探索勾股定理的教学设计

篇一：1.1探索勾股定理

1.1探索勾股定理 （1）

一．学习目标：

1.体验勾股定理的探索过程，由特例猜想勾股定理，再由特例验证勾股定理．

2.会利用勾股定理解释生活中的简单现象．

3.学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展推理能力，体

会数形结合思想；发展归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力．

二．学习重难点：探索和验证勾股定理；在方格纸上通过计算面积的方法探索勾

股定理．

三．自主学习：

（1）分别作出两直角边为3cm ，4cm和6cm ，8cm和5cm ，12cm的直角三角

形，测量它们的第三条边，看看三边长的平方之间有什么样的关系？与同伴交流。

（2）如图1，直角三角形三边的平方分别是多少，他们满足上面猜想的数量

关系吗？你是如何计算的？与同伴交流。

图1图2

（3）对于图2中的直角三角形，是否还满足这样的关系？你又是

如何计算的？

（4）如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上

面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由。

（5）你能得到什么结论？请用数学符号将它表示出来。

四．能力生成：

1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b.

(1)已知a=8,b=15,求c；

3（2）已知b=,c=1,求a； 5

2.7探索勾股定理(一)

勾

股

你听说过：“勾广三，股 修四，弦隅五”的说法吗？

在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分 称为“勾”,下半部分称为“股”。我国古代学者把直 角三角形较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为 “股”,斜边称为“弦”.据《周髀算经》记载，西周 开国时期(约公元前1000多年)有个叫商高的人对周公 说，把一根直尺折成直角，两端连接得一直角三角形。 如果钩是3,股是4,那么弦是5,这就是商高发现的 “勾股定理”。因此在中国，勾股定理又称“商高定 理”,在西方国家，勾股定理又称“毕达哥定理”。但 毕达哥发现这一定理的时间要比商高迟得多，可见我国 古代人民对人类贡献的杰出。

(1)观察图1-1 CA 正方形B的面积是 B图1-1

正方形A的面积是 4 个单位面积。

9 个单位面积。正方形C的面积是

13 个单位面积。(图中每个小方格代表一个单位面积)

你是怎样得到正方形c 的面积。

A

C

(2)在图1-2中，正方形 A,B,C中.它们的面积各 是多少？(3)你能发现图1-1中三 个正方形A,B,C的面积 之间有什么关系吗？图12中呢？

B图1-2

CA

B图1-1

SA+SB=SC

即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积

A

a

1.1探索勾股定理

教材

义务教育课程标准实验教科书（北师大版）八年级数学上册第一章第1节P2~ P6。

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。教学目标

1、知识与技能目标：掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示。学生在经历用数格子与割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。

2、能力目标：通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应用技能。

3、情感目标：通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学，爱数学，做数学的情感。使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣。 教学重点、难点

重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。

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难点：计算以斜边为边长的大正方形C面积及割补思想的理解与应用。 教学方法

勾股定理的证明： 勾股定理的证明：

c

ab

1 (a + b) = c + 4 × ab 22 2

S梯形

1 1 2 1 = (a + b)(a + b) c + 2 × ab = 2 2 2

伽菲尔德——美 伽菲尔德——美国 —— 第 20 任总统

应用3 应用3 x x 6 10 8-x 4 x 8-x 5 8-x 5

将直角边BC沿直线 将直角边BC沿直线BD 沿直线BD ED折叠 使它A,B重 折叠, 沿ED折叠,使它A,B重 折叠,使它落在斜边AB上 折叠,使它落在斜边AB上，合,求CD的长。 CD的长 的长。 且与BE重合 CD的长 重合, 的长。 且与BE重合,求CD的长。 应用4 应用4:将直角三角形的直角边都扩大到原来 则斜边扩大到原来的几倍？ 的5倍，则斜边扩大到原来的几倍？

勾股定理： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 两直角边的平方和等于斜边的平方。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理( 2.6 勾股定理(2)勾股定理逆定理： 勾股定理逆定理： 两边的平方和等于第三边的平方, 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是

八年级上 数学 第一章 勾股定理 编号002

课题 1.1（2）探索勾股定理 课型 周次 主备人 张娟 审核人 王贤成 课时 1 上课时间 授课老师 新授课 第1周 学习小组 组内编号 姓名 组内评价 教师评价 【课标要求】运用勾股定理解决简单实际问题

【学习目标】1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.

2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.

3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识. 【重点】用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题 【难点】勾股定理的验证

【学习方法】主动探究，小组合作 【教学过程】 （一）课前预习

仔细阅读课本的P5 图1—5图1—6并回答：

1、 将所有三角形和正方形的面积用a.b.c的关系式表示出来；

八年级上 数学 第一章 勾股定理 编号002

课题 1.1（2）探索勾股定理 课型 周次 主备人 张娟 审核人 王贤成 课时 1 上课时间 授课老师 新授课 第1周 学习小组 组内编号 姓名 组内评价 教师评价 【课标要求】运用勾股定理解决简单实际问题

【学习目标】1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.

2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.

3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识. 【重点】用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题 【难点】勾股定理的验证

【学习方法】主动探究，小组合作 【教学过程】 （一）课前预习

仔细阅读课本的P5 图1—5图1—6并回答：

1、 将所有三角形和正方形的面积用a.b.c的关系式表示出来；

《勾股定理》教学案

《勾股定理》 教学案

《勾股定理》教学案

引 入

被誉为数学界的“奥运会” 。这是本届大会会徽的图案。 (1)你见过这个图案吗？它有什么意义？为什么选它 作这次大会的会徽？ (2)你听说过“勾股定理”吗？ 要想了解勾股定理，那么我们今天一起来学习新的内 容——引出课题《勾股定理》 。 看一看： (多媒体投影)P44 图 2.1 小方格的面积看作 1, (1)观 察图 1-1 正方形 A 中含有 个单位面积； 正方形 B 中含有 个单位面积； 正方形 C 中含有 个单位面积。 正方形 A,B,C 的面积之间有什么关系吗？ 个小方格，即 C 的面积是 个小方格，即 B 的面积是 个小方格，即 A 的面积是

称为“赵爽弦图” 。这样从现实 生活中提出“赵爽弦图” ,引起 学生的好奇心和求知欲望，使 学生积极主动地投入到探索学 习中去。同时为下面勾股定理 的证明提供材料。并且，自然 地引出了课题。

从等腰直角三角形出发，更符 合学生的认知规律，体现了从 特殊到一般的规律。

探 索 研 究

教师：你能用一个什么样的式子来表示。 学生：SA+SB=SC

做一做 观察图：1.3、1.4,并填写下表： (多媒体投影) A 的面积 B 的面积 C 的面积 这

探索勾股定理

填空题

31．（2009?滕州市一模）若直角三角形ABC有两边长分别为5cm，12cm，则第三边长为 cm．

32．（2007?徐汇区二模）如图，有两个全等的直角三角形，它们的边长分别为3和4，把这两个直角三角形拼成一个三角形或一个四边形，在这些图形中，周长最小值是 ．

33．（2009秋?鼓楼区期中）图中字母A所在的正方形的面积是 ．

(33) (34)

34．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1=30，S2=40，则S3= ．

35．（2007秋?泗水县期中）课堂上，老师给同学们出了一道题：“有一直角三角形的两边长分别为6cm和8cm，你们知道第三边的长度吗”刘飞立刻回答；“第三边是10cm．”你认为第三边应该是 cm．

36．两边长分别为3和5的直角三角形的第三边长为 ．

37．若一个直角三角形两边长为12和5，第三边为x，则x= ．

2

38．（2007秋?招远市期末）在△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12cm，则BC= ．

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第1章《勾股定理》易错题集（02）：1.1 探索勾

利用勾股定理解决折叠问题的教学设计

一、 内容和内容解析 1、内容

利用勾股定理求解折叠问题中的线段长度 2、内容解析

勾股定理是第十七章的内容，它指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用。勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角形、解析几何、微积分中都是理论基础，没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦。因此，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一。

课程标准（2011年版）指出，要想培养学生的空间观念，关键是要让学生会描述图形的运动和变化。图形的运动有平移、旋转、折叠等。其中图形的翻折问题是指将某一几何图形沿着某直线对折后得到新的几何图形，然后求解新图形中几何元素之问的数量关系的问题.由于折叠问题题型多样，变化灵活，在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质、考查学生的空问想象能力和动手操作能力，所以是近几年中考试题的热点题型。这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都突出了比以往更高的要求。折叠问题的实质是图形的轴对称变换，在初中数学中，折叠问题主要是求几何图形中的角度;求图形中线段的

“勾股定理逆定理”课堂教学心得

在从教的十二年教学工作，我发现勾股定理的逆定理的讲解十分抽象，但在今年的教学中我采用一种新的教学方法，效果十分明显，现在我将往年的传统教学方法，与现在教学方式对比如下。 传统教学过程设计

一、 课堂引入 [活动1]实践

1．把准备好的一根打了13个等距离结的绳子，按3个结、4个结、5个结的长度为边摆放成一个三角形，请观察并说出此三角形的形状？

2．分别以2.5cm、6cm、6.5cm和4cm、7.5cm、8.5cm为三边画出两个三角形，请观察并说出此三角形的形状？

3．结合三角形三边长度的平方关系，你能猜一猜三角形的三边长度与三角形的形状之间有怎样的关系吗？

[在活动1中教师应重点关注：

（1）学生在活动中的参与意识和动手能力；

（2）是否清楚三角形的三边长度的平方关系是因，直角三角形是果，即先有数，后有形．

（3）数形结合的数学思想方法及归纳能力．]

[活动2] 问题

1．三边长度分别为3 cm、4 cm、5 cm的三角形与以3cm、4cm为直角边的直角三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？

2．你能证明以2.5cm、6cm、6.5cm为三边长的三角形是直角三角形吗？