二次函数根的判别式

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理

一、根的判别式

1.一元二次方程根的判别式的定义：

运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a

-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开

平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ?=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．

2.判别式与根的关系：

在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ?=-确定．

判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ?=-则

①0?>?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =． ②0?=?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a

==-

． ③0?

若?为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．

说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方

程有两

围场卉原初中初三数学导学案N0２2. 编制人：李建利 刘海龙 鲁秀峰 霍志科 孙松峰 审核： 包科组长签字： 时间：2010. 姓名： 层次: 评价区：

一元二次方程的根的判别式练习学案

教学目标：1、了解一元二次方程的根的判别式的产生过程；

2、能运用根的判别式判别方程根的情况，会进行有关的推理论证； 3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；

4、激情投入,阳光展示。

一、导学部分

1、一般地，式子 2、若 则 ，方程有两个不相等的实数根 若，则方程有两个相等的实数根 若，则方程没有实数根。 二、学习新知

例1：不解方程判别下列方程根的情况

1 2x2 3x 4 0 2 16y2 9 24y 3 5 x2 1 7x 0

4 x2 k2 0

例2：求证关于x的方程 m2 1 x2 2mx m2 4 0没有实数根

三、巩固提高 （一）、选择题

1. （2009年台湾）若a、b为方程式x2

4(x 1)=1的两根，且a＞b，则a=（ ）

A．－5 B．－

一元二次方程根的判别式

(第1课时)

【目标导航】

通过本课的学习，让学生在知识上了解掌握根的判别式．在能力上在求不解方程能判定一元二次方程根的情况；根据根的情况，探求所需的条件．

【预习引领】

解下列一元二次方程.

(1)x2－1=0 (2)x2 －2x =－1

(3)(x+1)2－24=0 (4)x2 +2x+2=0

问题：(1)为什么会出现无解？

(2) 回顾用配方法解方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的过程.

【要点梳理】

１．一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)的根的判别式是2－4ac．

2．判别一元二次方程根的情况：

（1）当b2－4ac＞0时，___________ _____;

（2）当b2－4ac＝0时，__________________;

（3）当b2－4ac＜0时，________ _______．

例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）2x2＋3x－4＝0；

（2）16y2＋9＝24y；

（3）5(x2+1)－7x＝0．

【课堂操练】

不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）3x2+4x－2=0；

（2）2y2+5=6y；

（3）4p(p－1)－3＝0；

（4）(x－2)2＋2(x－2)－8＝0；

（5

2

专题三 一元二次方程根的判别式[学生用书B14]__

(教材P39作业题第5题)

已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的系数满足ac<0，判别方程根的情况，并说明理由．

解：Δ＝b2－4ac>0，

所以原方程有两个不相等的实数根．

【思想方法】 一元二次方程根的判别式可以用来判断根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，确定方程中的未知系数．常常有以下的应用．

一 判断一元二次方程根的情况

[2013·福州]下列一元二次方程有两个相等实数根的是 ( C )

A．x2＋3＝0 B．x2＋2x＝0 C．(x＋1)2＝0 D．(x＋3)(x－1)＝0

[2013·潍坊]已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确

的是

( C )

A．当k＝0时，方程无解 B．当k＝1时，方程有一个实数解

C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解 D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

[2013·滨州]对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k

－1＝0的根的情况为

( C )

A．有两个相等的实数根 B．没有实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法确定

[2012·孝感]已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.

辅导资料

根的判别式与根与系数的关系

知识点一:

根的判别式：关于x的方程ax2?bx?c?0(a?0)， （1）当b2?4ac?0?方程有 的实数根。 （2）当b2?4ac?0?方程有 的实数根。 （3）当b2?4ac?0?方程有 的实数根。 常见题型：

★利用判别式判断一元二次方程根的情况 1、不解方程，判断下列方程根的情况：

（1）2x2?3x?4?0 （2）3x2?2?26x （3）

2、m为什么值时，关于x的方程2x2?(4m?1)x?2m2?1?0 ， （1）方程有两个不相等的实数根? （2）方程有两个相等的实数根? （3）方程没有实数根?

3、m为什么值时，关于x的方程(m?1)x2?(1?2x)m?2 ， （1）方程有两个不相等的实数根? （2）方程有两个相等的实数根? （3）方程没有实数根?

4、求证：关于x的方程x2?(m?2)x?2m?1?0 没有实数根。

32x?1?222x

辅导资料

5、求证：关于x的方程(k2?1)x2?2kx?k2?4?0 没有实数根。

★★根据方程根的情况，确定

这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习

韦达定理与根的判别式

知识点：

1、根的判别式b2

4ac

（1）b2

4ac 0 ，方程有两个不相等的实数根； （2）b2 4ac 0，方程有两个相等的实数根； （3）b2 4ac 0，方程没有实数根； 2、韦达定理

已知x1,x2是一元二次方程的两根，则有

xb1 x2

a

x1x2

ca

例1：已知一元二次方程x2

2x m 1 0 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设x2

1,x2是方程的两个实数根，且满足x1 x1x2 1，求m的值 练习：

1

、方程x2

3 0的根的情况是（ ）

A有两个不等的有理实根 B有两个相等的有理实根 C有两个不等的无理实根 D有两个相等的无理实根 2、已知x2

1,x2是方程2x 3x 4 0的两个根，则（ ） A x331 x2 2 ，x1x2 2 B x1 x2 2 ，x1x2 2 C x1 x32

2

，x1x2 2 D x31 x2

2

，x1x2 2

3

、已知方程x2 2 0，则此方程（ ）

A 无实数根 B

两根之和为 C两根之积为2

D

有一根为2

一元二次方程根的判别式、 根与系数的关系练习题

1、方程kx2?3x?2?0有两个相等的实数根，则

k 。

2、若关于x的方程kx2?4x?3?0有实数根，则k的非负整数值是 。

3、关于x的方程mx2?2?3m?1?x?9m?1?0有

两个实数根，则m的范围是 。

4、已知k>0且方程3kx2?12x?k??1有两个相等的实数根，则k= 。

5、当 k

不小于?14时，方程

?k?2?x2??2k?1?x?k?0根的情况是 。

6

、

如

果

关

于

x

的

方

程

?m?2?x2?2?m?1?x?m?0只有一个实数根，那么

方程mx2??m?2?x??4?m??0的根的情况

是 。

7、如果关于x的方程mx2?2?m?2?x?m?5?0没有实数根，那么关于x的方程?m?5?x2?2?m?2?x?m?0的

实

根

个

数

是 。

8、如果方程2x2?mx?4?0的两根为x1,x2，且

1x?1?2，求实数 m的值。 1x2

9、已知方程x2??2k?1?x?k2?2?0的两实根

的平方和等于11，求k的值。

10、m取什么值时，方程?m?2?x2?2x?1?0有

一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系

【知识点1】一元二次方程的根的判别式

概念：一元二次方程ax2＋bx＋c=0 (a≠0)的根的判别式为2=b2－4ac 一元二次方程ax＋bx＋c=0 (a≠0)的根的情况是：

①当△＞0时，有两个不相等的实数根。 ②当△=0时，有两个相等的实数根。 ③当△＜0时，没有实数根 注：当△≧0时，方程有实数根。

【例1】已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（ ） A． 没有实数根

B．可能有且只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根

有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）

C.＜

D.

且

2

2

C．有两个相等的实数根

【例2】如果关于x的一元二次方程A.＞

B ＞

且

【例3】已知关于的一元二次方程

2

有两个不相同的实数根，则的取值范围是

【例4】.已知关于x的二次方程(1 2k)x 2kx 1 0有实数根，则k的取值范围是。 【例5】已知a，b是关于x的方程x (2k 1)x k(k 1) 0的两个实数根，则a b的最小值是【例6】关于x的一元二次方程(a b)x2 bx

2

22

a c

0有两个相等的实数根,那么以a、b、c为三边的三角形是

从教20多年的数学高级教师的精编

根的判别式

【例1】当m取什么值时，关于x的方程x2 2(2m 1)x (2m 2)2 0。

（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。

答案：（1）m

34

；（2）m

34

；（3）m

34

【例2】求证：无论m取何值，方程9x2 (m 7)x m 3 0都有两个不相等的实根。 分析：列出△的代数式，证其恒大于零。解略。

【例3】当m为什么值时，关于x的方程(m2 4)x2 2(m 1)x 1 0有实根。

分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分m2 4＝0和m2 4≠0两种情形讨论。

略解：当m2 4＝0即m 2时，2(m 1)≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当m2 4≠0即m 2时，方程有根的条件是：

△＝ 2(m 1) 4(m2 4) 8m 20≥0，解得m≥

2

52

52

∴当m≥ 一、填空题：

52

且m 2时，方程有实根。综上所述：当m≥

习题（一）

时，方程有实根。

1、下列方程①x2 1 0；②x2 x 0；③x2 x 1 0；④x2 x 0中，无实根的方程是 2、已知关于x的方程x2 mx 2 0有两个相等的实数根，那么m的值是

初三第一轮复习课之《一元二次方程根的判别式及根与系数关系》

执教：阳光学校 吴春丽

一、 教学目标

1、 通过复习，学生重新认知知识的由来，熟练掌握一元二次方程根的判别式、

根与系数的关系。

2、 学生能灵活运用知识，解答基本基础题，及一些简单综合题。

3、 培养学生数学的严谨性及阅读审题能力，进一步提高学生的解题能力及思维

的严密性。

二、 教学重点与难点

重点：认清知识的本质，灵活运用这两个知识。

难点：认真审题，分析题意，正确选择解决问题的途径。

三、 教学方法：启发、讨论

四、 教学过程

（一） 课前基础训练

1、不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况:

222（1）x＋3x+3=0; （2）x-4x-3=0; （3）4x-4x+1=0

2、不解方程，请说出下列一元二次方程的两根的和与两根的积:

22（1）x-4x-3=0; （2）4x-4x+1=0；

通过很简单的基本训练，教师对学生今天所要复习的内容的认知情况做一个了解。

（二）课本回顾，知识重现

提问1：同学们能否告知老师刚才在做练习时，你用了什么数学知识吗？（生答） 提问2：有没有同学能够告诉大家，这两个知识又是如何研究得到的呢？ 揭示课题

重现根的判别式以及根与系数关系的由来（课本内容）

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