微分学第二章导数与微分答案

第二章 导数与微分

重点：导数与微分的概念、关系、导数的几何意义、函数的可导性与连续性之间的关系、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则、基本初等函数的导数公式。

难点：隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数、对数求导法、一阶微分形式的不变性。

第一节 导数概念

1．填空题.

2??x, x?0（1） 已知f?x???，则 f?(0)= 0 .

2???x, x?01及x2?3的两点，作过这两点的割线，则抛物（2） 在抛物线y?x2上取横坐标为x1?`线y?x2上在点 (2, 4) 处的切线平行于这条割线.

（3） 已知f'(3)?2，则limh?0f?3??f?3?h?? 1 . 2h?x2, x?1b? -1 . （4）欲使函数使f?x??? 在x?1处可导，则 a? 2 ，?ax?b, x?12．选择题. （1）设y?f(x)在x?a处可导，则

x?0 lim'f?a?x??f?a?x??（ B ）

x''A. f(a)； B. 2f(a) ； C. 0 ； D. f(2a). （2）设 f(x)为可导

第二章 导数与微分

重点：导数与微分的概念、关系、导数的几何意义、函数的可导性与连续性之间的关系、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则、基本初等函数的导数公式。

难点：隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数、对数求导法、一阶微分形式的不变性。

第一节 导数概念

1．填空题.

2??x, x?0（1） 已知f?x???，则 f?(0)= 0 .

2???x, x?01及x2?3的两点，作过这两点的割线，则抛物（2） 在抛物线y?x2上取横坐标为x1?`线y?x2上在点 (2, 4) 处的切线平行于这条割线.

（3） 已知f'(3)?2，则limh?0f?3??f?3?h?? 1 . 2h?x2, x?1b? -1 . （4）欲使函数使f?x??? 在x?1处可导，则 a? 2 ，?ax?b, x?12．选择题. （1）设y?f(x)在x?a处可导，则

x?0 lim'f?a?x??f?a?x??（ B ）

x''A. f(a)； B. 2f(a) ； C. 0 ； D. f(2a). （2）设 f(x)为可导

第二章 导数与微分总结

一、导数与微分概念 1．导数的定义

设函数y?f?x?在点x0的某领域内有定义，自变量x在x0处有增量?x，相应地函数增量?y?f?x0??x??f?x0?。如果极限 limf?x0??x??f?x0??y ?lim?x?0?x?x?0?x，

存在，则称此极限值为函数f?x?在x0处的导数（也称微商），记作f??x0?，或y?x?x0dydf?x?，等，并称函数y?f?x?在点x0处可导。如果上面的极限不存在，

dxx?x0dxx?x0则称函数y?f?x?在点x0处不可导。

导数定义的另一等价形式，令x?x0??x，?x?x?x0，则

f??x0??limx?x0f?x??f?x0?

x?x0f?x??f?x0?f?x0??x??f?x0??lim? ?x?0x?x0?xf?x??f?x0?f?x0??x??f?x0??lim? ?x?0x?x0?x 我们也引进单侧导数概念。 右导数：f???x0??lim?x?x0 左导数：f???x0??lim?x?x0 则有

f?x?在点x0处可导?f?x?在点x0

第一节 导数概念

1、填空题

2

（1）f (0) （2）4x 12x 9 （3）16 （4）y 2x 1 （5）e

2、选择题

（1）C （2）B （3）D （4）D （5）B 3、a 2,b 1

4、y f (x) nxn 1，k f'(1) n，切线方程为y 1 n(x 1) 由于切线过点( n,0)，故0 1 n( n 1)，解之得 n 1

limf( n) lim(1

n

1n

，从而f( n) (1

1n

)，即

n

1n

n

) 1x1x

n

1e

1x

5、x 0，f (x) 2xsin

x 0，f (x) 2xcos

cos

2

1x (

1x

) 2xcos2

1x sin

1x

xsin

x 0，按左右导数来求

f(x) f(0)

x 0f(x) f(0)

x

xsin lim

x 0

22

1 0 1 0

f (0) lim

x 0

xxcos

f (0) lim

x 0

lim

x 0

x

11

2xsin cos,x 0 xx

x 0所以f(x) 0

11

2xcos sin,x 0

xx

6、f (0) lim

f( x) f(0)

x

1

( x)sin

lim

x 0

1

x 0

x

lim( x)

x

第一节 导数概念

1、填空题

2

（1）f (0) （2）4x 12x 9 （3）16 （4）y 2x 1 （5）e

2、选择题

（1）C （2）B （3）D （4）D （5）B 3、a 2,b 1

4、y f (x) nxn 1，k f'(1) n，切线方程为y 1 n(x 1) 由于切线过点( n,0)，故0 1 n( n 1)，解之得 n 1

limf( n) lim(1

n

1n

，从而f( n) (1

1n

)，即

n

1n

n

) 1x1x

n

1e

1x

5、x 0，f (x) 2xsin

x 0，f (x) 2xcos

cos

2

1x (

1x

) 2xcos2

1x sin

1x

xsin

x 0，按左右导数来求

f(x) f(0)

x 0f(x) f(0)

x

xsin lim

x 0

22

1 0 1 0

f (0) lim

x 0

xxcos

f (0) lim

x 0

lim

x 0

x

11

2xsin cos,x 0 xx

x 0所以f(x) 0

11

2xcos sin,x 0

xx

6、f (0) lim

f( x) f(0)

x

1

( x)sin

lim

x 0

1

x 0

x

lim( x)

x

第二章 导数与微分

内容概要 名称 主要内容 导数的定义f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0) ?x?0?xf(x0?h)?f(x0)f?(x0)?lim h?0h 函数的求导法则f?(x0)?limx?x0f(x)?f(x0) x?x0(1) 导数的四则运算法则 i.[u(x)?v(x)]??u?(x)?v?(x) ??ii.[u(x)?v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x) iii.[u(x)u?(x)v(x)?u(x)v?(x)]??(v(x)?0) 2v(x)v(x) (2) 复合函数的求导法则(链式法则) dydydu?? dxdudx(1)求隐函数的导数时,只需将确定隐函数的方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y隐函数的导数 的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dy dx(2)对数求导法:对幂指函数y?u(x)v(x),可以先在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x求导,最后解出所求导数 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,即 反函数的导数 f?(x)?1,其中x??(y)为y?f(x)的反函数 ??(y) (1) 直接法:利用基本求导公式及导数的运算

第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念

1．导数：

y?f(x)在x0?y?x?lim的某个邻域内有定义，

?x?0limf(x0??x)?f(x0)?x

?x?0

?limf(x)?f(x0)x?x0

x?x0y?x?x0?f?(x0)?dydxx?x0

2．左导数：

f??(x0)?lim?x?x0f(x)?f(x0)x?x0

右导数：

定理：

f??(x0)?lim?x?x0f(x)?f(x0)x?x0

f(x)在x0的左（或右）邻域上连续在

其内可导，且极限存在；

则：

f??(x0)?lim?f?(x)x?x0

（或：

f??(x0)?lim?f?(x)x?x0）

3.函数可导的必要条件：

定理：

f(x)在x0处可导?f(x)在x0处连续

4. 函数可导的充要条件：

定理：

y?x?x0?f?(x0)存在

?f??(x0)?f??(x0)，

且存在。

5.导函数：

y??f?(x), x?(a,b)

f(x)在(a,b)内处处可导。 y f?(x0)

微分几何主要习题解答

第二章 曲面论

§1曲面的概念

1.求正螺面r={ ucosv ,u sinv, bv }的坐标曲线.

解 u-曲线为r={ucosv0 ,u sinv0,bv0 }=｛0,0，bv0｝＋u {cosv0,sinv0,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r={u0cosv,u0sinv,bv }为圆柱螺线．

２．证明双曲抛物面r＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r={ a（u+v0）, b（u-v0）,2uv0}={ av0, bv0,0}+ u{a,b,2v0}表示过点{ av0, bv0,0}以{a,b,2v0}为方向向量的直线;

v-曲线为r=｛a（u0+v）, b（u0-v）,2u0v｝=｛au0, bu0,0｝+v{a,-b,2u0}表示过点(au0, bu0,0)以{a,-b,2u0}为方向向量的直线。

3．求球面r={acos?sin?,acos?sin?,asin?}上任意点的切平面和法线方程。 解 r?={?asin?cos?,?asin?sin?,acos?} ，r?={?acos?sin?,acos?cos?,0}

?????????x?acos?

第二部分 一元函数微分学

一、导数与微分

? 内容要点

一、导数与微分概念 二、导数与微分计算

? 典型例题

一、用导数定义求导数

例1 设f(x)?(x?a)g(x)，其中g(x)在x?a处连续，求f?(a) 解：f?(a)?limf(x)?f(a)x?a?lim(x?a)g(x)?0x?ax?0x?ax?a?g(a)

?1，求f(0),f?(0),f??(0)的值

? 例2 设f(x)在x=0处二阶可导，且lim（2005）

f(x)1?cosx二、分段函数在分段点处的可导性

例1 设函数

?x2,x?1f(x)??

ax?b,x?1?试确定a、b的值，使f(x)在点x?1处可导。

xe2n(x?1)例2 设f(x)?lim?ax?b?1n??en(x?1)，问a和b为何值时，f(x)可导，且求f?(x)

解：∵x?1时，limen??n(x?1)???， ?0

x?1时，limen??n(x?1)?x2,x?1，??a?b?1,x?1， ∴ f(x)??2?ax?b,x?1，??1

由x?1处连续性，limf(x)?limx?1，f(1)?x?1?2a?b?12x?1??1，可知a?b?1

再由x?1处可导性， f??(1)?

第二部分 一元函数微分学

一、导数与微分

? 内容要点

一、导数与微分概念 二、导数与微分计算

? 典型例题

一、用导数定义求导数

例1 设f(x)?(x?a)g(x)，其中g(x)在x?a处连续，求f?(a) 解：f?(a)?limf(x)?f(a)x?a?lim(x?a)g(x)?0x?ax?0x?ax?a?g(a)

?1，求f(0),f?(0),f??(0)的值

? 例2 设f(x)在x=0处二阶可导，且lim（2005）

f(x)1?cosx二、分段函数在分段点处的可导性

例1 设函数

?x2,x?1f(x)??

ax?b,x?1?试确定a、b的值，使f(x)在点x?1处可导。

xe2n(x?1)例2 设f(x)?lim?ax?b?1n??en(x?1)，问a和b为何值时，f(x)可导，且求f?(x)

解：∵x?1时，limen??n(x?1)???， ?0

x?1时，limen??n(x?1)?x2,x?1，??a?b?1,x?1， ∴ f(x)??2?ax?b,x?1，??1

由x?1处连续性，limf(x)?limx?1，f(1)?x?1?2a?b?12x?1??1，可知a?b?1

再由x?1处可导性， f??(1)?