有限元方法及其应用

浅析有限元方法的发展与应用

摘要:1965年“有限元”这个名词第一次在我国出现,到今天有限元在工程上得到广泛应用,经历了三十多年的发展历史,理论和算法都已经日趋完善。有限元法(Finite Element Method,简写为FEM)是求解微分方程的一种非常有效的数值计算方法,用这种方法进行波动数值模拟受到越来越多的重视。

关键字:有限元法 发展 应用

Abstract:1965 the term \ment is widely used in engineering, has experienced more than 30 years of development history, theory and algorithm have been becoming more complete.FEM (Finite Element Method, abbreviated as FEM) is a very effective to solve the differential equation of numerical calculation Method of wave numerical simulation by using t

概括为三种情况

8 F, yP. q# F1）单元损伤失效，这种单元失效可以用来模拟材料由于损伤，或其他原因导致刚度减小的情况。 2）单元直接删除技术，这种技术可以用来模拟基坑，隧道开挖而导致的材料消失情况。

8 f) P% B ?7 ^/ V$ x6 i# w6 u

3）vumat，这种方法本质上讲与第一种相类似，但是它可以根据用户自己的情况来删除单元，但是属于很高级的操作，难度也较大

6 C/ y$ K( y7 _5 y, I0 [1 g

0 h/ X5 | a. E* t, \\7 H2 h\当然，cohesive也可以算作一种单元删除的方法，只是本身很少做断裂模拟，对于那方面不是很了解。在这三种方法中，我想讲一讲前两种情况。1首先来讲一下第二种方法。这种方法很简单

, Q' k4 r' ]\& x; F2 @. O7 S p+ {6 F\2 d. U7 `0 L! h9 M+ B

* V- X( r2 [ n; L: v: L他的使用方法就是在edit keyword中加一行关键字*MODEL CHANGE, TYPE=ELEMENT, REMOVE Set-1

Set-1为所定义的单元集合，这一集合需要事先定义，而这一关键字的位置

有限元法及应用

1 有限元的发展历程

1965年，“有限元”这个名词第一次在我国出现,到今天有限元在工程上得到广泛应用,经历了三十多年的发展历史,理论和算法都已经日趋完善。有限元法(Finite Element Method,简写为FEM)是求解微分方程的一种非常有效的数值计算方法,用这种方法进行波动数值模拟受到越来越多的重视。有限元法起源于固体力学,并逐步扩展到热传导、计算流体力学、电磁学等不同领域,已经成为数学物理中很重要的数值计算方法。

有限元法的发展历程可以分为提出(1943)、发展(1944一1960)和完善(1961-二十世纪九十年代)三个阶段。有限元法是受内外动力的综合作用而产生的。

1943年，柯朗发表的数学论文《平衡和振动问题的变分解法》和阿格瑞斯在工程学中取得的重大突破标志着有限元法的诞生。

有限元法早期(1944一1960)发展阶段中，得出了有限元法的原始代数表达形式，开始了对单元划分、单元类型选择的研究，并且在解的收敛性研究上取得了很大突破。1960年，克劳夫第一次提出了“有限元法”这个名称，标志着有限元法早期发展阶段的结束。

有限元法完善阶段(1961一二十世纪九十年代)的发展有国外和国内两条线索。在国外的发展表现为

南京理工大学

机械工程学院研究生研究型课程考试

题目及要求

课程名称： 有限元方法理论及应用 考试形式：□专题研究报告 □论文 □大作业 □√综合考试 考试题目：“有限元方法理论及应用”理论研讨及上机实验 试题及要求：

一、课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分）

撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础；2）有限元法求解的原理和过程，推导计算列式；对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论；3）等参单元的概念、原理和应用。

二、分析与计算（40分）

1、图示两个结构和单元相似，单元方位相同的平面应力有限元模型，两模型的单元厚度和材料相同。两个模型右端单元边上受均匀剪切面力。对于下列2种情况，试根据有限元法和力学有关知识来分析论证两个模型求解后对应节点（节点1）的位移值和对应单元的应力值之间的关系：1）两个模型面力的合力相等；2）两个模型面力值相等。（10分）

解：(1)A?11xj21xm1xiyiyjbi??ym0cibi1yj1xjci??1ym1xmbj0cj0

有限元与数值方法第一讲授课教师：刘书田Tel:84706149; Email:stliu@ 教室：综合教学楼 351

时间：2013年3月15日：8:00—10:50

教学内容计算固体力学的基本理论 固体力学(以弹性力学为主描述)的基本理论 能量、变分原理和变分法 特殊问题的数值计算方法 介绍各类方法的构造过程 有限差分法(Finite Different Method) 加权残数法(Weighted Residual Method) 有限元法(Finite Element Method) 无网格法(Meshless Method) 边界元方法(Boundary element Method)

计算固体力学的主要方法

有限元法的应用和前后处理

参考教材 R.D.Cook,有限元分析的概念与应用 (Concepts and Application of Finite Element Analysis)关正西等译，西安交大 出版社 王勖成等, 有限单元法基本原理和数值方法， 清华大学出版社 杨庆生, 现代计算固体力学，科学出版社 刘正兴等, 计算固体力学，上海交大出版社

第一章 前言一 计算固体力学的任务：1.

风vrvb

有限元部分实验报告

F0805102班 5080519046 王江

一、问题描述

一个带圆孔平板如图，内孔半径1mm，平板为方形，其边长为20mm。两侧受均布拉 伸载荷q=1000N/mm。平板材料性能参数包括：泊松比0.3，弹性模量E=200GPa。试分析平 板内部应力场。扩展讨论：当小孔直径变化时，孔边上的应力将会如何变化。

二、模型描述

2.1 模型简化

利用对称性原理，我们可以只对平板

的四分之一进行研究。

如右图所示，考虑第一象限中的平板：

对于X轴上的分应力fxx及fxy，由于对称性

可知fxy=0，且X轴上的质点在Y方向应没有

位移。 同理对于Y轴上的分应力fyx及fyy，

可由对称性推出 fyx=0，且Y轴上的质点在

X方向应没有位移。 因此可将该部分平板看

做只有一边受外载荷q，且在X轴上受Y=0，

Y轴上受X=0的边界约束。 而由对称性可知，

二、三、四象限中的平板受载荷及边界条件

情况与第一象限完全一致。因此只研究1/4

平板是合理的，与研究整体平板结果相同。

2.2、实验模型

模型单元如右上图所示，建立以（0 0 0）为圆心，（1 0 0）和（0 1 0）为边界的圆弧，再以（10 0 0）及（10 10 0）、（10 1

齿轮弯曲应力的有限元分析

摘 要：本文对有限元的概念和分析方法做了介绍，利用有限元分析软件ANSYS对UG建模的齿轮进行了分析，得出了齿轮在不同载荷下，弯曲应力的变化情况，对齿轮的设计提供了理论依据。

关键词：ANSYS；有限元；齿轮

有限元分析是使用有限元方法来分析静态或动态的物理物体或物理系统。在这种方法中一个物体或系统被分解为由多个相互联结的、简单、独立的点组成的几何模型。在这种方法中这些独立的点的数量是有限的，因此被称为有限元。由实际的物理模型中推导出来得平衡方程式被使用到每个点上，由此产生了一个方程组。这个方程组可以用线性代数的方法来求解。有限元分析的精确度无法无限提高。元的数目到达一定高度后解的精确度不再提高，只有计算时间不断提高。

有限元分析可被用来分析比较复杂的、用一般地说代数方法无法足够精确地分析的系统，它可以提供使用其它方法无法提供的结果。在实践中一般使用电脑来解决在分析时出现的巨量的数和方程组。

在分析一个物体或系统中的压力和变形时有限元分析是一种常用的手段，此外它还被用来分析许多其它问题如热传导、流体力学和电力学。

通用有限元分析软件有：德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQU

基于ABAQUS平台的扩展有限元方法

断裂是一种失效模式。在工程领域中，经常发生起源于断裂或终结于裂纹扩展的灾难性破坏事故，如压力管道的裂纹失稳扩展，机械构件的断裂，地震引起的地面开裂和房屋倒塌等，这些事故对我们的生命和生活造成了很大的影响。由于产生裂纹的原因难以量化，因此裂纹出现后是否会继续扩展或发生止裂的断裂力学具有很重要的意义。

传统的断裂力学在剖分单元网格的时候必须考虑物体内部的缺陷，如裂纹，界面等，使单元边界与几何界面一致，这也就会形成局部网格加密，而其余区域稀疏的非均匀网格分布。ABAQUS中单元的最小尺寸决定了显示计算时间增量的临界步长，过小的最小尺寸无疑会增加计算的成本；再有就是需要预先给定裂纹的扩展路径，裂纹只能沿单元边界扩展，难以形成任意裂纹路径。

扩展有限元方法（XFEM，extended finite element method，以下简称XFEM）的核心思想是用扩充的带有不连续性质的形函数基来代表计算域内的间断，因此在计算过程中，不连续场的描述完全独立于网格边界，这使其在处理断裂问题上具有很大的优势。XFEM可以充分利用已知解析解答构造形函数基，在较粗网格上即能得到较精确的解答。利用XFEM，还可以方便地模拟裂纹沿

有限元分析方法课程教学大纲

一、课程基本情况

课程编号 课程名称 课程类别 学时学分 教学方式 考核方式 适用专业 先修课程 后续课程 参考教材与 教学参考书 32 （中文）有限元分析方法 （英文）Method of finite element analysis √必修 □必选 □任选 □开课学期 4 总学时 课内学时 32 实验学时 上机学时 学分 2 √课堂讲授为主 □上机实验为主 □√闭卷 □开卷 □考试（ 70 ％）＋平时( 20 ％)＋实验（ 10 ％） 过程装备与控制工程 教材： 《应用有限元分析》，梁醒培，王辉，清华大学出版社，第1版。 参考书： 1. 《有限元法基础及ANSYS应用》黄国权，机械工业出版社，第1版。 2. 《有限元法基础及ANSYS应用》王新荣，陈永波，科学出版社，第1版。 3. 《有限元法及其应用》江见鲸，何放龙，何益斌，陆新征，机械工业出版社，第1版。 二、课程在培养方案中的地位、目的和任务

有限单元法是在当今技术科学发展和工程分析中获得最广泛应用的数值方法。由于它的通用性和有效性，受到工程技术界的高度重视。伴随着计算机科学和技术的快速发

有限元基础

有限元法基础及应用

补充讲义

2010年2月

有限元基础

“有限元法基础及应用”补充讲义

一、弹簧单元与弹簧系统

1、 弹簧单元分析

1）单元描述

弹簧系统受力平衡时，从中隔离出一个典型弹簧单元进行分析。

图 1-1

弹簧单元的端点i,j设置为单元节点。 基本未知量为节点位移：ui,uj

单元节点力（单元在节点处受到的作用力）：fi,fj 已知弹簧的物理特性：F k

其中：k为弹簧刚度, uj ui为弹簧伸长量，F为弹簧力（拉伸为正） 2）建立弹簧单元的单元刚度方程

考虑弹簧单元在系统中变形平衡时的条件：力平衡条件和弹簧物理特性，得到下列方程：

fi F k(uj ui) kui kujfj F k(uj ui) kui kuj

写成矩阵形式：

（1-1）

fi k fj k k ui

k uj

（1-2）

上式的矩阵符号形式为：

f kd

（1-3）

方程（1-2）或（1-3）称为弹簧单元的刚度方程，反映了单元的力学特性，

即节点力~节点位移之间的关系。

式（1-3）中：

有限元基础

k k k ,称为单元刚度矩阵

kk ui

d ,称为单元节点位移列阵

uj fi

f ,称为单元节点力列阵

fj

3）弹簧单元刚度方程