数学模型答案姜启源第4版pdf

第四版姜启源数学模型复习总结

第1章：了解模型的概念与分类，熟练掌握数学模型的定义，

数学模型的重要应用，建模的重要例子-指数模型,Logist模型。建模的一般方法及其在建模中的应用。建模的一般步骤（每步的主要内容与问题）。建模的全过程（框图）4个环节的含义。模型的特点（技艺性）。模型分类（表现特征），建模中的能力培养。

数学建模实例的建模思想及其步骤 §1 数学模型的概念：

模型：模型是为了一定目的，对客观事物的一部分信息进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。

模型的分类：具体模型（或物质模型，实的），包括直观模型，物理模型。抽象模型（或理想模型，虚的），包括思维模型，符号模型，数学模型。

数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

1-1-1 模型是为了特定的目的，将原型的（ ）而得到的原型替代物。

1-1-2数学模型可以描述为：对于一个现实对象，（

）。

1-1-3 关于数学模型的如下论述中正确的是（ ） A。数学模型是以现实世界的特定问题为

姜启源数学建模资料

第三章 简单的优化模型3.1 3.2 3.3 3.4 存贮模型 生猪的出售时机 森林救火 最优价格

3.5 血管分支 3.6 消费者均衡 3.7 冰山运输

姜启源数学建模资料

静 态 优 化 模 型 现实世界中普遍存在着优化问题 静态优化问题指最优解是数 不是函数 静态优化问题指最优解是数(不是函数 不是函数) 建立静态优化模型的关键之一是根 据建模目的确定恰当的目标函数 求解静态优化模型一般用微分法

姜启源数学建模资料

问题

3.1

存贮模型

配件厂为装配线生产若干种产品， 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 件 生产准备费 已知某产品日需求量 元 每日每件1元 试安排该产品的生产计划， 每日每件 元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次(生产周期),每次产量多少，使总费用最小。 ),每次产量多少 一次(生产周期),每次产量多少，使总费用最小。 不只是回答问题，而且要

第一部分 练习与思考题

第1章 建立数学模型

1.1 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）

1.2 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有n名商人带n名随从过河，船每次能渡k人过河，试讨论商人们能安全过河时，n与k应满足什么关系。（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页）

1.3 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？

1.4 有3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。问怎样过河？

1.5 如果银行存款年利率为5.5%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？而到2000年的本利积累为多少元？

1.6 某城市的Logistic模型为

dN11dt?25N?25?106N2，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。设该市1990

年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。当t??时发生什么情况。

1.7 假设人口增长服从这样规律：时刻t的人口为x(t)，

长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗？

【问题提出】

日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地．试从数学的角度加以解释． 【模型假设】

为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设： （1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．

（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．

（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的． 【建立模型】

在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．

首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．

长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗？

【问题提出】

日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地．试从数学的角度加以解释． 【模型假设】

为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设： （1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．

（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．

（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的． 【建立模型】

在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．

首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．

长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗？

【问题提出】

日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地．试从数学的角度加以解释． 【模型假设】

为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设： （1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．

（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．

（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的． 【建立模型】

在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．

首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．

姜启源数学建模3.2消费者的选择

题目：基于NOTEBOOK的消费者的选择的建模与分析

一、问题思维视图：

1.系统要素:商品的价格、购买商品的数量、消费者的支出、商品的效用值（消费者的满意度） 2．要素关联：

i.消费者的支出=

*购买商品的数量 ii.购买商品的数量

32种商品时，每种商品各买

多少可使商品的效用值最大？

二、数学刻画： 1． 效用函数

当消费者购得数量分别为x1, x2的甲乙两种商品时，得到的效用可用函数u (x1, x2)度量，称为效用函数

利用等高线概念在x1, x2平面上画出函数u 的等值线, u (x1, x2)=c 称为等效用线——一族单调减、下凸、互不相交的曲线.

等效用线就是“ 实物交换模型”中的无差别曲线，效用就是那里的满意度

syms x y1 y2 y3 y1=1./x; y2=3./x;

姜启源数学建模3.2消费者的选择

y3=6./x;

ezplot('1./x',[0,10]) hold on

ezplot('2./x',[0,10]) hold on

ezplot('3./x',[0,10])

效用最大化模型

购得甲乙两种商品数量分别为x1, x2，甲乙两种商品的单价分别为p1, p2, y是消费者准备付出的钱，在条件 p1 *x

经 济 数 学 模 型 论 文

谢杜杜 06信管（1）班 2006429020149

我们知道：数学与经济学息息相关，可以说每一项经济学的研究、决策，都离不开数学的应用。特别是自从诺贝尔经济学奖创设以来，利用数学工具来分析经济问题得到的理论成果层出不穷，经济学中使用数学方法的趋势越来越明显。当代西方经济学认为，经济学的基本方法是分析经济变量之间的函数关系，建立经济模型，从中引申出经济原则和理论，进行预测、决策和监控。在经济领域，数学的运用首要的问题是实用性和实践性问题，即能否用所建立的模型去概括某一经济现象或说明某一经济问题。因而，数学模型分析已成为现代经济学研究的基本趋向，经济数学模型在研究许多特定的经济问题时具有重要的不可替代的作用，在经济学日益计量化、定量分析的今天，数学模型方法显得愈来愈重要。 一、经济数学模型的基本内涵

数学模型是数学思想精华的具体体现，是对客观实际对象的数学表述，它是在一定的合理假设前提下，对实际问题进行抽象和简化，基于数学理论和方法

实验四 数学模型建立与转换

一、实验目的

1.学会用MATLAB建立控制系统的数学模型。

2.学会用MATLAB对控制系统的不同形式的数学模型之间的转换和连接。

二、实验内容

1.建立控制系统的数学模型

用MATLAB建立下述零极点形式的传递函数类型的数学模型：

G(s)?s?3(s?1)(s?1)

>> z=-3; p=[-1;-1]; k=1;

sys=zpk(z,p,k)

Zero/pole/gain: (s+3) ------- (s+1)^2

2.不同形式及不同类型间的数学模型的相互转换

1）用MATLAB将下列分子、分母多项式形式的传递函数模型转换为零极点形式的传递函数模型:

12s3?24s2?20G(s)?4 2s?4s3?6s2?2s?2>> num=[12 24 0 20]; den=[2 4 6 2 2]; G=tf(num,den);

[z,p,k]=zpkdata(G,'v'); sys=zpk(z,p,k)

Zero/pole/gain:

6 (s+2.312) (s^2 - 0.3118s + 0.7209) -------------------------------------

实验01讲评、参考答案

讲 评

未交实验报告的同学名单

数学：01边清水，09龚昱霏，14黄浦，34谭世韬 信科： 批改情况：

不批改，同学们自己对照参考答案。

1

附参考答案：

《数学建模实验》

王平

实验01 建立数学模型（4学时）

（第1章 建立数学模型）

教材中给出原始数据，结合模型，得到结果。但如何求得结果这一过程没有给出，实际上要用MATLAB软件编写程序来求得，这应该交给实验课来完成。考虑到同学们刚学习MATLAB语言，编程能力不强，所以有关的程序给出来供同学们进行验证。要求同学们要读懂程序。 1.（求解，编程）如何施救药物中毒p10~11

人体胃肠道和血液系统中的药量随时间变化的规律（模型）：

?dx???x,x(0)?1100??dt(?,??0) ??dy??x??y,y(0)?0??dt其中，x(t)为t时刻胃肠道中的药量，y(t)为t时刻血液系统中的药量，t=0

为服药时刻。

1.1（求解）模型求解p10~11

要求：

① 用MATLAB求解微分方程函数dsolve求解该微分方程（符号运算）。 ② 用MATLAB的化简函数simplify化简所得结果。

提示：dsolve和simplify的用法可用help查询。建议