二阶倒立摆建模

二阶倒立摆的稳定性控制

摘要:本文研究了二阶倒立摆系统的控制方法,采用极点配置、LQR最优控制设计了控制器,通过仿真,分析指出各种方法的优缺点。在极点配置法中,通过仿真实验寻优,得到具有较好稳定性的初始值。在LQR最优控制器的设计中,采用仿真结果表明:该控制策略能满足系统的控制要求,系统具有良好的动态性能。

关键词:二阶倒立摆 极点配置 LQR最优控制

倒立摆系统是应用于自动控制理论的经典实验装置,是一个复杂的多变量、高度非线性、强耦合和快速运动的绝对不稳定系统,对于倒立摆的稳定性控制,不仅有重要的理论意义,而且还有很重要的工程意义。一方面倒立摆系统成本低廉,结构简单,物理参数和结构容易调整的优点,在实验条件下容易实现。对于倒立摆的控制会涉及控制中的许多关键问题,如镇定问题、跟踪问题、随动问题、非线性问题、及鲁棒性问题。另一方面,任何重心在上,支点在下的控制问题都可以近似于倒立摆系统,如机器人行走的平衡问题,火箭发射的垂直控制和卫星飞行中的姿态控制等。

1 二阶倒立摆系统

二阶倒立摆系统的机械部分主要由小车、摆杆1,2、导轨、皮带轮、传动皮带等组成,电气部分由电机、功率放大器、PWM、传感器、驱动电路以及保护电路组成。

学号：

常 州 大 学 毕业设计（论文） （2012届）

题 目 学 生 学 院 专业班级 校内指导教师 专业技术职务 校外指导老师 专业技术职务

二○一二年六月

I

基于LQR的二阶直线倒立摆控制系统设计

摘 要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的高阶不稳定系统，它是检验各种新的控制理论和方法有效性的典型理想模型。在对其控制过程中，能有效地反映诸如镇定性、

线控大作业

如图所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。

图 倒立摆系统

假定倒立摆系统的参数如下。

摆杆的质量：m=0.1g 摆杆的长度：2l=1m 小车的质量：M=1kg 重力加速度：g=10/s2 摆杆惯量：I=0.003kgm2 摆杆的质量在摆杆的中心。

设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量

? %≤10%，

调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。

要求：1、建立倒立摆系统的状态方程

2、定量分析,定性分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性 3、极点配置

设计分析报告

1 系统建模

在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。如下如所示。

图 一级倒立摆模型

其中：

φ 摆杆与垂直向上方向的夹角

θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向

Matlab程序设计

上交作业要求：

1）纸质文档：设计分析报告一份（包括系统建模、系统分析、系统设计思路、程序

及其执行结果）。

2）Matlab程序：按班级统一上交后备查。

题目一：

考虑如图所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。

图 倒立摆系统

假定倒立摆系统的参数如下。

摆杆的质量：m=0.1g 摆杆的长度：2l=1m 小车的质量：M=1kg 重力加速度：g=10/s2 摆杆惯量：I=0.003kgm2 摆杆的质量在摆杆的中心。

设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量? %≤10%，

调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。

要求：1、建立倒立摆系统的数学模型

2、分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性

3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定

4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状态变量的时间响应图。

题目二：

根据自身的课题情况，任意选择

一阶倒立摆

项 目 报 告

级自动化卓越班小组成员：李迎迎 张婧娴 姚红娟

李艳艳徐 山

13

目录

一、系统概述………………………………………………………1 1.1系统介绍……………………………………………………………1

1.2项目内容……………………………………………………………1 1.3系统分析步骤………………………………………………………1

二、数学建模

2.1受力分析……………………………………………………………2 2.2方框图………………………………………………………………2 三、根轨迹分析

3.1 设计控制器…………………………………………………………7 3.2根轨迹图……………………………………………………………10 四、频域分析

4.1校正后传递函数……………………………………………………11 4.2校正前后波特图……………………………………………………12

五、PID控制

5.1系统加入PID………………………………………………………13 5.2自动调节PID参数…………………………………………………13 5.3加入PID后的阶跃响应……………………………………………1

一阶倒立摆

项 目 报 告

级自动化卓越班小组成员：李迎迎 张婧娴 姚红娟

李艳艳徐 山

13

目录

一、系统概述………………………………………………………1 1.1系统介绍……………………………………………………………1

1.2项目内容……………………………………………………………1 1.3系统分析步骤………………………………………………………1

二、数学建模

2.1受力分析……………………………………………………………2 2.2方框图………………………………………………………………2 三、根轨迹分析

3.1 设计控制器…………………………………………………………7 3.2根轨迹图……………………………………………………………10 四、频域分析

4.1校正后传递函数……………………………………………………11 4.2校正前后波特图……………………………………………………12

五、PID控制

5.1系统加入PID………………………………………………………13 5.2自动调节PID参数…………………………………………………13 5.3加入PID后的阶跃响应……………………………………………1

目录

一、任务书 ........................................................................... 错误！未定义书签。

（二）、题目 .............................................................................................. 1 （二）、要求 .............................................................................................. 1 （三）、任务 ............................................................................................... 1 （四）、设计报告要求 ........................................................................ ...... ..1 （五）、格式要求 ...............

西南科技大学

自动化专业方向设计报告

设计名称：直线二级倒立摆的建模和镇定控制

姓名：

学号:

班级：

指导教师：

起止日期：

方向设计任务书

学生班级：学生姓名：学号：

设计名称：

起止日期：指导教师：

方向设计学生日志

直线二级倒立摆的建模与镇定控制

摘要（150-250字）

倒立摆是一个典型的多变量、非线性、强耦合、欠驱动的自然不稳定系统，对倒立摆系统的控制研究，能反映控制过程中的镇定、非线性和随动等问题，因此常用于各种控制算法的研究。而且对倒立摆系统的研究还有重要的工程背景，对机器人行走、火箭的姿态调整等都有重要的现实意义。

本文以直线二级倒立摆系统为模型，阐释了直线二级倒立摆的建模方法和镇定控制算法。其次介绍了直线二级倒立摆系统的结构和参数，应用拉格朗日方程建模方法详细推导了二级倒立摆的数学模型，并对系统的性能进行分析。接下来，本文重点研究了最优控制算法在直线二级倒立摆镇定控制中的应用；在介绍倒立摆系统的最优控制算法的基础上，设计了系统的最优控制器，分析得出控制参数的选择规律；并且在Simulink上完成仿真实验,观察控制系统性能。

关键词：倒立摆；建模；LQR；镇定控制

Modeling and Balance Control of the Linear Doubl

倒立摆课程设计报告

课程设计说明书

课程名称： 控制系统课程设计 设计题目：一阶倒立摆控制器设计 院 系： 信息与电气工程学院 班 级： 设 计 者： 学 号： 指导教师： 设计时间：2013年2月25日到2013年3月8号

1

倒立摆课程设计报告

课程设计（论文）任务书

专 业 学 生 题 目 子 题 设计时间 自动化 班 级 指导教师 一阶倒立摆课程设计 2013年 2 月 25 日 至 2013 年 3 月 8 日 共 2 周 设计（论文）的任务和基本要求，包括设计任务、查阅文献、方案设计、说明书（计算、图纸、撰写内容及规范等）、工作量等内容。 1．建立一阶倒立摆数学模型 2．做模型仿真试验 （1）给出Matlab仿真程序。 （2）给出仿真结果和响应曲线。 3．倒立摆系统的PID控制算法设计 设计PID控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为： （1）稳定时间小于5秒 （2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0

哈尔滨工业大学

控制科学与工程系

控制系统设计课程设计报告

1

姓 名： 院（系）： 专 业：自动化 班 号： 任务起至日期： 2014 年9 月9 日 至 2014 年9 月20 日 课程设计题目： 直线一级倒立摆控制器设计 已知技术参数和设计要求： 本课程设计的被控对象采用固高公司的直线一级倒立摆系统GIP-100-L。 系统内部各相关参数为: M小车质量0.5kg; m摆杆质量0.2kg; b小车摩擦系数0.1N/m/sec; l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3m; I摆杆惯量0.006kg*m*m; T采样时间0.005秒。 设计要求： 1.推导出系统的传递函数和状态空间方程。用Matlab进行阶跃输入仿真，验证系统的稳定性。 2.设计PID控制器，使得当在小车上施加0.1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为： （1）稳定时间小于5秒； （2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度。 3.设计状态空间极点配置控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为