数学分析不定积分公式

第六章 不定积分

第一节 不定积分的概念

正如加法有其逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算——积分法，我们已经知道，微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，那么与之相反的问题是：求一个未知函数，使其导函数恰好是某一已知函数，提出这个逆问题，首先是因为它出现在许多实际问题之中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的切线斜率(或斜率所满足的某一规律),求曲线方程等等，本章与其后两章(定积分与定积分的应用)构成一元函数积分学.

一、原函数与不定积分

定义6-1 设函数f与F在区间I上都有定义.若

F?(x)?f(x),x?I,

则称F为f在区间I上的一个原函数. 例如

112x是x在(??,??)上的一个原函数，因为(x2)??x；又如sinx与sinx?1都是

22cosx在(??,??)上的原函数，因为(sinx)??(sinx?1)??cosx.如果这些简单的例子都可

以从基本求导公式反推而得的话，那么

1F(x)?xarctanx?ln(1?x2)

不定积分基本公式

第二节 不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of Undefined

Integral and Direct Integral）

课 题：1. 不定积分的基本公式 2. 不定积分的直接积分法 课堂类型：讲授 教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。 教学重点：不定积分的基本公式 教学难点: 直接积分法 教 具：多媒体课件 教学方法： 教学内容：

一、不定积分的基本公式

由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。 导数的基本公式 不定积分的基本公式

(C) 0x 1

(x 1)

1 x (ex) ex(ax) axlna1x

(sinx) cosx(cosx) sinx(lnx) (tanx) sec2x(cotx) csc2x(secx) secxtanx(cscx) cscxcotx(arcsinx)

1

(arctanx)

1 x2

(arccosx) 1

(arccotx)

1 x21

(logax)

xlna

0dx C dx x C

x 1

xdx 1

一、基本导数公式：

1. kx '

k

2. x

n ' nxn 1

3. ax '

ax

lna4. ex '

e

x

5. log'

1

ax

xlna6. lnx '

1x

7. sinx '

cosx8. cosx '

sinx9. tanx ' sec2

x

10. cot '

csc2

x

11. secx '

secxtanx12. cscx '

cscxcotx13.

arcsinx '

1

14.

arccosx '

115. arctanx '

11 x2

16. arccot '

11 x2

二、基本微分公式：

1.d kx k

2.d xn nxn 1dx3.d ax axlnadx4.d ex exdx5.d lnx 1

xdx

6.d log1

ax xlna

dx

7.d sinx cosxdx8.d cosx sinxdx9.d tanx sec2

xdx

10.d cotx csc2xdx11.d secx secxtanxdx12.d cscx cscxcotxdx13.d

arcsinx

1

dx

14.d arccosx 1

dx

15.d arctanx 1

1 x

2

dx16.d arccotx 1

1 x

2

dx- 1 -

高等数学 不定积分 换元积分法 分部积分 不定积分在经济问题中的应用 不定积分习题

第4 章

不定积分

4.1 不定积分的概念与基本积分公式 4.2 换元积分法 4.3 分部积分法

高等数学 不定积分 换元积分法 分部积分 不定积分在经济问题中的应用 不定积分习题

第4 章基本要求

不定积分

了解原函数提出的背景； 了解原函数提出的背景； 理解并掌握不定积分概念,了解不定积分的几何意义； 理解并掌握不定积分概念 了解不定积分的几何意义； 了解不定积分的几何意义 掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式； 掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式； 掌握不定积分的直接积分法,凑微分法 第二换元积分法 掌握不定积分的直接积分法 凑微分法,第二换元积分法 根号 凑微分法 第二换元积分法(根号 中为一次函数)、分部积分法，会求不定积分。 中为一次函数 、分部积分法，会求不定积分。 理解与掌握不定积分和简单应用， 理解与掌握不定积分和简单应用，会用不定积分解决简单的 实际问题。 实际问题。

高等数学 不定积分 换元积分法 分部积分 不定积分在经济问题中的应用 不定积分习题

教学内容: 教学内容:不定积分的概念与基本积分公式 引入

前面我们研究了一元函数微分学的基本问题， 前面我们

Yz.Liu.2013.09

卷终 公式表注解四

基本不定积分表

序言：

微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎

覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。

本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式

之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。

本表收录公式16组，151式。

公式一 基本初等函数的不定积分18式：

?1??1x?C,???1;?(1).?xdx????1??ln|x|?C,???1.幂函数

?(2).?axdx?1xa?Clna指数函数

(3).?exdx?ex?C

(4).?logaxdx?xlogax?xlogae?C对数函数三角函数

(5).?lnxdx?xlnx?x?C(6).?sinxdx??cosx?C(7).?

第 3、4 次课 4 学时

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：不定积分的概念与性质 教学要求：1. 理解不定积分的概念 2. 理解不定积分的性质；3. 熟记基本积分表。 重 点：不定积分的性质和基本积分表 难 点：不定积分的概念 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 不定积分的概念 （25） 2. 不定积分的性质 （30） 3. 基本积分表 （30） 4. 习题 （90） 课后作业 参考资料 不定积分的概念与性质

1、复习13个基本导数公式. 2、原函数与不定积分的概念.

（1）定义1 在区间I上，如果可导函数F?x?的导函数为f(x)，即对任一x?I，都有

F'?x??f(x)或dF(x)=?f(x)dx， 那么函数F?x?就称为f(x)(或f?x?dx)在区间I上的原函数.?

（2）原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数

F?x?, 使对任一x ?I 都有F ?(x)?f(x).

注： 1、

第四章 不定积分

一、不定积分的概念、性质与基本积分公式 内容提要

1、原函数与不定积分的定义 （1）原函数的定义

如果对任意x?I都有F?(x)?f(x)，或dF(x)?f(x)dx，则称函数F(x)是f(x)在区间I上的原函数。

任何一个在区间I上连续的函数都存在原函数。

若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则对任意常数C，F(x)?C也是f(x)在区间I上的一个原函数，并且f(x)在区间I上的任何原函数均可表示成F(x)?C的形式。 （2）不定积分的定义

设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)在I上的原函数的一般表达式

F(x)?C称为f(x)在区间I上的不定积分，记作?f(x)dx，即

?f(x)dx?F(x)?C

其中C为任意常数；f(x)称为被积函数；f(x)dx称为被积表达式；? 称为积分符号；x称为积分变量。

一个函数的不定积分不是一个数，也不单指某个具体的函数，而是一个函数族。 2、不定积分的性质

（1）(?f(x)dx)??f(x) 或 d?f(x)dx?f(x)dx。 （2）?F'(x)dx?F(x)?C 或

?dF(x)?F(x)?C。

（3）?kf(x)dx?k?f(x)dx（

不定积分

内容要点

1.(影子法 LIATE) 2.基本的2个？ 一、基本概念与性质

1．原函数与不定积分的概念

2．不定积分的性质

设 ?f?x?dx?F?x??C，其中F?x?为f?x?的一个原函数，C为任意常数。则 （1）

?F??x?dx?F?x??C

?? 或?dF?x??F?x??C

???（2） ??f?x?dx??f?x? 或d??f?x?dx??f?x?dx

（3） （4） ?kf?x?dx?k?f?x?dx ?f?x??g?x???dx??f?x?dx??g?x?dx ??3．原函数的存在性 1）设f?x?在区间I上连续，则f?x?在区间I上原函数一定存在 2）初等函数的原函数不一定是初等函数

?sin?x2?dx，?cos?xxa?12?dx，?sinxxdx，?cosxxdx，?dxlnx，?e?xdx

2二、基本积分公式 1．?xdx?1aa?1?C （a??1，实常数）

2．?dx?lnx?C

x3．?adx?x1lnaxa?C （a?0，a?1）

x?exdx?e?C

4．?cosxdx?sinx?C 5．?sinxdx??cosx?C

6．?secxdx?7．?cscxdx?22?co

不定积分的例题分析及解法

这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量u??(x)，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将?ud?转化成??du，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如f(x)为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，f(x)为无理函数时，常可用换元积分法。 应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如

?sinxxdx；?e?x2dx；?1lnxdx；?dx1?ksinx22（其中0?k?1）等。

这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展，在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。

一、疑难分析

（一）关于原函数与不定积分概念的几点说明

（1）原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数

f(x)，若存在函数F(x)，使得该区间上每一点x处都有F?(x)

第4章 不定积分

内容概要 名称 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 主要内容 设f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) 或dF(x)?f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记为 ?f(x)dx?F(x)?C 注：（1）若f(x)连续，则必可积；（2）若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质1：d?f(x)dx??f(x)或d??f(x)dx??f(x)dx； ?????dx性质2：F?(x)dx?F(x)?C或dF(x)?F(x)?C； 性质3：[?f(x)??g(x)]dx??计 算 方 法 第一换元 积分法 （凑微分法） 第二类 换元积 分法 ??? ?f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。设f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有换元公式： ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x??(t)单调、可导且导数不为零，f[?(t)]??(t)有原