定义域的求法

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定义域的求法

一、 含分式的函数

在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。

x2 1例1 求函数f(x)={ EMBED Equation.3 |的定义域． x 1

二、 含偶次根式的函数

注意（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况.

例1 求函数y＝（a为不等于0的常数）的定义域.

三、 复合型函数

注意 函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.

例1 求函数y＝＋的定义域．

练习

1、求下列函数的定义域。⑴y=

⑵y=

（3）y=

（4）y=

（5）

四、抽象函数

（一）

、已知

其解法是：若

的定义域，求的定义域为

，则

的定义域，

中

，从中解得的取值范围即为 1

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的定义域。

例1. 设函数（1）函数

（2）函数的定义域为，则 的定义域为________。 的定

1.1 函数定义域

通过介绍函数定义域的类型和求法，以全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。

一、常规型

其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或不等式组）即得原函数的定义域。

注：

1、给定函数时要指明函数的定义域。对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合，即能使函数式有意义的自变量x的集合称为函数的定义域。

2、求函数的定义域的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

类型1、含分式的函数

在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：

（1）分式的分母一定不能为0； （2）绝对不能先化简后求函数定义域。 例1、求下列函数的定义域

（1）f(x)

1

x 2

解：要使函数有意义，必须：x 2 0,即x 2. ∴函数f(x)

1

的定义域是： x|x 2 x 2

x2 1

（2）f(x)

x 1

类型2、含偶次根式的函数

（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间

旧知回：顾指数函中自式量变取值的范。围 义定域： (知已数函解析式，若未的加殊说特明，定义域则使解析是式意有义自变量的 的取范值.围)

高中考考察式形高考中考:查数的函定义域 题的目以多择题或填选题的形式空现出有 时也出，在现题大中作其为中一问。以查

对考和根号两个知识点居多数。

自学提纲: 试确 定列下数函的义定域。(-,2∞∪)2,+∞)

( 2 3, 1 ().1 f( ) x x2

2).( f( x) x3 2

1 5(.) f (x) x 1 2 x 1, 2 (2 , )

学引教入 1.强对于调定的函数,给定义域的求候时是求 足满达表的式变自量的取范围值. 2可.取选集合A到集合的法B是g则,合集B 集到C合法则的是,求f[gfx)]( 中其法的可以随则意取选

.复合

数函: 设y= (u)f定义的为域B,u =(xg)的义定为域,A域值B则称为 =f[gyx()]由是=y(fu )和ug(x=)复 而成合的合函数其复定 义为A 域 说明: 1. =yfg[()x]函的自数变量x相当是对x先施于g以法则施在以 f法 则所定义域以是.A 中y其=(u

求复合函数相关定义域

一、已知f(x)的定义域，求复合函数f[g x ]的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x)的定义域为x a,b ，求出f[g(x)]中a g(x) b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域。

例1 已知f(x)的定义域为(0，3]，求f(x2 2x)定义域。

解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即

2 x 2，或x 0 x 2x 0 0 x 2x 3 2 3 x 1 x 2x 3

即 3 x 2或0 x 1

故f(x2 2x)的定义域为 3, 2 0,1

【评注】所谓定义域是指函数中自变量x的取值范围，因此我们可以直接将复合函数22中x 2x看成一个整体x，即由0 x 3可得0 x 2x 3，解出x的范围即可。

2 x x 2 （2006年湖北卷）设f x lg，则f f 的定义域为 （B） 2 x 2 x

A. 4,0 0,4 B. 4, 1 1,4

C. 2, 1 1,2

函数定义域练习题

1．函数f(x) 3x2

x

11111A．（ ， ） B．( ，） C．( ，1） D．( ， ） 33333 lg(3x 1)的定义域是 （ ）

2. 函数f(x) 1 lg(x 1)的定义域是 （ ） 1 x

1，则f(x)的定义域为 ( ) log2(2x 1)A．(-∞,-1) B．(1,+∞) C．(-1,1)∪(1,+∞) D．R 3. 若函数f(x)

A.( ,0) B.( , ) C.( ,0) (0, ) D.( ,2) 1

2121212

的定义域为 ( ) 333A.( ,1) B(,∞) C（1，+∞） D. ( ,1)∪（1，+∞） 444

15. 已知f(x)=，则函数f(f(x))的定义域是 ( ) x 14

函数y

A．{x|x 1} B．{x|x 2} C．{x|x 1且x 2} D．{x|x 1或x 2}

6.

函数＝yR，则k的取值范围是 （ ）

A.k 0或k 9 B.k 1

1、定义域问题

例1 求下列函数的定义域：

① f(x) ①f(x)

11

；② f(x) x 2；③ f(x) x 1 x 22 x4 x 1 ②f(x)

2

x2 3x 4

x 1 2

⑤y

③f(x)

11

11 1x

④f(x)

(x 1)0x x

x 2 3 1x 7

例3 若函数y

ax2 ax

1

的定义域是R，求实数a a

14

例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。

2

例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域。

例7已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域

\例1 求下列函数的值域

① y=3x+2(-1 x 1) ②f(x) 1 x 3）③ y x

例4 若函数y f(x)的定义域为[ 1，1]，求函数y f(x ) f(x )1

4

23x

1

（记住图像） x

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：

①y x2 4x 1； ②；y x2 4x 1,x [3,4] ③y x2 4x 1,x [0,1]； ④y x2 4x 1,x [0,5]； 练习：1、求函数y=3+√(2－3x)的值域

2、求函数y

函数定义域练习题

1．函数f(x) 3x2

x

11111A．（ ， ） B．( ，） C．( ，1） D．( ， ） 33333 lg(3x 1)的定义域是 （ ）

2. 函数f(x) 1 lg(x 1)的定义域是 （ ） 1 x

1，则f(x)的定义域为 ( ) log2(2x 1)A．(-∞,-1) B．(1,+∞) C．(-1,1)∪(1,+∞) D．R 3. 若函数f(x)

A.( ,0) B.( , ) C.( ,0) (0, ) D.( ,2) 1

2121212

的定义域为 ( ) 333A.( ,1) B(,∞) C（1，+∞） D. ( ,1)∪（1，+∞） 444

15. 已知f(x)=，则函数f(f(x))的定义域是 ( ) x 14

函数y

A．{x|x 1} B．{x|x 2} C．{x|x 1且x 2} D．{x|x 1或x 2}

6.

函数＝yR，则k的取值范围是 （ ）

A.k 0或k 9 B.k 1

6 函数的解析式和定义域

一、基础训练 1．函数f(x)?11?x的定义域是 ．

2．已知函数f(x)的定义域为??1,1?，则f(x?1)的定义域为 ．

3．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系．如果购买1000吨，每吨800元；购买2000吨，每吨700元．那么客户购买400吨，单价应该是 元． 4．已知f?????x，则f(?1)? ． ?1?x?2x?a的定义域为R，则实数a的取值范围是 ．

x5．若函数f(x)?6．若函数f(x)?x221?x，那么f(2)?f?1?1??? ． ?2?7．（2011江西卷）若函数f(x)?log0.5(2x?1)，则函数f(x)的定义域是 ．

38．若函数f(x)?xx?2x?a2的定义域为实数集R，则实数a的取值范围是 ．

二、例题精讲

例1．求下列函数的定义域． （1）y?12?x?x?1； （2）y?342x2lg?4x?3???5x?4?；

0（3）y?lg?x?1???2?4?x?．

例2．已知函数f(x)的定义

函数的定义域、值域练习题

精品 1、求下列函数的定义域：

⑴y =

⑵y =

⑶01(21)111

y x x =+-++- 2

_ _ _；

域为________；

3、若函数(1)f x +

(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x

+的定义域为 。

4、

知 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。

5、 求下列函数的值域

(1)223y x x =+- ()x R ∈⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311

x y x -=+

(5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++

⑻2y x x =- ⑼

y ⑽ 4y =

⑾y x =

6.已知函数222()1

x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。

函数的定义域、值域练习题

精品 7、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3

)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=

[键入文字]

课 题 教学目标 重点、难点 函数复习 掌握函数的概念（定义域，值域，解析式） 求函数值域是本节课的难点 教学内容 一、函数复习 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； （2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x 2．映射的概念 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A?B”。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系