九章算术中的二元一次方程组类型的题目有哪些

《九章算术》中的二元一次方程组

大自然充满了未知领域，是人类的智慧架起了一座座从已知通向未知的桥梁，构筑了灿烂的科学文化。线性方程组及其求解，无疑就是这些桥梁中最美丽的几座。代数学发展的一条主要方向就是方程理论。大约在3600年前，自埃及祭司阿莫斯用象形文字在纸草书上写下史上第一个一元一次方程后，相关理论研究逐渐向两个方向延伸：增高未知数的次数，衍生出一元高次方程理论；增加未知项的个数，创造了线性方程组理论。值得骄傲的是，早在《九章算术》成书时代，中国古人已对较为复杂的线性方程组问题展开了研究。而西方直至17世纪相关研究尚处于初级阶段。

1. 中国古代的线性方程组

今天教科书中“方程”术语源于英文Equation之翻译(清代数学家李善兰首译)，然而中国古代数学中的“方程”并非现代“含有未知数的等式”之涵义。成书早于《九章算术》的江陵张家山竹简《算数书》记载，“方程”是由“程禾”算法发展而来。“程禾”就是考核粮食作物的产量。在《九章算术》的方程章，其前六题皆是测算粮食产量问题，可见一斑。如第1题：

今有上禾(上等稻)三秉(捆)，中禾二秉，下禾一秉，实(谷子) 三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾

一秉，中禾二秉，下禾三

二元一次方程组及其应用

◆【课前热身】

1．若2xm+n－1－3ym－n－3+5=0是关于x，y的二元一次方程，则m=_____，n=_____． 2．在式子3m+5n－k中，当m=－2，n=1时，它的值为1；当m=2，n=－3时，它的值是_____．

[来源:学§科§网]

3．若方程组??ax?y?0?x?1的解是?，则a+b=_______．

?2x?by?6?y??2?2x?3?5t，则x和y之间应满足的关系式是_______．

3y?2t?x?4．已知x，y，t满足方程组??2x?y?b?x?15．若方程组?的解是?，那么│a－b│=_____．

x?by?ay?0??【参考答案】 1．3；－1 2．－7 3．8 4.15y－x=6 5．1

◆【考点聚焦】

了解二元一次方程组及其解法，并灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组.

重点：掌握消元思想，熟练地解二元一次方程组.会用二元一次方程组解决一些简单的实际问题.

难点：是图象法解二元一次方程组，数形结合思想. ◆【备考兵法】 思想方法：

①消元思想--加减和代入两种消元方法

②数学建模思想--列二元一次方程组解决实际问题的方法 ③数形结合思想--图象法解二元一次方

1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A．-2a=3a+1 B．

11-x=+2 C．m-n=3a D．2x-1=y

y32．下列各对数值，是二元一次方程-x-2y=5的解是（ ）

?x?1,?x?1,?x??1,?x??1, A．? B．? C．? D．?

y?2,y??3y?2,y??3????3．根据题意列出方程． （1）x的2倍与y的

1的差是5； （2）长方形的长是5 cm，宽是2b cm，周长为a cm． 4（1） （2） 4．已知方程

11x-y=7，用含x的代数式表示y． 351，则y=________． 35．写出方程2x-5y=20的两个解：__________．

6．对方程x + y=5，若x=3，则y=______；若x=7，则y=________；若x=9

?x?1,?7．已知?3是关于x、y的方程-3x+4y=2a的一个解，则a=________．

y????48．方程x+3y=6中，x，y互为相反

1、方程组

2、已知|m﹣1|x+y3、已知方程组

|m|

2n﹣1

的解满足x+y=0，则m= ． =3是二元一次方程，则m+n= ．

，则2002（x+y+z）= ．

4、关于x，y的方程组的解是，则|m+n|的值是 ．

5、已知方程组的解满足x+y=6，则k的值为 ．

6、若4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0（xyz≠0），则的值等于 ．

7、已知x=2a+4，y=2a+3，如果用x表示y，则y= ．

8、某公园“6?1”期间举行特优读书游园活动，成人票和儿童票均有较大折扣．张凯、李利都随他们的家人参加了本次活动．王斌也想去，就去打听张凯、李利买门票花了多少钱．张凯说他家去了3个大人和4个小孩，共花了38元钱；李利说他家去了4个大人和2个小孩，共花了44元钱，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮他计算一下，需准备多少钱买门票．

9、某服装店到厂家选购甲、乙两型服装，如购进甲型服装9件、乙型服装10件，需要1810元；购进甲型服装12件，乙型服装8件，需要1880元，求两型服装每件的价格．

10、一种商品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，售价510元；2

《二元一次方程（组）》说课稿

涪陵第十六中学： 湛小刚

尊敬的各位专家评委、老师们：大家好

今天我说课的题目是人教版数学七年级下册第八章第1节《二元一次方程组》。下面，我将从教材分析、教学方法、学习方法、教学过程、教学评价、教学反思等几方面对本节内容进行说课。 一． 教材分析

《二元一次方程组》是人教版《数学》七年级(下)第八章第一节的内容.本节内容的核心是对二元一次方程组及其相关概念的理解．从教材的编排来看,本节内容起着一个承上启下的作用,它是继一元一次方程之后出现的，为后面学习二元一次方程组的解法打下了基础。 在强调培养学生的创新能力，思维方式上强调独立、探索的今天,本节内容的作用无疑是很重要的. （一）、教学目标 1、认知目标：

（1）掌握二元一次方程及二元一次方程组的概念,理解它们解的含义 （2）理解二元一次方程（组）解的特殊性 2、能力目标：

（1）会验证一对数是否为某个二元一次方程组的解 （2）能用类比思想迁移知识, 通过自主对知识进行归纳总结,培养其动手动脑能力

3、情感目标：

（1）在探索中品尝成功的喜悦,树立学好数学的信心。

（2）通过引入生动古老的数学名题,增强学生的民族自豪感,激发学生热爱祖国，爱好数学的热情. （二）

第一课 7.1二元一次方程组和它的解

一、情境导入：

问题：暑假里，《新闻晚报》组织了“我们的世界杯”足球邀请赛。勇士队在第一轮比赛中共赛9场，得17分。比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场?又平了几场呢? 请列一元一次方程解决这个问题

解：设这个队胜了x 场，根据题意得：

思考；易知，在这个问题中有二个未知数，能不能分别设为x 和y 呢？这时又得到怎样的方程？

二、知识导学：

1、二元一次方程和二元一次方程组的概念。

提问：由上面问题得到的两个方程有什么共同的特点？（和一元一次方程的概念比较）

概括：

二元一次方程的概念：方程中含有（ ）未知数，并且含有未知数项的次数都是（ ），像这样的（ ）叫做二元一次方程。把这两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

如：???=+=+17

37y x y x

2、二元一次方程组的解。

由导入可知，不管用什么方法，都可求得勇士队胜5场，平2场。即x=5,y=2。这里的x=5与y=2既满足第一个方程x+y=7，又满足第二个方程3x+y=17，我们就说，x=5与y=2是二元一次方程组???=+=+1737y x y x 的

教学内容

教学目标

重 点

难

点

课题：二元一次方程（组）的概念及二元一次方程组的解法复习

1. 知道二元一次方程（组）有关概念 .

2. 掌握解二元一次方程的方法，会解二元一次方程组 .

3. 通过基本训练 , 巩固第八章现学的基本内容 .

4. 通过典型例题和综合运用 , 加深理解第八章现学的基本内容 , 发展能力 . 1. 掌握解二元一次方程的方法，会解二元一次方程组 . 2. 通过基本训练 , 巩固第八章现学的基本内容 .

典型例题和综合运用 .

一、基本训练，掌握双基

1. 填空：

(1) 含有 _____个未知数，并且含有未知数的项的次数都是

_____，像这样的方程叫做二元一次方程.

(2) 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个

_________.

(3) 既满足第一个二元一次方程 , 又满足第二个二元一次方程的两个未知数的值

, 叫做 ___________________. (4) 二元一次方程组中有两个未知数, 如果消去其中一个未知数 , 那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的 _______________方程，我们可以先求出一个未知数 , 然后再求另一个未知数

. 这种将未知数的个数由多化少、逐

7.2.1二元一次方程组的解法————代入消元法

复习引入：1(1)已知a=1,b=3,则a+2b=_______ (2)已知2x+y=5,x=-2,则y=_______ 2(1)在二元一次方程x+3y=1的解中，当x=2时， 对应的y值是_________ (2)在方程2x+y=4中，用含x的式子表示y,则 y=______ ,用含y的式子表示x,则x=________

新知探究：尝试解方程组 y=2x-3 4x-3y=1

解方程组的基 本思想是什么？ 通过怎样达到 的？

归纳用代入消元法解方程的步骤：

(1)在方程组中选一个系数比较简单的方程，将 其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示 出来； (2)将变形后的代数式代入另一个方程，消去一 个未知数，得到一个一元一次方程； (3)解这个一元一次方程，求得一个 未知数的 值 (4)将求得的未知数的值代入前面得得到的关系 中，即可求解出另一个未知数的值，并把求得 的两个数的值用符号{连接起来

例1.解方程组 3x-2y=4 (1) (2) x+3y=5

2x+5y=12 x+2y=6

x-y=1 (3) 2x+y=5

(4)

x+y=17 3x+y=17

(5)

x=3y+2 x+3y=8 (6)

4x-3y=17

考点名称：二元一次方程组的定义

?

（一）二元一次方程组：

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

把两个含有相同未知数的一次方程联合在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。

二元一次方程组的解：一般的，二元一次方程组的两个二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

一般形式为：

? ?

（其中a1，a2，b1，b2不同时为零）.

（二）二元一次方程组的特点：

1.组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含

有两个未知数，如也是二元一次方程组。

2.在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程合在一起。 3.二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。 4.二元一次方程组有时也由两个以上的方程组成。

? ?

（三）二元一次方程与二元一次方程组的区别：

?

二元一次方程 二元一次方程组 ①含有两个未知数； ②含未知数的项的次数都是1； ③整式方程组（可任意话说你有两个以上的方程） ①含有两个未知数； 条件 ②含未知数的项的次数都是1； ③整式方程。 一般形式 ax+by=c(a、b、c都是常数，且a≠0，b≠0) （a1，a2，b1，b

第9讲 二元一次方程组的实际应用和三元一次方程组的解法

知识点1．三元一次方程组

（1）定义：含有三个未知数，每个未知数的次数都是1，像这样的方程组就叫三元一次方程组。

?x=1?xy+z=1??例如：?y+z=-1是三元一次方程组，而?y+z=2不是。

?x+y=2?x+y+z=-3??

知识点2.三元一次方程组的解法思路

解简单的三元一次方程组的基本思想是“消元”，基本方法是代入法和加减法，通过消元，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化成一元一次方程，“消元”的关键是选准先消去的未知数。一般原则是：

（1）消去系数最简单的未知数； （2）消去某个方程中缺少的未知数；

（3）消去系数成整数倍数关系的未知数。在“消元”过程中，必须保持每个方程至少用一次。

知识点3.三元一次方程组的解法及步骤

（1）利用代入法或加减法，把方程组里的一个方程分别与另两个方程组成两组，消去

两组中的同一个未知数，得到另外两个未知数的一个二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值： （3）求出另一个未知数的值：

?x=a?（4）写出?y=b的形式

?z=c?

知识点4.列方程（组）解应用题的一般步骤 1、审题： 2、