单摆非线性动力学应用

单摆的非线性动力学分析

张 亚 兵

（兰州交通大学 车辆工程专业，甘肃 兰州，730070）

摘 要: 研究单摆的运动，从是否有无阻尼和驱动力方面来分析它们对单摆运动的影响。对于小角度单摆的运动，从单摆的动力学方程入手，借助李雅普诺夫一次近似理论，推导出单摆的运动稳定性情况。再借助绘图工具matlab，对小角度和大角度单摆的运动进行仿真，通过改变参数，如阻尼大小、驱动力大小等绘出单摆运动的不同相图，对相图进行分析比较，从验证单摆运动的稳定性情况。 关键词: 单摆；振动； 阻尼； 驱动力

Abstract: The vibration of simple pendulum is studied by analyzing whether or not damp and drive force its influence of the simple pendulum. For small angle pendulum motion, pendulum dynamic equation from the start, with an approximate Lyapunov theory of stability of motion is deri

七、动态分叉1．平衡点的失稳

—40— （

2

对于单参数n 维自治系统),(p u f u

= ，设平衡点为0=u ，将其表示为 ),()(),(p u g u p A p u f u +== （1） 其中0)0(0)0()()()(>ω=β=αβ±α=λ，，p j p p ，其余2-n 个特征值具有负实部，并且已将其化到二维中心流形上，下面求中心流形上的PB 范式。为此，引入线性变换将方程（1）化为

???+α+β=+β-α=),,()()(),,()()(22121211p v v g u p u p u p v v g u p u p u （2）

令21ju u v +=则有

),,()(p v v h v p v +λ= （3） 取近恒等的非线性变换),(v v q v v +=简化二次项。

)]3()([)1(21O h q v v q

v +++λ??+=-

（4） 注意到)3(2

O h v v ++λ= ，以及对于足够小的位移)2(1)1(1O v q

v q

+??-=??+-，则上式成为 )3(2O h q v v q

v v q

v v ++λ+??λ-??λ-λ= （5）

可见，若0)(2=+??λ+??λ

-λh v v q v v q

非线性动力学

随着科学技术的发展，非线性问题出现在许多学科之中，传统的线性化方法已不能满足解决非线性问题的要求，非线性动力学也就由此产生。

非线性动力学联系到许多学科，如力学、数学、物理学、化学，甚至某些社会科学等。 非线性动力学的三个主要方面：分叉、混沌和孤立子。事实上，这不是三个孤立的方面。混沌是一种分叉过程，孤立子有时也可以和同宿轨或异宿轨相联系，同宿轨和异宿轨是分叉研究中的两种主要对象。

经过多年的发展，非线性动力学已发展出了许多分支。如分叉、混沌、孤立子和符号动力学等。然而，不同的分支之间又不是完全孤立的。非线性动力学问题的解析解是很难求出的。因此，直接分析非线性动力学问题解的行为(尤其是长时期行为)成为研究非线性动力学问题的一种必然手段。

* 混沌理论是谁提出的？

混沌理论，是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。

美国数学家约克与他的研究生李天岩在1975年的论文“周期3则乱七八糟(Chaos)”中首先引入了“混沌”这个名称。

美国气象学家洛伦茨在2O世纪 6O年代初研究天气预报中大气流动问题时，揭示出混沌现象具有不可预言性和对初始

v1.0 可编辑可修改第一章非线性动力学分析方法（6学时）

一、教学目标

1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念；

2、掌握线性稳定性的分析方法；

3、掌握奇点的分类及判别条件；

4、理解结构稳定性及分支现象；

5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。

二、教学重点

1、线性稳定性的分析方法；

2、奇点的判别。

三、教学难点

线性稳定性的分析方法

四、教学方法

讲授并适当运用课件辅助教学

五、教学建议

学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。

六、教学过程

11

v1.0 可编辑可修改

22

本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。

相空间和稳定性

一、动力系统

在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。

假定一个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。有时，每个状态变量不但是时

间t 的函数而且也是空间位置r 的函数。如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它

们变化的方程组

v1.0 可编辑可修改第一章非线性动力学分析方法（6学时）

一、教学目标

1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念；

2、掌握线性稳定性的分析方法；

3、掌握奇点的分类及判别条件；

4、理解结构稳定性及分支现象；

5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。

二、教学重点

1、线性稳定性的分析方法；

2、奇点的判别。

三、教学难点

线性稳定性的分析方法

四、教学方法

讲授并适当运用课件辅助教学

五、教学建议

学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。

六、教学过程

11

v1.0 可编辑可修改

22

本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。

相空间和稳定性

一、动力系统

在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。

假定一个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。有时，每个状态变量不但是时

间t 的函数而且也是空间位置r 的函数。如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它

们变化的方程组

《结构动力学》读书报告

斜拉桥地震响应分析

摘要：斜拉桥在地震波荷载作用下有极其复杂的振动响应，本文采用ANSYS有限元软件对某斜拉桥在centro波作用下动力响应进行了分析。得出结论：ANSYS有限元软件能为复杂大跨度结构的抗震性能分析提供高效、可靠的计算平台；对于复杂结构或异性结构,谱分析的结果未必偏于安全,这时采用地震波瞬态分析更精确。因此，应用ANSYS有限元软件分析斜拉桥的动力响应有较好的效果，并且centro波可以作为结构动荷载的近似标准波使用。 关键词：斜拉桥；动力分析；centro波；ANSYS有限元

一、概述

对于桥梁而言，地震所带来的破坏，无论从数量上，还是从程度上，都大大超过其他自然灾害的破坏。严重的桥梁灾害不仅直接影响交通，而且经常引发次生灾害，从而加剧地震灾害的严重性。为了减轻地震所造成的损失，既要对桥梁做好抗震加固工作，更需在桥梁设计上采取措施以满足抗震要求。因此，对桥梁的地震响应进行相应的分析是有必要的。

1．地震作用理论

（1）直接动力分析理论

1900年，日本大森房吉教授提出了静力理论。静力理论不考虑建筑物的动力特性。假设结构物为绝对刚性，地震时建筑物的运动与地面运动完全一致，建筑物的最大加速度等于地面运动的

首先是反应速率的输入问题。

先谈谈反应速率的定义。我觉得反应速率应该定义为：单位时间、单位区域内的反应量。比如对于间歇反应器最常用的形式为 ；当反应速率用于连续流动反应器（CSTR、PFR）时，反应速率可以定义为单位体积的流率变化 ，上述两者量纲一致；对于非均相催化反应器（PBR），反应速率通常定义为单位质量催化剂上的流率变化 。而这两种量纲的反应速率形式在Aspen plus中均可以应用。以下以POWERLAW形式的速率方程说明。方程的输入（包括幂指数的输入，逆反应等）我就不说了。下图为kinetic页面：

Reacting phase:是指反应发生的相，可以选择气相、液相、液相1、液相2等； Ratebasis：是指反应速率的定义基准，如单位体积、单位催化剂质量，也就是上我前面说到的两种不同量纲的反应速率所用的基准。

k:应该是zzuwangshilei指的反应速率常数吧，我觉得这个应该是速率常数的指前因子，两者具有相同的量纲，由反应速率的定义和反应级数共同决定。特别注意的是：这个k的单位一定是SI制的，如图：

还要注意其中的物质的量的单位不是mol，而是kmol，这个比较怪，貌似是Aspen的规定；

n:是温度的校正指数； E：活化能，

1.某反应进行时，反应物浓度与时间成线性关系，则此反应的衰期与反应物初始浓度（A）

A.成正比 B.成反比 C.平方成反比 D.无关

解析：反应为零级反应

2.已知二级反应的半衰期 t?＝1/k2c0，则t?应为（B）

A.2/k2c0 B.1/3k2c0 C.3/k2c0 D.4/k2c0

解析：t?=1/k2c0×1/4÷（1-1/4）=1/3k2c0

3.某反应只有一种反应物,其转化率达到75%的时间是转化率达到50%的时间的两倍,反应转化率达到64%的时间转化率达到x %的时间的两倍,则x 为 ( C ) A.32 B.36 C.40 D.60 解析：一级反应的特点： t1/2 : t3/4 : t7/8= 1 : 2 : 3 t = 1/k1ln[1/(1?α)]

t(64%)/t(x %)=2=ln[1/(1?0.64)]/ln[1/(1?x %)] [1/(1?x %)]= 1/0.36 ? 1?x % =0.6 x % = 0.4

4.某反应，其半衰期与起始浓度成反比， 则反应完成87.5%所需时 间

《结构动力学》读书报告

斜拉桥地震响应分析

摘要：斜拉桥在地震波荷载作用下有极其复杂的振动响应，本文采用ANSYS有限元软件对某斜拉桥在centro波作用下动力响应进行了分析。得出结论：ANSYS有限元软件能为复杂大跨度结构的抗震性能分析提供高效、可靠的计算平台；对于复杂结构或异性结构,谱分析的结果未必偏于安全,这时采用地震波瞬态分析更精确。因此，应用ANSYS有限元软件分析斜拉桥的动力响应有较好的效果，并且centro波可以作为结构动荷载的近似标准波使用。 关键词：斜拉桥；动力分析；centro波；ANSYS有限元

一、概述

对于桥梁而言，地震所带来的破坏，无论从数量上，还是从程度上，都大大超过其他自然灾害的破坏。严重的桥梁灾害不仅直接影响交通，而且经常引发次生灾害，从而加剧地震灾害的严重性。为了减轻地震所造成的损失，既要对桥梁做好抗震加固工作，更需在桥梁设计上采取措施以满足抗震要求。因此，对桥梁的地震响应进行相应的分析是有必要的。

1．地震作用理论

（1）直接动力分析理论

1900年，日本大森房吉教授提出了静力理论。静力理论不考虑建筑物的动力特性。假设结构物为绝对刚性，地震时建筑物的运动与地面运动完全一致，建筑物的最大加速度等于地面运动的

化学动力学自测试题 一、是非判断

1. 反应速率常数 kA与反应物的浓度有关 2. 反应级数不可能为负数 3. 一级反应肯定是单分子反应 4. 质量作用定律只适用于基元反应

5. 对二级反应来说，反应物转化同一百分数时，若反应物的起始浓度越低，则所需的时间

越短

6. 催化剂只能加快反应速率，而不能改变化学反应的标准平衡常数

7. 对同一化学反应，活化能一定则反应的起始温度越低，反应的速率常数对温度的变化越

敏感 8. Arrhenius 活化能的定义是Ea?RT2dlnk dTcA,02kA9. 对于基元反应，反应速率常数随温度的升高而增大。 10. 若反应 A → Y，对A为零级，则A的半衰期t1/2=

。

11. 设对行反应正方向是放热的，并假定正、逆反应都是基元反应，则升高温度更有利于增

大正反应的速率系数

12. 鞍点是反应的最低能量途径上的最高点，但它不是势能面上的最高点，也不是势能面上

的最低点

13. 光化学的量子效率不可能大于1。 14. 阿伦尼乌斯方程适用于一切化学反应 二、选择题

1. 反应 ：A+2B→Y，若其速率方程为 ?dcAdc?kAcAcB或 ?B?kBcAcB，则 kA 、kBdtdt的关系是（ ）

A. kA=k