl溶液荡洗滴定管 d. 锥瓶中的Na2CO3用蒸馏水溶解时，多加了50mL蒸馏水

第六章 微分中值定理及其应用

一、填空题

??lim1．若a?0,b?0均为常数，则

x?0??2．若lim3ax?bx?x2??________。 ??1?acosx?bsinx1?，则a?______，b?______。

x?0x23．曲线y4．设y??ex在x?0点处的曲率半径R?_________。

4x?4?2，则曲线在拐点处的切线方程为___________。 x21x)x5．limx?0(1??ex?___________。

6．设f(x)?x(x2?1)(x?4)，则f?(x)?0有_________个根，它们分别位于________

区间；

7．函数f(x)?xlnx在?1,2?上满足拉格朗日定理条件的??__________； 8．函数f(x)?x3与g(x)?1?x2在区间?0,2?上满足柯西定理条件的??_____； 9．函数y?sinx在?0,2?上满足拉格朗日中值定理条件的??____；

ex10．函数f(x)?2的单调减区间是__________；

x11．函数y?x3?3x的极大值点是______，极大值是_______。

12．设f(x)?xex，则函数f(n)(x)在x?_______处取得极小值_______