柯西极限存在准则

西南石油大学《高等数学》专升本讲义

极限存在准则 两个重要极限

【教学目的】

1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】

1、夹逼准则；

2、单调有界准则； 3、两个重要极限。 【重点难点】

重点是应用两个重要极限求极限。

难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。 【授课内容】

引入：考虑下面几个数列的极限

10001、limn???i?1n1n?i1n?i221000个0相加，极限等于0。

2、limn???i?1无穷多个“0”相加，极限不能确定。

3、limxn，其中xn=n??3+xn-1，x1=3，极限不能确定。

对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：

一、极限存在准则

1.

§1.4 极限存在准则与两个重要极限

一、极限存在准则 二、两个重要极限sin x lim =1 x→0 x1 n lim(1 + ) = e n→∞ n上页 下页 返回

§1.4 极限存在准则与两个重要极限

一、极限存在准则1.夹逼准则 1.夹逼准则准则Ⅰ 满足下列条件: 准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:

的极限存在, 那么数列 x n 的极限存在, 且 lim x n = a . →∞n

(1) yn ≤ xn ≤ z n ( n = 1,2,3L) ( 2) lim yn = a , lim zn = a , →∞ →∞n→ ∞ n→ ∞

证 Q yn → a ,

zn → a ,

ε > 0, N 1 > 0, N 2 > 0, 使得上页 下页 返回

§1.4 极限存在准则与两个重要极限

当 n > N 1时恒有 y n a < ε,当 n > N 2时恒有 z n a < ε ,

取 N = max{ N 1 , N 2 }, 即 a ε < y n < a + ε,

上两式同时成立, 上两式同时成立

a ε < z n

第三节

极限运算法则

一、极限四则运算法则定理1. 若limf (x)=A, limg(x)=B存在, 则

(1) lim[f (x) g(x)] = limf (x) limg(x) = A B(2) lim[f (x) g(x)] = limf (x) · limg(x) = A · B

f ( x) lim f ( x) A (3) 若B 0, 则 lim . g ( x) lim g ( x) B

推论: 设limf (x)存在. C为常数, n为自然数. 则

(1) lim[Cf (x)] = C limf (x) (2) lim[f (x)]n = [limf (x)]n

2x x 4 例1. 求 lim x 2 x 63 2

更一般的, 有结论: 若f (x)为初等函数, 且f (x)在点 x0处有定义. 则 lim f ( x ) f ( x0 )x x0

xn 1 例2. 求 lim m , 其中m, n为自然数. x 1 x 1

解: 注意到公式

x n 1 ( x 1)( x n 1 x n 2 1)有( x 1)( x n 1 1

第六节 极限存在准则及 两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限

第一章

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一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1. 函数极限与数列极限的关系 定理1.x x0

lim f ( x) A

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义, xn x0 (n ), 有 lim f ( xn ) A n xn

x

为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.

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定理1. lim f ( x) Ax x0

xn x0 , f ( xn )有 lim f ( xn ) A.n

有定义, 且

证：“

” 设 lim f ( x) A , 即 0 , 0 , 当x x0

有 f ( x) A .

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义 , 且对上述 , N , 当 故 时, 有y

于是当 n N 时 f ( xn ) A .n

lim f ( xn ) A

A

“

” 可用反证法证明. (略)

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定理1. li

第六节 极限存在准则及 两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、 两个重要极限

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一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1. 函数极限与数列极限的关系 定理1.x x0

lim f ( x) A

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义, xn x0 (n ), 有 lim f ( xn ) A n xn

x

为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.

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定理1. lim f ( x) Ax x0

xn x0 , f ( xn )有 lim f ( xn ) A.n

有定义, 且

证：“

” 设 lim f ( x) A , 即 0 , 0 , 当x x0

有 f ( x) A .

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义 , 且对上述 , N , 当 故 时, 有y

于是当 n N 时 f ( xn ) A .n

lim f ( xn ) A

A

“

” 可用反证法证明. (略)

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一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1. 函数极限与数列极限的关系 (P37 定理4) 定理1x x0

lim f ( x) A

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义, xn x0 (n ), 有 lim f ( xn ) A n xn

x

为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.

机动

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定理1

x x0

lim f ( x) An

xn x0 , f ( xn )有 lim f ( xn ) A.

有定义, 且

证：“

” 设 lim f ( x) A , 即 0 , 0 , 当x x0

有 f ( x) A .

xn : xn x0 , f ( xn ) 有定义 , 且对上述 , N , 当 故 时, 有y

于是当 n N 时 f ( xn ) A .n

lim f ( xn ) A

A

“

” 可用反证法证明. (略)机动 目录

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奥古斯丁·路易斯·柯西

同学们大家好，历经高考，进入大学，选择数学为专业，是一件很明智的事。在我们已学过的几科专业课中，如数学分析，常微分方程，初等数论，复变函数

中，有一个数学家频频出现。你们是否已经猜到是谁了呢？是的，他就是伟大的数学家——柯西（Augustin Louis Cauchy）。柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），出生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。并且在数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...接下来我们来了解下有关他的详细内容。 个人履历

他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预

勒 柯布希耶

柯布西耶的介绍:

勒·柯布西耶(Le Corbusier1887年10月6日-1965年8月27日)，原名Charles Edouard Jeannert-Gris，是20世纪最重要的建筑师之一，是现代建筑运动的激进分子和主将。他和瓦尔特·格罗皮乌斯、路德维格·密斯·凡·德·罗并称为现代建筑派或

国际形式建筑派的主要代表。又译做柯比意。

勒·柯布西耶出生于瑞士西北靠近法国边界的小镇，父母从事钟表制造，少内时曾在故乡的钟表技术学校学习，对美术感兴趣，1907年先後到布达佩斯和巴黎学习建筑，在巴黎到以运用钢筋混凝土著名的建筑师奥古斯特·贝瑞处学习，後来又到德国贝伦斯事务所工作，彼得·贝伦斯事务所以尝试用新的建筑处理手法设计新颖的工业建筑而闻名，在那里他遇到了同时在那里工作的瓦尔特·格罗皮乌斯和路德维格·密斯·凡·德·罗，他们互相之间都有影响，一起开创了现代建筑的思潮。他又到希腊和土耳其周游，参观探访古代建筑和民间建筑。

勒·柯布西耶于1917年定居巴黎，同时从事绘画和雕刻，与新派立体主义的画家和诗人合编杂志《新精神》，按自己外祖父的姓取笔名为勒·柯布西耶，他在第一期就写到：“一个新的时代开始了，它植根于一种新的精神，有明确目

“Men pass away, but their deeds abide.”

——Cauchy

话说，清朝嘉庆年间，在遥远的欧洲，有一位伟大的数学家降生了。 他有极高的文学素养； 他是一名虔诚的天主教徒 他照亮了数学模糊的角落 他就是数学家：柯西，“柯西不等式”的那个柯西，和柯南不是兄弟

少年柯西：文艺小正太

柯西的幼年和小学阶段的老师只有一个，那就是他的父亲（以下简称老柯西）。老柯西是法国的公务员，并且对法语、拉丁语这些语言很有研究，并且把这些语言上的研究教给柯西，所以柯西很早就会写法语诗，颇有文艺青年的范儿。要知道，就连法国人自己也经常犯语法错误，大多数人能写成文章已经不错了，能写出诗的人可以说是凤毛翎角。

柯西在13岁的时候直接上了中学，而且还积极参加竞赛，并多次获奖，不过参加的竟然是

拉丁文和希腊文的竞赛！

话说柯西为什么一上来在文科方面有这么深的造诣呢？一方面是他父亲本人的文学素养很高，另一方面是因为柯西经常和父亲一起出入法国参议院，在那里柯西经常和两个已经成名的数学家交流。这两个人在数学史上都有开创性的贡献，一个叫做拉普拉斯，一个叫做拉格朗日（虽然都姓拉，但是不是兄弟哦）。这两位数学家都对柯西表现出来的天赋非常的欣赏，拉格朗日更是

论文题目：姓 名：单 位：

浅谈柯西不等式

李新平

浙江省第五中学

浅谈柯西不等式

概要：柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式在初等数学中，应用非常地广泛,与高中的向量联系也非常密切。

关键词：柯西不等式、极值、建模

一、概率方法证明柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式。

关于柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式证明，在书?1?中介绍了8种方法。这些证明都用了初等的方法，而这里介绍一种用初等概率论的知识来证明它，证明过程非常地简洁、明了。 柯西-许瓦尔兹（Cauchy-Schwarz）不等式的一般形式为 对任意的实数

a1,a2,...a,bn,,有 n及b1,b2,...nn?n?2??aibi???ai?bi2

i?1i?1?i?1?2其中等号当且仅当

aa1a2??...?n时成立。 b1b2bn设?是一个只取有限个值的离散型随机变量，其概率分布为

p???ai??pipi?0,i?1,2,....,n

则?的方差

D??E?2??E??,即

2??ai?1ni?E??2?n?2pi??aipi???aipi?

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