高等代数和线性代数的区别

线性代数 第 1 次课

章节§1.1二阶与三阶行列式 §1.2全排列及其逆序数 名称 §1.3 n阶行列式的定义 目的要求 掌握二阶与三阶行列式的计算 理解n阶行列式的定义 序号 主 要 内 容 与 时 间 概 算 1 2 3 4 共计 主要内容 二元线性方程组与二阶行列式 三阶行列式 全排列及其逆序数 理解n阶行列式的定义 时间概算 20分钟 15分钟 15分钟 45分钟 95分钟 重点 用对角线法则进行二阶、三阶行列式的计算. 难点 理解n阶行列式的定义. 方法 板书 手段 课堂 二元线性方程组消元法. 三阶行列式的课堂练习计算结果 思 考 题 作 业 题 《最新线性代数习题全解》同济四版配套辅导. 王治军 主编 中国建材参考 工业出版社2003.8 资料 《线性代数》重点内容重点题 杨泮池 赵彦晖 褚维盘 编著 西安交通大学出版社，2004.3

提 问 本次课内学员基本掌握了本次课的内容, 达到了教学目的. 容总结 x已知f(x)?121xx3112x213,求x3的系数. 2x 练习册 练习一 线性代数 第 2 次课

章节§1.4对

《线性代数》模拟试卷（一）

一. 一. 填空题(20/5)

1.已知A是5阶方阵,且|A|?2,则|A*|?____________.

2.设A?(aij)1?3,B?(bij)3?1,则B?A??______________.

3.设?1?(3,3,3),?2?(?1,1,?3),?3?(2,1,3),则?1,?2,?3线性_____关.

4.若A100?0,则(I?A)?1?_____________.

?12?5.设|A|?0,??2为A的特征值,则A有一特征值为_________,?A??3?有一特征值为__________.

二. 二. 选择填空(20/5)

?.1.设A,B为n阶对称矩阵,则下面四个结论中不正确的是?2?1A.A?B也是对称矩阵B.AB也是对称矩阵D.AB??BA?也是对称矩阵

C.Am?Bm(m?N?)也是对称矩阵

?A?0?2.设A和B都是n阶可逆矩阵,则(?2)??1????0B?A.(?2)2n|A||B|?1B.(?2)n|A||B|?1C.?2|A?||B|D.?2|A||B|?1

3.当n个未知量m个方程的齐次线性方程组满足条件??.

?时,此方程组一定有非零解.A.n

华中科技大学硕士研究生入学考试《数学》(含高等数学、线性代数)

考试大纲

一、函数、极限、连续

考试内容

函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 简单应用问题的函数关系的建立。

数列极限与函数极限的定义以及它们的性质 函数的左极限与右极限 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：

xsinx?1? lim?1,lim?1???e

x?0x??x?x?函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)

考试要求

1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法。 2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4．掌握基本初等函数的性质及其图形。 5．会建立简单应用问题中的函数关系式。

6．理解极限的概念，理解函数的左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

7．掌握极限的性质及四则运算法则。

工 程 数 学

线性代数讲义

Linear Algebra Materials

卫 斌 教授 主讲

惠州学院数学系

Department of Mathematics Huizhou college

2009年9月

第1,2讲

第一章 行 列 式

行列式（determinant [di't?:min?nt]）是研究线性代数（linear algebra['?ld?ibr?]）的一个重要工具，在线性方程组、矩阵、二次型中都需要用到行列式.在数学的其它分支里也常常要用到行列式.因此我们在第一章里就向大家介绍行列式.

§1 二阶与三阶行列式

一、二元线性方程组与二阶行列式

行列式的概念是从解线性方程组的问题中引进来的.所谓线性方程组是指未知量的最高次数是一次的方程组.例如，解二元一次方程组

(1)?a11x1?a12x2?b1 ?

ax?a

线性代数公式大全

1、行列式

1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mij?(?1)i?jAij4. 设n行列式D：

将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1?(?1)?Aij?(?1)i?jMij

n(n?1)2D； D；

将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2?(?1)将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4?D； 5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)n(n?1)2n(n?1)2将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3?D；

；

③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积； ④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)⑤、拉普拉斯展开式：

n(n?1)2；

AOACCAOA??AB、??(?1)m?nAB CBOBBOBC⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

浅谈线性代数

姓名： 学号： 班级：

摘要：在我们的学习过程中，我们可以发现线性代数与解析几何

在很多地方是有相似之处的，确切的说线性代数中的一些理论是由解析几何发展和改进而来的。而线性代数与求解线性方程组是分不开的。在线性代数中，我们学到了行列式，向量，矩阵，以及关于线性方程组的一些知识，在线性代数中，为了解决线性方程组问题，引进了行列式，进而利用克莱姆法则求解线性方程组的解，在后来的学习中，又引入了矩阵，通过矩阵的计算来求解线性方程组。在关于n维向量的学习中，我们根据线性方程组的问题建立了n维向量，并进一步发展得到了向量的线性相关性概念以及向量组的运算和向量组的极大无关组的概念，并用秩来表示向量组的极大无关组的向量个数，并将向量推广到向量空间，定义了向量空间的维数和基，后来又将向量的一些概念与矩阵相结合，使得矩阵和向量有机的结合起来，构成了求解线性方程组的强大工具。

关键词：线性相关性，向量空间，秩，矩阵及其逆阵，初等变

换。

引言：

线性代数的发展史：由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组

第二 章 矩阵 §2.1 矩阵及其运算

教学目的：使学生学习矩阵相关的概念及运算 教学重点：矩阵的概念及运算，几种特殊的矩阵 教学难点：矩阵的的乘法运算，

一、导入

矩阵是从实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，是数学研究中常用的工具，它不仅在数学中的地位十分重要，而且在工程技术各领域中也有着广泛的应用。矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。

二、新授

1．定义1：由m?n个数排成的m行n列的表

?a11?a?21????am1a12a22?am2?a1n??a2n?? ?????amn?称为m行n列矩阵（matrix）,简称m?n矩阵。

一般用大写黑体字母表示：记为A、B、C。为了表示行和列，也可简记为Am?n或?aij?m?n矩阵中数aij(i?1,2,?;j?1,2,?)称为矩阵的第i行第j列元素。 注意：

m=n时是方阵，此时矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵。

?b1??b?2n=1 称为列矩阵或列向量 B???。

??????bn?m=1 称为行矩阵或行向量 A??a1,a2,?an?。

定义2 ：如果两个矩阵有相同的行数，相同的列数，并且对应位置上的元素均相等

Matlab在高等数学和线性代数中的应用

开放实验指导书

曲庆国 编

山东交通学院理学院

2014年9月

⒈目的

本实验旨在向学生介绍一种解决专业问题的快速有效且具有强大功能的科学与工程计算软件。通过本实验，应使学生掌握的内容是：利用Matlab求极限，求导数，求极值，求积分，级数求和；利用Matlab求向量组的最大无关组，求齐次和非齐次线性方程组，求方阵的特征值和特征向量，求正交变换把二次型化成标准型。该实验主要为上机实验，要求学生按要求上机实现相关的程序的设计，自己动手编写程序并验证程序的正确性。

⒉实验任务分解

通过一些实例初步掌握Matlab在高等数学和线性代数中的应用。实验任务可分解为：Matlab在高等数学的应用，Matlab在线性代数中的应用(一)，Matlab在线性代数中的应用(二)。

⒊实验环境介绍

长清校区数学实验室

⒋实验时数

20学时

实验一 Matlab在高等数学的应用（8学时）

实验目的：

1. 2. 3. 4. 5.

利用Matlab求极限； 利用Matlab求导数； 利用Matlab求极值； 利用Matlab求积分； 利用Matlab对级数求和。

实验要求:给出程序和实验结果。 实验相关理论内容:

1 利用M

线性代数基本定理 一、矩阵的运算

1.不可逆矩阵的运算不满足消去律 AB=O,A也可以不等于O

?11??1-1??00??÷?÷=?÷ è-1-1?è-11?è00?2.矩阵不可交换

(A+B)=A+AB+BA+Bk222

(AB)=ABABABAB...AB

3.常被忽略的矩阵运算规则

(A+B)T=AT+BT

(lA)=lATT

4.反称矩阵对角线元素全为0 4.矩阵逆运算的简便运算

111(diag(a1,a2,...,an))=diag(,,...,)

a1a2an-11-1(kA)=A

k-1 方法

1. 特殊矩阵的乘法

A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。且：

B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵 2.矩阵等价的判断

A@B?R(A)=R(B)

任何矩阵等价于其标准型

3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换 如：m*n的矩阵，左乘m阶为行变换，右乘n阶为列变换 4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆 如：A2-A-2I=O，证明(A+2I)可逆。

把2I项挪到等式右边，左边凑出含有A+2I的一个多项式，在确保A平方项与A 项的系数分别为原式的系数情况下，看I项多加或少加了几个。 5.矩阵的分块进行

线性代数全公式

基本运算

①A?B?B?A

②?A?B??C?A??B?C?

③c?A?B??cA?cB ?c?d?A?cA?dA ④c?dA???cd?A

⑤cA?0?c?0或A?0。 AT??T?A

T ?A?B??AT?BT

?cA?TT?cAT。

?? ?AB??BTAT

??n?n?1??21??Cn2?n?n?1? 2D?a21A21?a22A22???a2nA2n

转置值不变AT?A 逆值变A?1?1 AcA?cnA

?,?1??2,???,?1,???,?2,? A???1,?2,?3?，3阶矩阵 B???1,?2,?3? A?B?A?B

A?B???1??1,?2??2,?3??3?

A?B??1??1,?2??2,?3??3 A?A0??AB 0B?BE?i,j?c???1

有关乘法的基本运算

Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj 线性性质 ?A1?A2?B?A1B?A2B， A?B1?B2??AB1?AB2 ?cA?B?c?AB??A?cB?