空间两直线垂直向量关系

课时作业(十九)

[学业水平层次]

一、选择题

1．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )

A．4 B．－4 C．5 D．－5

【解析】 ∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0. ∴k＝－5.

【答案】 D

→2．在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向量，则以下等式

中可能不成立的是( )

→→A.PA⊥AB

→→C.PC⊥BD →→B.PA⊥CD →→D.PC⊥AB

【解析】 由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB、CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．

【答案】 D

→→→→→3．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )

3315A.7，－74

40C.7，－2,4 4015B.7，－7，4 40D．4，715

→→→→【解析】 ∵AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，

→→→→又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，

x－1 ＋

课时作业(十九)

[学业水平层次]

一、选择题

1．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )

A．4 B．－4 C．5 D．－5

【解析】 ∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0. ∴k＝－5.

【答案】 D

→2．在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向量，则以下等式

中可能不成立的是( )

→→A.PA⊥AB

→→C.PC⊥BD →→B.PA⊥CD →→D.PC⊥AB

【解析】 由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB、CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．

【答案】 D

→→→→→3．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )

3315A.7，－74

40C.7，－2,4 4015B.7，－7，4 40D．4，715

→→→→【解析】 ∵AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，

→→→→又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，

x－1 ＋

空间两条直线的位置关系

空间直线的位置关系

空间两条直线的位置关系

一、空间两直线的位置关系观察正方体的图形，并指出直线AB、BB’、 CD’与直线C’D’的位置关系如何？ 1、相交——有且只有一个公共点； A' 如：CD’与C’D’是相交关系。2、平行——在同一平面内，没有公共点； 如：AB与C’D’是平行关系。A B

D'B' D

C'

C

3、异面——(既不相交又不平行)不在任何一 平面内，没有公共点； 如：BB’与C’D’是异面直线。

空间两条直线的位置关系

二、平行直线：【公理4】平行于同一直线的两条直线平行。 表示为a∥b,b∥c =>a∥c。(请举例)(书例 1) 例:已知四边形ABCD是空间四边形，E、 H分别是AB、AD的中点，F、G分别是 CF CG 2 边CB、CD上的点，且 CB CD 3 求证：四边形EFGH是梯形。

空间两条直线的位置关系

初中我们学过，如果一个角的两边分别平行另一个 角的两边，那么这两个角的关系如何？引申：如果在空间的两个角的两边分别平行，且方 向相同那么这两个角的关系又是什么样的呢？ 〖等角定理〗如果一个角的两边和另一个角的两边分别 平行，且方向相同，那么这两个角相等。 〖书中定理〗如果一个角的两边和另

【课时】第26课时

【课题】空间两条直线的位置关系（1）

【主备人】

【目标】1、了解空间中直线与直线的位置关系；

2、理解平行公理4，并会利用平行的传递性证明线线平行；

3、掌握等角定理内容并会应用．

【重点】平行公理及等角定理．

【难点】平行公理及等角定理的应用．

【教学过程】

一、问题情境：

1、平面几何中两直线的位置关系？

2、学生用自己手中的笔作为两条直线摆一摆，并观察，空间两直线的位置关系有哪些？教室内或下面图形中有哪些直线实例？有什么位置关系？

C1

A1

C

二、探索研究与建构数学（学生活动）：

1、学生讨论，归纳：

2、建构数学：

（1）问题：在平面几何中，同一平面内的三条直线a，b，c，如果a

∥b且b∥c，那么a∥c，这个性质在空间是否成立呢？

观察下面的长方体和圆柱：

B1 1 1

A1

B

归纳小结：

公理4： ．

思考：经过直线外一点，有几条直线和这条直线平行？

（2）问题：在平面中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。这一结论在空间成立吗？ 引导学生观察上图中的∠BEF和∠B1A1C1的关系归纳：

定理（等角定理）：

空间直线

1. 空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面. 2. 公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行. 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.

3．异面直线所成的角

直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．

4．异面直线的距离

和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离． [要点内容]

1．空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面。相交直线和平行直线都是共面直线，异面直线是立体图形。

2．空间两直线的位置关系分类

从有无公共点的角度看，可分为两类：

（1）两条直线有且仅有一个公共点—相交直线；

3．异面直线概念的理解 “不同在

空间中的垂直关系复习学案

课标要求：通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 ◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：

◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 基础知识回顾：

1、 证明线线垂直：如果一条直线l和一个平面α垂直，那么l和平面α内的任意一条直线都垂直。（线面垂直?线线垂直）

2、线面垂直：方法一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（线线垂直?线面垂直）

方法二：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直+线线垂直?线面垂直）

3．面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直?面面垂直）

4、垂直?平行：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行 典例解析

题型1：线线垂直问题

例1．如图1所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD

空间中的垂直关系教案

空间中的垂直关系 一. 教学内容： 空间中的垂直关系 二、学习目标

1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；

2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；

3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。 三、知识要点

1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。

2、直线与平面垂直的判定：常用方法有： ①判定定理： .

② b⊥α, a∥ba⊥α；（线面垂直性质定理） ③α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）

④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a a⊥α（面面垂直性质定

理）

3、直线与平面垂直的性质定理：

①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（ a⊥α，b⊥α⇒a∥b）

②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（）

4、点到平面的距离的定义： 从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。

特别注意：点到面的距离可直接向

课时作业(十八)

[学业水平层次]

一、选择题

1．l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ＝( )

A．1 B．2 C．3 D．4 12

【解析】 ∵l1∥l2，∴v1∥v2，则λ＝4，∴λ＝2. 【答案】 B

→→→

2．若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是

( )

A．相交 C．在平面内

B．平行

D．平行或在平面内

→→→→→→

【解析】 ∵AB＝λCD＋μCE，∴AB、CD、CE共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．

【答案】 D

3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )

A．(1，－1,1) 3??

C.?1，－3，2?

?

?

?

3??

??1，3，B.2? ?3??

D.?－1，3，－2?

?

?

?

→?1?

??－1，4，－【解析】 对于B，AP＝2，

→1??

?－1，4，－?＝0， 则n·AP＝(3,1,2)·2

?

?

→3??

∴n⊥AP，则点P?1，3，2?在平面α内．

?

?

【答案】 B

4．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量

Now similar concerns are being raised by the giants（巨头）that deal in data, the oil of the digital age. The most valuable firms are Google,Amazon,3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程

课后导练

基础达标

1.已知A（1，1，0），

=（4，0，2）,点B的坐标为（ ）

A.（7，-1，4） B.(9,1,4) C.(3,1,1) D.(1,-1,1) 答案：B 2.

=(-1,2,3)，

=（l,m,n），

=（0，-1，4），则

等于（ ）

A.（-1+l，1+m,7+n） B.(1-l,-1-m,-7-n)

C.(1-l,1-m,7-n) D.(-1+l,-1+m,-7+n) 答案：B

3.若a=(0,1,-1)，b=(1,1,0)，且(a+λb)⊥a，则实数λ的值是（ ） A.-1

空间中两条直线的位置关系

二、重难点提示

重点：异面直线的概念、异面直线所成的角及其求法，公理4的运用。

难点：异面直线概念的理解与求法。

考点一：空间中两条直线的位置关系

【要点诠释】

1. 若无特别说明，本书中的两条直线均指不重合的两条直线。

2. 异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是指“不可能找到一个平面能同时包含这两条直线”，也可理解为“这两条直线不能确定一个平面”不可误解为“分别在两个平面内的两条直线”。

3. 异面直线的判定方法：

①定义法：不同在任何一个平面内的两条直线。

②定理法：“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”。

符号表示：若l?α，A?α，B∈α，B?l，则直线AB与l是异面直线。

③排除法：其核心思想是反证法。

4. 异面直线所成角

（1）定义：已知两条异面直线a，b经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我

1

2 们把直线a ′和b ′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a ，b 所成的角。

（2）异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°。

（3）若两条异面直线a ，b 所成角是直角，就称异面直线a ，b 互相垂直，记作a ⊥b 。

5. 异面直线的画法：以辅助平面衬托不共面的特征。可画成下列情况：

考点二