高数同济大学第七版上册

练习一

一．填空题（每小题4分，共24分）

?xy,(x,y)?(0,0),?221．函数f(x,y)??x?y 在点(0,0)处 ．

?0,(x,y)?(0,0)?（A）有二重极限但不连续．

（C）连续但不可偏导．

（B）不连续但可偏导． （D）连续且可偏导．

2．三元函数u?sin(xy)?cos(yz)在点?1,????,1?处的全微分4?du? ．

?z?x2?2y2, 3．曲线?在点(1,1,3)处的一个单位切向量

x?2y?z?6?为 ．

x2y24．设平面区域D：2?2?1?a?0,b?0?，则??(x?y)5d?? ．

abD5．设曲线L是三角形ABC区域的的正向边界，其中A、B、C的坐标分

别为(?1,0)、(1,0)、(0,1)，则2ycos2xdx?(sinxcosx?x)dy? ．

?L6．设an?（A）

(?1)n?1n?n?1,?2,??，则以下级数中收敛的是 ．

2n??(?1)n?1?n?1an． （B）?a． （C）?anan?1．

n?1n?1（D）

??an?1?

第一章 函数与极限

第一节 函 数

教学目的：本节主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的概念、性质；介绍邻域、

分段函数、复合函数、初等函数的概念。

教学重点：分段函数、复合函数；

一、 集合、常量与变量

(一) 集合

1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C??等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素，就记a?M（读a属于M）；若事物a不是集合M的一个元素，就记a?M或a?M（读a不属于M）；集合有时也简称为集。

注意：（1）对于一个给定的集合，要具有确定性的特征，即对于任何一个事物或元素，能够判断

它属于或不属于给定的集合，二者必居其一.

（2）对于一个给定的集合，其中的元素应是互异的，完全相同的元素，不论数量多少，

在一个集合里只算作一个元素，就是说，同一个元素在同一个集合里不能重复出现. （3）若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集

2. 集合的表示法

表示集合的方法，常见的有列举法和描述法两种.

列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号{ }括起来，这种方法称为列举法.

3.全体自然

习题6?3

1? 由实验知道? 弹簧在拉伸过程中? 需要的力F(单位? N)与伸长量s(单位? cm)成正比? 即F?ks (k为比例常数)? 如果把弹簧由原长拉伸6cm? 计算所作的功?

解 将弹簧一端固定于A? 另一端在自由长度时的点O为坐标原点? 建立坐标系? 功元素为dW?ksds? 所求功为

126 W??ksds?ks?18k(牛?厘米)?

0206 2? 直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽? 设温度保持不变? 要

使蒸汽体积缩小一半? 问需要作多少功？ 解 由玻?马定律知?

PV?k?10?(?102?80)?80000??

P(x)?[(?102)(80?x)]?80000?? P(x)?80080?? 设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变? 高度减小x厘米时压强 为P(x)牛/厘米2? 则

?

功元素为dW?(??102)P(x)dx? 所求功为 W??400408001dx?800?ln2(J)?

(??10)?dx?80000??080??80??2 3? (1)证明? 把质量为m

习题12?4

1? 求下列微分方程的通解? (1)

dy?y?e?x? dx?dxdx 解 y?e?(e?x?e?dx?C)?e?x(e?x?exdx?C)?e?x(x?C)?

?? (2)xy??y?x2?3x?2?

解 原方程变为y??1y?x?3?2xx?

1 y?e??1xdx[?(x?3?2?xdxx)?edx?C] ?1x[?(x?3?21x)xdx?C]?x[?(x2?3x?2)dx?C] ?11332x(3x?2x?2x?C)?13x2?3C2x?2?x? (3)y??ycos x?e?sin x?

解 y?e??cosdx(?e?sinx?e?cosxdxdx?C)

?e?sixn(?e?sixn?esinxdx?C)?e?sixn(x?C)?

(4)y??ytan x?sin 2x?

解 y?e??tanxdx(?sin2x?e?tanxdxdx?C)

?elncosx(?sin2x?e?lncoxsdx?C)

?cosx(?2sinxc

习题12?4

1? 求下列微分方程的通解? (1)

dy?y?e?x? dx?dxdx 解 y?e?(e?x?e?dx?C)?e?x(e?x?exdx?C)?e?x(x?C)?

?? (2)xy??y?x2?3x?2?

解 原方程变为y??1y?x?3?2xx?

1 y?e??1xdx[?(x?3?2?xdxx)?edx?C] ?1x[?(x?3?21x)xdx?C]?x[?(x2?3x?2)dx?C] ?11332x(3x?2x?2x?C)?13x2?3C2x?2?x? (3)y??ycos x?e?sin x?

解 y?e??cosdx(?e?sinx?e?cosxdxdx?C)

?e?sixn(?e?sixn?esinxdx?C)?e?sixn(x?C)?

(4)y??ytan x?sin 2x?

解 y?e??tanxdx(?sin2x?e?tanxdxdx?C)

?elncosx(?sin2x?e?lncoxsdx?C)

?cosx(?2sinxc

考试专用

实验动物学（laboratory animal science）它是融合生物学、动物学、兽医学和医学等科学的综合学科，以实验动物为主要对象和重点，以服务于动物实验为主要工作目标和探索方向的学科。简言之，实验动物科学是专门研究实验动物的生物特性、饲养繁殖、遗传育种、质量控制、疾病防治和开发应用的科学。

研究实验动物

1. 育种、保种（培育新品种、保持原有品系的遗传特性）

2. 生物学特性（包括解剖、生理、生化、生殖及生态等）

3. 繁殖生产、饲养管理以及疾病的诊断、治疗和预防

研究动物实验

是以实验动物为材料，采用各种方法在实验动物身上进行实验，研究动物实验过程中实验动物的反应、表现及其发生发展规律等问题。

实验动物的价值何在？

1. 基础医学、生物学研究方面：对人的各种生理现象和病理机制及疾病的防治研究中，实

验动物是人的替难者。

2. 制药和化学工业方面：毒性试验（急性、亚急性、慢性）三致试验（致畸、致癌、致突

变）药效试验、药代试验等

3. 物制品方面：生物制品生产的原料，如地鼠、豚鼠的肾制备乙脑和狂犬疫苗，猴肾制备

小儿麻痹症疫苗，SPF鸡胚制备麻疹疫苗等。生物制品安全性评价的工具；生物制品有效性评价的工具

4. 轻工业与食品工业方面：人类吃穿用的轻工业产

第八章 多元函数的微分法及其应用

§ 1 多元函数概念

一、设f(x,y)?x2?y2,?(x,y)?x2?y2,求:f[?(x,y),y2].

答案：f(?(x,y),y2)?(x2?y2)2?y4?x4?2x2y2?2y4

二、求下列函数的定义域：

x2(1?y)22{(x,y)|y?x?1}; 1、f(x,y)? 221?x?yy2、z?arcsin {(x,y)|y?x,x?0};

x三、求下列极限：

x2siny 1、(x,ylim （0） )?(0,0)x2?y2 2、

y(1?)3x (e6)

(x,y)?(?,2)xlimx2y四、证明极限 (x,ylim不存在. )?(0,0)x4?y2证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着y?x趋于（0，0）时，极限为 二者不相等，所以极限不存在

21, 21?,(x,y)?(0,0)?xysin22五、证明函数f(x,y)?

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高数B（二）复习

第五章 定积分及其应用

知识点：

1、定积分概念与几何意义

2、定积分性质（不等式性质）

3、变上限积分函数性质

x

af(t)dt f(x)

4、定积分计算（换元法、分部积分法）

5、反常积分概念与计算 重要结论：

11dx当p 1时收敛，p 1时发散。 xp

6、几何应用

例题：

1

、计算积分

4

112x， x 212tf(t)dt arctanx，求 f(x)dx 122、设f(1) 1，2x 2x

xf(t)dt

32xx3、计算反常积分

0x2e xdx、 0dx 2x 2x 2

24、求由y x与y x 2所围的平面图形面积

参考练习：

1、计算积分 2

0xsin2xdx， xarctanxdx 01

2、计算反常积分

0xe xdx， 2 11x x5

3、求极限lim x 0 x

0x20tdt32 ， t(t sint)dt

24、求抛物线y x 4x 3及其在点 (0, -3) 和 (3, 0) 处的切线所围成图形的面积。

5、求由y sinx（0 x ）绕x轴一周所成的旋转体体积。

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第六章 微分方程

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第五章 定积分及其应用

知识点：

1、定积分概念与几何意义

2、定积分性质（不等式性质）

3、变上限积分函数性质

x

af(t)dt f(x)

4、定积分计算（换元法、分部积分法）

5、反常积分概念与计算 重要结论：

11dx当p 1时收敛，p 1时发散。 xp

6、几何应用

例题：

1

、计算积分

4

112x， x 212tf(t)dt arctanx，求 f(x)dx 122、设f(1) 1，2x 2x

xf(t)dt

32xx3、计算反常积分

0x2e xdx、 0dx 2x 2x 2

24、求由y x与y x 2所围的平面图形面积

参考练习：

1、计算积分 2

0xsin2xdx， xarctanxdx 01

2、计算反常积分

0xe xdx， 2 11x x5

3、求极限lim x 0 x

0x20tdt32 ， t(t sint)dt

24、求抛物线y x 4x 3及其在点 (0, -3) 和 (3, 0) 处的切线所围成图形的面积。

5、求由y sinx（0 x ）绕x轴一周所成的旋转体体积。

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第六章 微分方程

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第五章 定积分及其应用

知识点：

1、定积分概念与几何意义

2、定积分性质（不等式性质）

3、变上限积分函数性质

x

af(t)dt f(x)

4、定积分计算（换元法、分部积分法）

5、反常积分概念与计算 重要结论：

11dx当p 1时收敛，p 1时发散。 xp

6、几何应用

例题：

1

、计算积分

4

112x， x 212tf(t)dt arctanx，求 f(x)dx 122、设f(1) 1，2x 2x

xf(t)dt

32xx3、计算反常积分

0x2e xdx、 0dx 2x 2x 2

24、求由y x与y x 2所围的平面图形面积

参考练习：

1、计算积分 2

0xsin2xdx， xarctanxdx 01

2、计算反常积分

0xe xdx， 2 11x x5

3、求极限lim x 0 x

0x20tdt32 ， t(t sint)dt

24、求抛物线y x 4x 3及其在点 (0, -3) 和 (3, 0) 处的切线所围成图形的面积。

5、求由y sinx（0 x ）绕x轴一周所成的旋转体体积。

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第六章 微分方程