一元函数积分学专科

数学

§1 定积分的概念、性质和微积分基本定理

1. 试用定积分表示下列各个极限：

1n3

（1）lim4 k；

n nk 1

1nk

（3）lim ；

22n nk 1n k2. 证明下列不等式： 1

1dx （1） 2dx ；

0261 x315

（2）2 1 x6dx 。

12

3．计算下列导数：

dtan2x

t2dt； （1） dx0

4. 求下列极限： （1）lim

x 0

1nnk

（2）lim 2； 2n nk 1n k

1

（4）limn(n 1)(n 2) (2n)。

n n

dln(1 x)

ln(1 t2)dt。 （2） dx x

x0

sintdt

；

（2）lim

x 0

2

sin2x0

(e 1)dt

t2

xln(1 x)

5. 计算下列定积分：

2

x2sinx

。

（1） 4sin2xdx；

（2）

20

cosx

dx；

1 sinx

（3）

10

xdx x2

；

（4） (1 lnx)dx。

1

e

a 1

6. 设函数f在 ,a 上非负连续（a 0），且 1xf(x)dx 0，证明：

a a

a 1

a

xf(x)dx

1 1

2

a1a

f(x)dx。

7. 设函数f在[ 1,1]上非负连续，且 xf(x)dx 0。证明：

1 1

x2f(x)dx f(x)dx。

1

1

8.

第三章一元函数积分学

例1 设f(x)为可导函数，则?f?x?dx'为 A.f(x) B.f(x)?c C.f\(x) D.f\(x)?c

??例2 设ex?sinx是f(x)的原函数，则f'(x)?______

例3 初等函数f(x)在其定义区间(a,b)内必定（A，D） A.连续 B.可导 C.可微分 D.存在原函数

3x2?2x?x例4 求?dxxx

例5 求?1dxsin2xcos2x

例6 求?例7 求 ?1dx 22x(1?x)1dx

ex?e?x

例8 求?sin3xdx例9 求?sin2xcos3xdx

例10 求下列不定积分 ex1 （1）（2）?1?exdx ?1?exdx 例11 求?1dxx2?x?6

例12 求?exxdx

例13设f'(x)为连续函数，则?f2(x)df(x)

例14积分?f(x)dx?F(x)?c，则?f(lnx)dx?______ x

例15 已知f'(sin2x)?cos2x?tan2x，求f(x)例16 计算?1dx

2x-1?1例17 求

第三章 一元函数积分学

3.1 不定积分

一 基本概念

定义1 原函数：如果F?(x)?f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数．

定义2 不定积分： f(x)的所有原函数或带有任意常数项的原函数称为f(x)的不定积分．

二 基本结论

定理1 （原函数存在定理） 连续函数一定存在原函数．

定理2 （原函数个数）如果函数存在原函数，一定有无限多个原函数． 定理3 （原函数差别）同一个函数的任意两个原函数最多相差一个常数． 定理4 (不定积分公式)

（1）?kdx?kx?C； （2）?xdx?（3）?（5）?1xdx?lnx?C； （4）?11?x2?1??1x??1?C；

dx?arctanx?C；

11?x2dx?arcsinx?C； （6）?sinxdx??cosx?C；

（7）?cosxdx?sinx?C； （8）?tanxdx??lncosx?C； （9）?cotxdx?lnsinx?C； （10）?secxdx?lnsecx?tanx?C； （11）?cscxdx?lncscx?cotx?C； （

第三章 一元函数积分学

3.1 不定积分

一 基本概念

定义1 原函数：如果F?(x)?f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数．

定义2 不定积分： f(x)的所有原函数或带有任意常数项的原函数称为f(x)的不定积分．

二 基本结论

定理1 （原函数存在定理） 连续函数一定存在原函数．

定理2 （原函数个数）如果函数存在原函数，一定有无限多个原函数． 定理3 （原函数差别）同一个函数的任意两个原函数最多相差一个常数． 定理4 (不定积分公式)

（1）?kdx?kx?C； （2）?xdx?（3）?（5）?1xdx?lnx?C； （4）?11?x2?1??1x??1?C；

dx?arctanx?C；

11?x2dx?arcsinx?C； （6）?sinxdx??cosx?C；

（7）?cosxdx?sinx?C； （8）?tanxdx??lncosx?C； （9）?cotxdx?lnsinx?C； （10）?secxdx?lnsecx?tanx?C； （11）?cscxdx?lncscx?cotx?C； （

第三章 一元函数积分学及其应用 ................................................................................................. 1

3.1 定积分的概念、性质、可积准则 .................................................................................... 1

3.1.1 定积分问题举例 ..................................................................................................... 1 3.1.2 定积分的概念 ......................................................................................................... 3 3.1.3 定积分的几何意义 .....................................................

第三章一元函数积分学

2013考试内容

原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿－莱布尼茨（Newton –Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用

2013考试要求

1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。 2. 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分与分部积分

法。

3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式。 5. 了解反常积分的概念，会计算反常积分。

掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。

第一节一元函数积分学之一（原函数）

一、 原函数的概念及其等价描述

1．概念：设有函数和可导函数，如果对区间上的任何一点，都有，则称为在区间上的一个原函数。构成的全体原函数，叫做的不定积分，记为：。 2．原函数的性质：

●，

《高等数学》（上）“一元函数积分学”复习题

1.求不定积分?3.求不定积分?sinx1?lnxdx. 2.求不定积分?(xlnx)2dx. cos3x(arcsinx)21?x3x?92dx. 4.求不定积分?1(arcsinx)21?x2dx.

5.求不定积分?e7.求不定积分?9.求不定积分?1dx. 6.求不定积分?sin3xdx.

x1?x12dx. 8.求不定积分?x2?9dx. x1?2xxdx. 10.求不定积分?x2lnxdx

111.求定积分?edx. 12.求定积分?0?1xdx. 5?4x13.求定积分?115.定积分?412411?x2. 14.求定积分dx?11?xdx. x2013x?2dx. 16.求定积分?exdx.

02x?1?117.求定积分?2xcosxdx. 18.求定积分?xlnxdx.

1e19.求定积分?2?1. 20.

第三章 一元函数积分学

2013考试内容

原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿－莱布尼茨（Newton –Leibniz）公式 不定

积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用

2013考试要求

1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。 2. 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分与分部积分

法。

3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式。 5. 了解反常积分的概念，会计算反常积分。

掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。

第一节 一元函数积分学之一（原函数）

一、 原函数的概念及其等价描述

1．概念：设有函数f?x?和可导函

第三章 一元函数积分学

2013考试内容

原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿－莱布尼茨（Newton –Leibniz）公式 不定

积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用

2013考试要求

1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。 2. 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分与分部积分

法。

3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式。 5. 了解反常积分的概念，会计算反常积分。

掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。

第一节 一元函数积分学之一（原函数）

一、 原函数的概念及其等价描述

1．概念：设有函数f?x?和可导函

实验一 : 一元函数微分学

实验1 一元函数的图形（基础实验）

实验目的 通过图形加深对函数及其性质的认识与理解, 掌握运用函数的图形来观察和分析 函数的有关特性与变化趋势的方法,建立数形结合的思想; 掌握用Mathematica作平面曲线图性的方法与技巧.

基本命令

1. 在平面直角坐标系中作一元函数图形的命令Plot: Plot[f[x],{x,min,max},选项]

Plot有很多选项(Options), 可满足作图时的种种需要, 例如,输入

Plot[x^2,{x,-1,1},AspectRatio->1,PlotStyle->RGBColor[1,0,0],PlotPoints->30]

则输出y?x2在区间?1?x?1上的图形. 其中选项AspectRatio->1使图形的高与宽之比为1. 如 果不输入这个选项, 则命令默认图形的高宽比为黄金分割值. 而选项PlotStyle->RGBColor[1,0,0] 使曲线采用某种颜色. 方括号内的三个数分别取0与1之间. 选项PlotPoints->30令计算机描点作 图时在每个单位长度内取30个点, 增加这个选项会使图形