高等数学同济第五版pdf

习题9?1

1? 设有一平面薄板(不计其厚度)? 占有xOy面上的闭区域D? 薄板上分布有密度为? ??(x, y)的电荷? 且?(x, y)在D上连续? 试用二重积分表达该板上全部电荷Q?

解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度?(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分?

Q????(x,y)d??

D 2? 设I1???(x2?y2)3d?? 其中D1?{(x? y)|???x?1? ?2?y?2??

D1 又I2???(x2?y2)3d?? 其中D2?{(x? y)|0?x?1? 0?y?2}?

D2试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系?

解 I1表示由曲面z?(x2?y2)3与平面x??1? y??2以及z?0围成的立体V的体积? I2表示由曲面z?(x2?y2)3与平面x?0? x?1? y?0? y?2以及z?0围成的立体V1的体积?

显然立体V关于yOz面、xOz面对称? 因此V 1是V位于第一卦限中的部分? 故 V?4V1? 即I1?4I2? 3? 利用二重积分的定义证明?

习题6?2?

1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为

311. A??(x?x)dx?[2x2?1x2]1?00326 (2)

解法一 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 A??0(e?ex)dx?(ex?ex)|10?1?

解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为[1? e]? 所求的面积为

e?dy?e?(e?1)?1? A??1lnydy?ylny|1?1ee1 (3)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 A??[(3?x2)?2x]dx?32?

?331 (4)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为

32? A??(2x?3?x2)dx?(x2?3x?1x3)|3??1?1333 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) y?1x2与x2?y2?8(两部分都要计算)?

2 解?

22

习题6?2?

1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为

311. A??(x?x)dx?[2x2?1x2]1?00326 (2)

解法一 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 A??0(e?ex)dx?(ex?ex)|10?1?

解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为[1? e]? 所求的面积为

e?dy?e?(e?1)?1? A??1lnydy?ylny|1?1ee1 (3)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 A??[(3?x2)?2x]dx?32?

?331 (4)

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为

32? A??(2x?3?x2)dx?(x2?3x?1x3)|3??1?1333 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) y?1x2与x2?y2?8(两部分都要计算)?

2 解?

22

高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

习题12 1

1. 试说出下列各微分方程的阶数: (1)x(y′)2 2yy′+x=0; 解 一阶. (2)x2y′ xy′+y=0; 解 一阶.

(3)xy′′′+2y′+x2y=0; 解 三阶.

(4)(7x 6y)dx+(x+y)dy=0; 解 一阶.

d2QdQQ

(5)L+R+=0;

dtCdt

解 二阶. (6)

dρ

+ρ=sin2θ. dθ

解 一阶.

2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: (1)xy′=2y, y=5x2; 解 y′=10x.

因为xy′=10x2=2(5x2)=2y, 所以y=5x2是所给微分方程的解. (2)y′+y=0, y=3sin x 4cos x; 解 y′=3cos x+4sin x.

因为y′+y=3cos x+4sin x+3sin x 4cos x=7sin x cos x≠0, 所以y=3sin x 4cos x不是所给微分方程的解. (3)y′′ 2y′+y=0, y=x2ex;

解 y′=2xex+x2ex, y′′=2ex+2xex+

第三节 高阶导数一、高阶导数的概念二、高阶导数的运算法则

第二章

二阶导数的定义：如果函数f ( x )的导数在点 处可导, 称f ( x ) x 在点x处的导数为 ( x )在点x处的二阶导数 f . d2y 记作 f ( x ), y , . x 2 dx 函数的二阶导数就是函数的(一阶)导数的导数。ds v 例 速度v是位移s对时间t的导数(变化率), . dt dv 加速度a是速度v对时间t的导数, a .dt

加速度a是位移v对时间t的二阶导数, a s (t ).

二阶导数的符号的几何意义：f ( x ) 0, x (a, b) f ( x )在(a, b)单调递增f 0

f ( x )的图形从左到右向上弯 曲(凹)

f ( x ) 0, x (a, b) f ( x )在(a, b)单调递减f 0

f ( x )的图形从左到右向下弯 曲(凸)

函数的二阶导数的符号反映函数图形的凹凸性.

更高阶导数三阶导数 y ( y x ) x , f ( x ), xd3y . 3 dx

f ( x )的n阶导数就是 ( x )的n 1阶导数的导

第八章 多元函数微分法及其应用

一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法

在求

?z?z时，应将y看作常量，对x求导，在求时，应将x看作常量，对y求导，所运用的是一元函?x?y数的求导法则与求导公式.

2、复合函数的偏导数的求法

设z?f?u,v?，u???x,y?，v???x,y?，则

?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v????，???? ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y几种特殊情况：

1）z?f?u,v?，u???x?，v???x?，则

dzdz?u?zdv???? dxdu?x?vdx?f?v2）z?f?x,v?，v???x,y?，则?x??x??v??x，

?z?f?z?f?v?? ?y?u?y3）z?f?u?，u???x,y?则

?zdz?u?zdz?u????， ?xdu?x?ydu?y3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况

设z?z?x,y?是由方程F?x,y,z??0唯一确定的隐函数，则

F?z??x?xFz?Fz?0?，

Fy?z???yFz?Fz?0?

或者视z?z?x,y?，由方程F?x,y,z??0两边同时对x(或y)求导解出

?z?z(或). ?x?y2）方程组的情况

由方程组??F?x,y,u,

1

1

1

1

1

1

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1

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1

1

姓名： 学号： 班级： 《高等数学》第八章作业 71

第八章 多元函数微分法及其应用

第 一 节 作 业

一、填空题： 1.函数z?ln(1?x)?2.函数f(x,y,z)?arccos2222y?x?3x?y?1的定义域为的定义域为2zx?y2 .3.设f(x,y)?x?y,?(x)?cosx,?(x)?sinx,则f[?(x),?(x)]?4.limsinxyx?.x?0y?a二、选择题（单选）： 1. 函数

1sinxsiny的所有间断点是:

(A) x=y=2nπ（n=1,2,3,…）； (B) x=y=nπ(n=1,2,3,…)；

(C) x=y=mπ(m=0,±1，±2，…)；

(D) x=nπ,y=mπ(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。

答：（ ）

?sin2(x2?y222,x?y?0?222. 函数f(x,y)??x?y在点（0，0）处：

?22x?y?0?2,（A）无定义； （B

习题9?1

1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为μ =μ(x, y)的电荷, 且μ(x, y)在D上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q.

解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分 . 2. 设, 其中D 又, 其中D

1

2

={(x, y)|?1≤x≤1, ?2≤y≤2};

1

2

={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤2}.

2

试利用二重积分的几何意义说明I与I的关系.

1

解 I表示由曲面z=(x+y)与平面x=±1, y=±2以及z=0围成的立体V的体积. I表示由曲面z=(x+y)与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成的立体V的体积.

2

1

23

223

显然立体V关于yOz面、xOz面对称, 因此V是V位于第一卦限中的部分, 故

1

V=4V, 即I=4I.

1

1

2

3. 利用二重积分的定义证明: (1)∫∫ (其中σ为D的面积);

证明 由二重

上册：

函数（高等数学的主要研究对象）

极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般） 极限的本质是通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势

由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性??应当注意到，由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立

在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系

连续：函数在某点的极限 等于 函数在该点的取值 连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近

导数的概念

本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率

微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了

不定积分：导数的逆运算 什么样的函数有不定积分

定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确 什么样的函数有定积分