高等代数试题及答案

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高等代数试题

标签:文库时间:2025-02-14
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第一章 多项式

§1.1一元多项式的定义和运算

1.设f(x),g(x)和h(x)是实数域上的多项式.证明:若是

222f(x)?xg(x)?xh(x)(6) ,

那么f(x)?g(x)?h(x)?0.

2.求一组满足(6)式的不全为零的复系数多项式f(x),g(x)和h(x). 3.证明:

1?x?x(x?1)x(x?1)...(x?n?1)???(?1)n2!n!(x?1)...(x?n)?(?1)nn!

§1.2 多项式的整除性

1.求f(x)被g(x)除所得的商式和余式:

432f(x)?x?4x?1,g(x)?x?3x?1; ( i )

5323(ii) f(x)?x?x?3x?1,g(x)?x?3x?2; k2.证明:x|f(x)必要且只要x|f(x).

3.令f1(x),f2?x?,g1?x?,g2?x?都是数域F上的多项式,其中f1?x??0且

g1?x?g2?x?|f1?x?f2?x?,f1?x?|g1?x?.证明:g2?x?|f2?x?.

42m,p,qxx?mx?14.实数满足什么条件时多项式能够整除多项式?px?q. nn5.设F是一个数域,a?F.证明:x?a整除x?a.

6.考虑有理数域上多项式

f?x???x?

高等代数试题

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第一章 多项式

§1.1一元多项式的定义和运算

1.设f(x),g(x)和h(x)是实数域上的多项式.证明:若是

222f(x)?xg(x)?xh(x)(6) ,

那么f(x)?g(x)?h(x)?0.

2.求一组满足(6)式的不全为零的复系数多项式f(x),g(x)和h(x). 3.证明:

1?x?x(x?1)x(x?1)...(x?n?1)???(?1)n2!n!(x?1)...(x?n)?(?1)nn!

§1.2 多项式的整除性

1.求f(x)被g(x)除所得的商式和余式:

432f(x)?x?4x?1,g(x)?x?3x?1; ( i )

5323(ii) f(x)?x?x?3x?1,g(x)?x?3x?2; k2.证明:x|f(x)必要且只要x|f(x).

3.令f1(x),f2?x?,g1?x?,g2?x?都是数域F上的多项式,其中f1?x??0且

g1?x?g2?x?|f1?x?f2?x?,f1?x?|g1?x?.证明:g2?x?|f2?x?.

42m,p,qxx?mx?14.实数满足什么条件时多项式能够整除多项式?px?q. nn5.设F是一个数域,a?F.证明:x?a整除x?a.

6.考虑有理数域上多项式

f?x???x?

高等代数考研试题精选

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《高等代数》精品课试题库

1 《高等代数》试题库

一、 选择题

1.在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是( )。

A .零多项式

B .零次多项式

C .本原多项式

D .不可约多项式

2.设()1g x x =+是6242

()44f x x k x kx x =-++-的一个因式,则=k ( )。 A .1 B .2 C .3 D .4

3.以下命题不正确的是 ( )。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则;

B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域;

C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式;

D .设()'()1p x f x k -是的重因式,则()()p x f x k 是的重因式

4.整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。

A . 充分

B . 充分必要

C .必要

D .既不充分也不必要

5.下列对于多项式的结论不正确的是( )。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ,那么)()(x g x f =

B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ,那么

线性代数试题及答案

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一、单项选择题(共20题)

1.λ≠( )时,方程组A.1 B.2 C.3 D.4

【正确答案】B

【您的答案】B 【答案正确】

只有零解。

2.已知三阶行列式D中的第二列元素依次为1,2,3,它们的余子式分别为-1,1,2,D的值为( ) A.-3 B.-7 C.3 D.7

【正确答案】A

【您的答案】A 【答案正确】

3.设某3阶行列式︱A︱的第二行元素分别为-1,2,3,对应的余子式分别为-3,-2,1,则此行列式︱A︱的值为( ). A.3 B.15 C.-10

D.8

【正确答案】C

【您的答案】C 【答案正确】

4.行列式D如果按照第n列展开是( )。 A.a1nA1n+a2nA2n+...+annAnn B.a11A11+a21A21+...+an1An1 C.a11A11+a12A21+...+a1nAn1 D.a11A11+a21A12+...+an1A1n 【正确答案】A

【您的答案】A 【答案正确】

5.行列式中元素g的代数余子式的值为( )。

A.bcf-bde B.bde-bcf C.acf-ade D.ade-acf

【正确答案】B

【您的答案】B 【答案正确】

6.行列式A.abcd B

高等代数习题

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高等代数习题 第一章 基本概念

§1.1 集合

1、设Z是一切整数的集合,X是一切不等于零的有理数的集合.Z是不是X的子集? 2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么? {a} A是否正确? 3、设

写出 和 .

4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集.

5、设A是含有n个元素的集合.A中含有k个元素的子集共有多少个? 6、下列论断那些是对的,那些是错的?错的举出反例,并且进行改正.

(i)(ii)(iii)(iv)

7.证明下列等式:

(i)

1

(ii)

(iii)

§1.2 映射

1、设A是前100个正整数所成的集合.找一个A到自身的映射,但不是满射. 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射. 3、

是不是全体实数集到自身的映射?

4.设f定义如下:

f是不是R到R的映射?是不是单射?是不是满射?

5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射? 6、设a ,b是任意两个实数且a

7、举例说明,对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说,fg与gf一般不相等。

8、设A是全体正实数所成的集合。令

(i)g是不是A到A的双射? (ii)g是不是f的逆映射?

(iii

线性代数试题及答案

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(试卷一)

一、 填空题(本题总计20分,每小题2分) 1. 排列7623451的逆序数是_______。 2. 若

a11a21a12a22a11?1,则a213a123a22600? 103. 已知n阶矩阵A、其中E为n阶单位矩阵,则B和C满足ABC?E,

B?1?CA。

4. 若A为m?n矩阵,则非齐次线性方程组AX?b有唯一解的充分要条件是 _________

5. 设A为8?6的矩阵,已知它的秩为4,则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。 6. 设A为三阶可逆阵,A?1?100?????210?,则A*? ?321???7.若A为m?n矩阵,则齐次线性方程组Ax?0有非零解的充分必要条件是

12345304128.已知五阶行列式D?11111,则A41?A42?A43?A44?A45? 11023543219. 向量??(?2,1,0,2)T的模(范数)______________。 10.若???1k1?T与???1?21?T正交,则k?

二、选择题(本题总计10分,每小题2分)

- 1 -

1. 向量组?1,?2,?,?r

高等代数教案

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高 等 代 数

一、章节、

教 案

秦文钊

)授课计划 第 页

(目

授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 第二章 §1引言 授课 时数 通过本节的学习,使学生了解行列式的背景 要求学生熟练掌握二、三级行列式的对角线计算法则 二、三元线性方程组的计算公式,二、三级行列式的对角线计算法则 二、三元线性方程组的计算公式 启发式 讲练相结合 作业与 无 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞,郝炳新编:《高等代数》,高等教育出版社。 2.王萼芳:《高等代数》,高等教育出版社。 3.田孝贵等:《高等代数》,高等教育出版社 二、课时教学内容

2

第 页

教 学 内 容 解方程是代数中的一个基本的问题,特别是在中学所学代数中,解方程占有重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组,即线性方程组. 一、对于二元线性方程组 ?a11x1?a12x2?b1, ?ax?ax?b,2222?211小结 当a11a22?a12a21?0时,此方程组有唯一解,即 x1?b1a22?a12b2

《高等代数》A卷

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号学 线名 姓 生订 学 装 此 过 要 级不 班 业题专 答 )班属(直点学教

四川理工学院成人高等教育

《高等代数》试卷(A卷)

年级 2013 专业 应用数学 层次 本 科

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 评阅(统分)人 题 分 50 22 28 得 分

注意事项:

1.满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2.考生必须将“学生姓名”和“学号”完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方,否则视为废卷。

3.考生必须在签到表上签到,否则若出现遗漏,后果自负。

得分 评阅教师 一、填空题

每空5分,共25分。

1.只于自身合同的矩阵是 矩阵。

2.二次型f?x??x?37??x1?1,x2?1x2??????x?的矩阵为__________________。

?1162?3.设A是实对称矩阵,则当实数t_________________,tE?A是正定矩阵。 4.正交变换在

高等代数教案

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高等代数 第1页

第六章 向量空间

引言

从本章开始转向线性代数的主体—向量空间和线性映射,它们是数学中基本又重要的概念,其理论和方法已应用到自然科学、工程技术及社会科学的诸多领域.本章学习向量空间的基本概念和有限维向量空间的结构.

6.1 向量空间的概念

教学目的 通过教学,使学生理解向量空间的定义及子空间的概念,掌握向量空间的基本表述.

教学重点 向量空间及其子空间的定义. 教学难点 对6.1定义1的理解. 教学内容

第三章学习的n维列(行)向量张成的向量空间的基本事实有其一般性,将它们抽象,就是我们现在要学习的向量空间.

6.1.1 定义公理·例子

定义1 设F是一个数域,F中的元素用小写拉丁字母a,b,c,?表示;V是一个非空集合,V中的元素用小写希腊字母?,β,γ,?表示.如果下列条件成立:

1°在V中定义了一个加法.对于??,β?V,V中有一个唯一确定的元素与它们对应,叫做?与β的和,记作?+β.

2°有一个“纯量乘法”.对于F中每一个数k与V中每一个元素?,有V中唯一确定的元素与它们对应,叫做k与?的积,记作k?.

高等代数教案

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《高等代数》教案

第一章 多项式

关键知识点:最大公因式,互素,不可约多项式,重因式(重根),本原多项式,对称多项式;最大公因式存在性定理(定理2,P13),因式分解及唯一性定理(P20),高斯引理(定理10,P30),艾森斯坦因判别定理(定理13,P33),对称多项式基本定理(定理15).

1.1 设

f(x)?x3?(1?t)x2?2x?2u,g(x)?x3?tx?u的最大公因式是一个二次多

项式,求t,u的值.

详解 作辗转相除得如下关系式:

f(x)?q1(x)g(x)?r1(x),g(x)?q2(x)r1(x)?r2(x),

其中

q1(x)?1,r1(x)?(1?t)x2?(2?t)x?u,q2(x)?1t?2, x?1?t(1?t)2?t2?t?u(t?2)2??t?2???r2(x)???x?1?2??(1?t)2??u(注:1?t?0?). ?1?t(1?t)????为使最大公因式是二次,必须:r2(x)?0,解得u?0,t??4.

1.2 证明:(f(x)h(x),g(x)h(x))?(f(x),g(x))h(x),(h(x)的首项系数等于1). 略证 (f,g)|f,(f,g)|g?(f,