求解线性方程组的雅克比迭代

3.1 方程组的逆矩阵解法及其MATLAB程序

3.1.3 线性方程组有解的判定条件及其MATLAB程序 判定线性方程组Am?nX?b是否有解的MATLAB程序

function [RA,RB,n]=jiepb(A,b)

B=[A b];n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0,

disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.') return end

if RA==RB if RA==n

disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.') else

disp('请注意：因为RA=RB

例3.1.4 判断下列线性方程组解的情况.如果有唯一解，则用表 3-2方法求解.

?3x1?4x2?5x3?7x4?0,?2x1?3x2?x3?5x4?0,?2x?3x?3x?2x?0,?3x?x?2x?7x?0,1234?1234(1) ? (2) ? ??4x1?11x2?13x3?16x4?0,?4x1?x2?3x3?6x4?0,???7x1?2x2?x3?3x4?0;?x1?2x2?4x3?7x4?0;?4x1?2x2?

解线性方程组的几种迭代算法

内容摘要:

本文首先总结了分裂法解线性方程组的一些迭代算法,在此基础上分别通过改变系数矩阵A的分裂形式和对SSOR算法的改进提出了两种新的算法,并证明了这两种算法的收敛性.与其它方法相比,通过改变系数矩阵A的分裂形式得到的新算法具有更好的收敛性,改进的SSOR算法有了更快的收敛速度.最后通过数值实例验证了这两种算法在有些情况下确实可以更有效的解决问题.

关键词:

线性方程组 迭代法 算法 收敛速度

Several kinds of solving linear equations

iterative algorithm

Abstract:

In this paper, we firstly summarize some Iterative algorithms of Anti-secession law solution of linear equations. Based on these, two new algorithms are put forward by changing the fission form of coefficient matrix A and improving the alg

解线性方程组的几种迭代算法

内容摘要:

本文首先总结了分裂法解线性方程组的一些迭代算法,在此基础上分别通过改变系数矩阵A的分裂形式和对SSOR算法的改进提出了两种新的算法,并证明了这两种算法的收敛性.与其它方法相比,通过改变系数矩阵A的分裂形式得到的新算法具有更好的收敛性,改进的SSOR算法有了更快的收敛速度.最后通过数值实例验证了这两种算法在有些情况下确实可以更有效的解决问题.

关键词:

线性方程组 迭代法 算法 收敛速度

Several kinds of solving linear equations

iterative algorithm

Abstract:

In this paper, we firstly summarize some Iterative algorithms of Anti-secession law solution of linear equations. Based on these, two new algorithms are put forward by changing the fission form of coefficient matrix A and improving the alg

一、 用列主元素高斯削去法求解下述线性方程组：

?x1?13x2?2x3?34x4?13?2x?6x?7x?10x??22?1234 ??10x?x?5x?9x?141234????3x1?5x2?15x4??36程序：

function x=gaussa(a)

m=size(a); n=m(1); x=zeros(n,1); for k=1:n-1

[c,i]=max(abs(a(k:n,k))); q=i+k-1; if q~=k

d=a(q,:);a(q,:)=a(k,:);a(k,:)=d end

for i=k+1:n

a(i,:)=a(i,:)-a(k,:)*a(i,k)/a(k,k) end end

for j=n:-1:1

x(j)=(a(j,n+1)-a(j,j+1:n)*x(j+1:n))/a(j,j) end

执行过程：

>> a=[1 13 -2 -34 13;2 6 -7 -10 -22;-10 -1 5 9 14; -3 -5 0 15 -36] a =

-10 -1 5 9 14 2 6 -7 -10

用迭代法阶线性方程组

第4章 解线性方程组的迭代法直接法得到的解是理论上准确的，但是我们可以看得出，它们的计算量都是n3 数量级，存储量为n2量级，这在n比较小的时候还比较合适(n<400),但是对于现 在的很多实际问题，往往要我们求解很大的n的矩阵，而且这些矩阵往往是系数矩阵 就是这些矩阵含有大量的0元素。对于这类的矩阵，在用直接法时就会耗费大量的时 间和存储单元。因此我们有必要引入一类新的方法：迭代法。 迭代法具有的特点是速度快。与非线性方程的迭代方法一样，需要我们构造一 个等价的方程，从而构造一个收敛序列，序列的极限值就是方程组的根

用迭代法阶线性方程组

对方程组 如：令

Ax = b

做等价变换

x = Gx + g

A = M N ,则 Ax = b ( M N ) x = b Mx = b + Nx x = M 1 Nx + M 1b则，我们可以构造序列 若 同时：

x ( k +1) = G x ( k ) + g

x ( k ) → x * x* = G x * + g Ax* = b

x ( k +1) x* = Gx ( k ) Gx* = G ( x ( k ) x*) = = G k

数值分析第二次上机实习报告

——线性方程组迭代解法

一、问题描述

设 Hn = [hij ] ∈ Rn×n 是 Hilbert 矩阵, 即

hij=

对n = 2,3,4，…15, 1 i+j 1

1 x ∈Rn×n，及bn=Hnx，用SOR迭代法和共轭梯度法来求解，并与直取=

1

接解法的结果做比较。

二、方法描述

1. SOR迭代法

记H = D – L – U，SOR法的分量形式可以写成向量形式

x(k+1)=(1 ω)x(k)+ωD 1(b+Lx(k+1)+Ux(k))

(D ωL)x(k+1)=[(1 ω)D+ωU]x(k)+ωb

整理成

x(k+1)=Lwx(k)+ω(D ωL) 1b

其中，Lw为SOR法的迭代矩阵：

Lw=(D ωL) 1[(1 ω)D+ωU]

这相当于方程组Hx=b的系数矩阵分裂为H = M – N，其中

=M

N=1ω1(D ωL)

ω[(1 ω)D+ωU]

由此得到等价方程组x = M-1Nx+M-1b，利用它构造迭代法。

2. 共轭梯度法

梯度法通常的做法是先任意给定一个初始向量，然后确定一个搜索的方向和搜索步长，如此循环直到找到极小值。共轭梯度法是从整体来寻找最佳的搜索方向。它的第一步是取负梯度方向作为搜索方

线性方程组在现实中的应用

线性方程组在现实生活中的应用非常广泛的，不仅可以广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，通信，航空等学科和领域，同时也应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理等课程。 为了更好的运用这种理论，必须在解题过程中有意识地联系各种理论的运用条件，并根据相应的实际问题，通过适当变换所知，学会选择最有效的方法来进行解题，通过熟练地运用理论知识来解决数学得问题.

一、 线性方程组的表示

1.按照线性方程组的形式表示有三种 1）一般形式的表示

?a11x1?a12x2?...?a1nxn?b1??a21x1?a22x2?...?a2nxn?b2?...??ax?ax?...?ax?bn22nnnn?n11

2）向量形式：

x1?1?x2?2?...?xn?n??

3）矩阵形式的表示 ：

AX??,A???1,?2,...,?n?X??x1,x2,...,xn?T

?0特别地，当?AX???0时，AX??称为齐次线性方程组，而当?时，

称为非齐次线性方程组

2.按照次数分类又可分为两类 1）齐次线性方程组

系部 学号 实验题目

数计系

专 业 姓 名

计算机科学与技术

日期 成绩

2010 年 12 月

实验三： 实验三：解线性方程组的迭代法

一.实验目的 1.熟练运用已学过的迭代法求解线性方程组， 包括雅克比迭代法、 迭代法和 SOR 迭代法。 G-S 2.加深对计算方法技巧，选择正确的计算方法来求解各种线性方程组。 3.培养使用电子计算机进行科学计算和解决问题的能力。 二.实验环境 VC++6.0 实验语言：c++ 三.实验内容 1.试用雅克比迭代法和高斯塞德尔迭代法求解如下的线性方程组，设置精度为 1.0e-6:

10 1 1 x1 6.2 1 10 2 x2 = 8.5 2 1 5 x 3.2 3 2. 用 w=1 及 w=1.25 的 SOR 方法求解如下的线性方程组， 设置精度为 0.5e-7(初值为(1,1,1))

4 3 0 x1 24 3 4 1 x2 = 30 0 1 4 x 24 3 四.实验公

第四章 线性方程组

1． 设A 为n 阶方阵，若2)(-=n A R ，则0=AX 的基础解系所含向量的个数是（ ）。

)(A 0个(即不存在) )(B 1个 )(C 2个 )(D n 个

2．如果n 元非齐次线性方程组b AX =的系数矩阵A 的秩小于n ，则（ ）。

)(A 方程组有无穷多个解 )(B 方程组有惟一解

)(C 方程组无解 )(D 不能断定解的情况

3．设33)(?=ij a A 满足条件：(1)ij ij A a =(3,2,1,=j i )，其中ij A 是元素ij

a 的代数余子式；(2) 133-=a ；(3) ||1A =，则方程组

b AX =，

T b )1,0,0(=的解是（ ）。

)(A T )2,5,3( )(B T )3,2,1( )(C T )1,0,0(- )(D T )1,0,1(-

4．设A 为n 阶奇异方阵，A 中有一元素ij a 的代数余子式0≠ij A ，则齐次线性方程组0=AX 的基础解系所含向量个数为（ ）。

)(A i 个 )(B j 个 )(C 1个 )(D n 个

第6章

解线性方程组的迭代方法

6.1 迭代法的基本概念 6.2 雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法

6.3 超松弛迭代法 6.4* 共轭迭代法

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6.1 迭代法的基本概念6.1.1 引 言 对线性方程组 Ax=b, (1.1) 其中A为非奇异矩阵, 当A为低阶稠密矩阵时, 第5章 讨论的选主元消去法是有效的. 但对于大型稀疏矩 阵方程组(A的阶数n很大 104,但零元素较多), 利 用迭代法求解是合适的. 本章将介绍迭代法的一些基本理论及雅可比 迭代法，高斯-赛德尔迭代法，超松弛迭代法，而 超松弛迭代法应用很广泛。 下面举简例，以便了解迭代法的思想.上页 下页

例1 求解方程组

8 x1 3 x2 2 x3 20, 4 x1 11 x2 x3 33, 6 x 3 x 12 x 36. 2 3 1记为Ax=b,其中

(1.2)

x1 8 3 2 30 A 4 11 1 , x x2 , b 33 . x 6 3 12 36 3 此方程组的精确解是x*=(3,2,1)T