三重积分计算方法的推导

三重积分的计算方法种种

摘要：三重积分的计算一直是教学中的重点和难点，本文根据三重积分的被积函数的不同性质，总结了三重积分计算的不同的处理方法，有的方法是选择合适的坐标系；有的方法是利用公式，做变量代换；还有的方法是利用被积函数在积分区域中的特殊性质。这些方法可以简化三重积分的计算。 关键词：三重积分 变量代换 对称性

Several Methods of Calculation of Triple Integral

Abstract: Calculation of triple integral is a important and difficult part in teaching work, in this paper,

according to the different character of integrand of triple integral, we give different calculation methods of triple integral, by choosing suitable coordinate system, and the variable replacement formula, the

方法

三重积分的计算方法介绍：

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：

如果先做定积分

z2

f(x,y,z)dz

，再做二重积分

D

F(x,y)d

，就是“投

z1

影法”，也即“先一后二”。步骤为：找 及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。

z2

f(x,y,z)dv

[

D

z1

f(x,y,z)dz]d

如果先做二重积分

Dz

f(x,y,z)d

再做定积分 F(z)dz，就是“截面

c1

c2

法”，也即“先二后一”。步骤为：确定 位于平面z即z [c

1

c1与z c2

之间，

z

,c2]，过

z作平行于xoy面的平面截 ，截面D。区域D的边

z

z

界曲面都是z的函数。计算区域D上的二重积分

Dz

f(x,y,z)d

，完成

了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分 F(z)dz，完成“后

c1

c2

c2

一”这一步。

f(x,y,z)dv

[

c1

Dz

f(x,y,z)d ]dz

当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且D的面积 (z)

z

容易求出时，“截面法”尤

方法

三重积分的计算方法介绍：

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：

如果先做定积分

z2

f(x,y,z)dz

，再做二重积分

D

F(x,y)d

，就是“投

z1

影法”，也即“先一后二”。步骤为：找 及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。

z2

f(x,y,z)dv

[

D

z1

f(x,y,z)dz]d

如果先做二重积分

Dz

f(x,y,z)d

再做定积分 F(z)dz，就是“截面

c1

c2

法”，也即“先二后一”。步骤为：确定 位于平面z即z [c

1

c1与z c2

之间，

z

,c2]，过

z作平行于xoy面的平面截 ，截面D。区域D的边

z

z

界曲面都是z的函数。计算区域D上的二重积分

Dz

f(x,y,z)d

，完成

了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分 F(z)dz，完成“后

c1

c2

c2

一”这一步。

f(x,y,z)dv

[

c1

Dz

f(x,y,z)d ]dz

当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且D的面积 (z)

z

容易求出时，“截面法”尤

根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间,化三重积分为三次积分。

科技信息

高校理科研究

关孑求船三重积分帕方法襄樊学院数计学院陶爽卢方芳[摘要]根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间，化三重积分为三次积分。 [关键词】积分区域最大投影柱坐标球面坐标 1出的曲形如 z f x )=, .给面=1,, x ) ( yz Y令￡ )如 y, y= )得到一个关于 xy,的方程，是封闭曲面围成的区域在 X Y平面上的最大投影，也是 x满足的范围，然后根据所得到的 xy O, y, 的关系判断 f 2 l的大小。, f 例 1化三重积分 f,z xy z ( Y ) dd为三次积分， x,d积分区域 Q是由曲面 z x 22 z2 X围成的闭区域。= Z y及=一2+ 解根据 x 2 2 x有 x 1因为得到的是最大投影，以 xy 2 y一 y,+所，满足的是 x y≤1 22,+根据该式可知≤2 X则一2,,

故闭区域在平面上的最大投影区域 D (, I+2】据 y得=(y x y≤1根 x)z, 2≤1出、 =[≥z z 2≥x y而根据所给的曲面方程形式，+,可以使用柱坐标变换，

令{p S 0 p+ f C≤<∞ X O= f ≥≥ 22~== z xy

根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间,化三重积分为三次积分。

科技信息

高校理科研究

关孑求船三重积分帕方法襄樊学院数计学院陶爽卢方芳[摘要]根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间，化三重积分为三次积分。 [关键词】积分区域最大投影柱坐标球面坐标 1出的曲形如 z f x )=, .给面=1,, x ) ( yz Y令￡ )如 y, y= )得到一个关于 xy,的方程，是封闭曲面围成的区域在 X Y平面上的最大投影，也是 x满足的范围，然后根据所得到的 xy O, y, 的关系判断 f 2 l的大小。, f 例 1化三重积分 f,z xy z ( Y ) dd为三次积分， x,d积分区域 Q是由曲面 z x 22 z2 X围成的闭区域。= Z y及=一2+ 解根据 x 2 2 x有 x 1因为得到的是最大投影，以 xy 2 y一 y,+所，满足的是 x y≤1 22,+根据该式可知≤2 X则一2,,

故闭区域在平面上的最大投影区域 D (, I+2】据 y得=(y x y≤1根 x)z, 2≤1出、 =[≥z z 2≥x y而根据所给的曲面方程形式，+,可以使用柱坐标变换，

令{p S 0 p+ f C≤<∞ X O= f ≥≥ 22~== z xy

§5.三重积分

数学分析中常用的曲面和它对应的方程（温馨提示：请大家务必记住常用结论！） 1.球面:x2?y2?z2?a2?a?0?表示以原点为球心，半径为a的球面。

2.柱面：平行于定直线L并沿定曲线C移动的动直线所形成的曲面叫做柱面。定曲线C叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线。

?f(x,y)?0一般地，方程f(x,y)?0表示以曲线C:?为准线，母线平行于z轴的柱面。

z?0?类似可以写出方程f(y,z)?0和f(z,x)?0表示的曲面。 注：当准线是直线时，柱面退化为平面。

几种常用的柱面（柱面名称与准线名称相对应）

x2y2（1）2?2?1表示母线平行于z轴的椭圆柱面。特别地，当a?b时，它表示母线平行

ab于z轴的圆柱面。这里的定直线L就是z轴。

（2）y2?2px?p?0?表示母线平行于z轴的抛物柱面。

x2z2（3）-2?2?1表示母线平行y轴的双曲柱面。

ab

3.旋转曲面：平面曲线C绕该平面上一条定直线L旋转而形成的曲面，叫做旋转曲面。 其中平面曲线C叫做旋转曲面的母线，定直线L叫做旋转曲面的轴。

例如平面曲线C:??f(y,z)?0,绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程为

?x?0f(?x2?y2,z)?0。

记忆口诀：绕

§5.三重积分

数学分析中常用的曲面和它对应的方程（温馨提示：请大家务必记住常用结论！） 1.球面:x2?y2?z2?a2?a?0?表示以原点为球心，半径为a的球面。

2.柱面：平行于定直线L并沿定曲线C移动的动直线所形成的曲面叫做柱面。定曲线C叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线。

?f(x,y)?0一般地，方程f(x,y)?0表示以曲线C:?为准线，母线平行于z轴的柱面。

z?0?类似可以写出方程f(y,z)?0和f(z,x)?0表示的曲面。 注：当准线是直线时，柱面退化为平面。

几种常用的柱面（柱面名称与准线名称相对应）

x2y2（1）2?2?1表示母线平行于z轴的椭圆柱面。特别地，当a?b时，它表示母线平行

ab于z轴的圆柱面。这里的定直线L就是z轴。

（2）y2?2px?p?0?表示母线平行于z轴的抛物柱面。

x2z2（3）-2?2?1表示母线平行y轴的双曲柱面。

ab

3.旋转曲面：平面曲线C绕该平面上一条定直线L旋转而形成的曲面，叫做旋转曲面。 其中平面曲线C叫做旋转曲面的母线，定直线L叫做旋转曲面的轴。

例如平面曲线C:??f(y,z)?0,绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程为

?x?0f(?x2?y2,z)?0。

记忆口诀：绕

重庆三峡学院数学分析课程论文

二重积分的计算方法

院 系 数学与统计学院

专 业 数学与应用数学（师范） 姓 名 年 级 2010级 学 号

指导教师 刘学飞

2014年5月

二重积分的计算方法

(重庆三峡学院数学与统计学院10级数本1班)

摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算

引言

二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何、物理、力学等方面有着重

要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被

积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求

二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.

1. 预备知识

1.1二重积分的定义

设f?x,y?是定

高等数学相关

第三节

第九章

三重积分的计算(2)一,利用柱坐标计算三重积分二,利用球坐标计算三重积分三,三重积分的变量替换

机动

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高等数学相关

一,利用柱面坐标计算三重积分设 M ( x, y, z )为空间内一点,并设点 M在 xoy面上的投影 P的极坐标为ρ,θ,则这样的三个数ρ,θ, z就叫点 M的柱面坐标. z

规定: 0≤ρ<+∞,0≤θ≤ 2π,

M ( x, y, z )

∞< z<+∞ .x

oθ

ρP (ρ,θ )

y

机动

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高等数学相关

柱面坐标x=ρ cosθ

(x, y, z)→ (ρ,θ, z)

y=ρ sinθ

z z

z=z

0≤ρ<+∞,0≤θ≤ 2π,

M(ρ,θ, z) z0 y

∞< z<+∞ .. .

θ

xx

ρN

y

机动

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高等数学相关

柱面坐标的坐标面动点M(ρ,θ, z)z

z

ρ

ρ=常数:柱面Sz=常数:平面∏ S

∏

M

0

y

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高等数学相关

z

柱面坐标的坐标面动点M(r,θ, z)

∏

z

ρ

M

ρ=常数:柱面Sz=常数:平面∏

θ=常数:半平面P

S

P

0.

θ

y

x机动目录上页下页返回结束

高等数学相关

柱面坐标下的体积元素元素区域由六个坐标面围成:半平面θ

二重积分、三重积分的概念和性质,二重积分、三重积分的计算和应用。

第九章 重积分

教学内容

二重积分、三重积分的概念和性质，二重积分、三重积分的计算和应用。 教学目的、要求

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分中值定理。 2.熟练掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法。

3.掌握二重积分在极坐标系下的计算方法，掌握三重积分在直角坐标系、柱坐标系、球坐标系下的计算方法。

4.会用重积分来表达一些几何量（如平面图形的面积、体积、曲面面积）和物理量（如质量、质心坐标、转动惯量、引力等）。 重点与难点

1重点：二重积分的概念与计算。

2难点：三重积分的计算，重积分的应用。

第一节 二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积

设有一空间立体 ,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z f x,y (f x,y 在D上连续)且f x,y 0,这种立体称为曲顶柱体。曲顶柱体的体积V可以这样来计算:

用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域 1, 2, , n ,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体 分划成n个小曲顶柱