考研数学凹凸性定义

考研数学：曲线凹凸性及拐点典型题型分析

来源：文都教育

在考研数学中，高等数学导数的应用部分有多个考点，其中之一是曲线的凹凸性和拐点。凹凸性和拐点是函数图形的一种特性，从几何意义上讲，凹凸性反映的是曲线的弯曲方向，而拐点则是指曲线的弯曲方向发生改变的点，从代数意义上讲，凹函数或凸函数就是指二阶导数不变号的函数，当然，这里说的不变号一般是相对于某一个区间而言的。下面文都考研蔡老师对曲线的凹凸性及拐点的判断方法和典型题型做些分析总结，供考研的同学复习时参考。

一、凹凸性和拐点的判断方法

1. 凹凸性判断方法：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，则当f??(x)?0时，

f(x)在[a,b]上的图形是凹的；当f??(x)?0时，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

2、拐点判断方法：先求出f??(x)?0的点和二阶导数不存在的点x0，若函数f(x)在点

x0的左、右邻域内的二阶导数存在并且符号相反，则(x0,f(x0))是曲线的拐点。

二、典型题型分析

131?x?t?t???33例1. 设函数y?y(x)由参数方程?确定，求y?y(x)的极值和曲线

?y?1t3?t?1?33?y?y(x)的凹凸区间及拐点。

d2y4tdyd2y1d

函数的单调性、凹凸性、反函数

C单调性：能准确判断初等函数复合后的函数的单调性，能根据数形

结合解题。

d凹凸性：理解函数图像凹凸性的代数意义，原理就是比较曲线上不

重合两点值域的算术平均数与两点中点的函数值的大小。

比较f?x1??2f?x2??x?x2?与f?1?的大小2??

反函数的几个性质：

1.原函数与反函数单调性一致； 2.原函数与反函数关于y=x对称；

3.原函数的值域是反函数的定义域，原函数的定义域是反函数的值域

?(3a?1)x?4a，x?1f(x)???)上的减函数，那么a的取值范围是 例1．已知 是(??，?logx，x?1a??1??11??1?1? A（0，1） B ?0，? C ?，? D ?，3737??????解析：分段函数是R上的严格递减函数要满足两个条件： 1：分段函数的每一段是递减的； 2：左段函数的最小值?右段函数的最大值；

?(3a?1)x?4a，x?1?f(x)??是R上的严格递减函数，logx，x?1a??3a?1?011???a??0?a?173?(3a?1)?1?4a?log1a? ?

例2. 已知函数f(x)?3?axa?1(a?1)，

离散数学定义定理

1.3.1命题演算的合式公式规定为： （1）单个命题变元本身是一个合式公式。 （2）如果A是合式公式，那么┐A是合式公式。

（3）如果A和B是合式公式，那么（A∨B）、（A∧B）、（A→B）、（A?B）、都是合式公式。 （4）当且仅当有限次地应用（1）（2）（3）所得到的包含命题变元，连接词和圆括号的符号串是合式公式。

1.3.2 设Ai是公式A的一部分，且Ai是一个合式公式，称Ai是A的子公式。

1.3.3 设P为一命题公式，P1,P2,……，Pn为出现在P中的所有命题变元，对P1,P2,……，Pn指定一组真值称为对P的一种指派。若指定的一种指派，使P的值为真，则称这组指派为成真指派。若指定的一种指派，使P的值为假，则称这种指派为成假指派。 含n个命题变元的命题公式，共有2n个指派。

1.3.4 给定两个命题公式A和B，设P1,P2,……，Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1,P2,……，Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，称A和B是等价的，记做A <=>B。

1.3.5 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为真，则称A为重言式或永真式。 1.3.6 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下

离散数学定义定理

1.3.1命题演算的合式公式规定为： （1）单个命题变元本身是一个合式公式。 （2）如果A是合式公式，那么┐A是合式公式。

（3）如果A和B是合式公式，那么（A∨B）、（A∧B）、（A→B）、（A?B）、都是合式公式。 （4）当且仅当有限次地应用（1）（2）（3）所得到的包含命题变元，连接词和圆括号的符号串是合式公式。

1.3.2 设Ai是公式A的一部分，且Ai是一个合式公式，称Ai是A的子公式。

1.3.3 设P为一命题公式，P1,P2,……，Pn为出现在P中的所有命题变元，对P1,P2,……，Pn指定一组真值称为对P的一种指派。若指定的一种指派，使P的值为真，则称这组指派为成真指派。若指定的一种指派，使P的值为假，则称这种指派为成假指派。 含n个命题变元的命题公式，共有2n个指派。

1.3.4 给定两个命题公式A和B，设P1,P2,……，Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1,P2,……，Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，称A和B是等价的，记做A <=>B。

1.3.5 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为真，则称A为重言式或永真式。 1.3.6 设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下

初中数学总结

经历三年初中数学的学习，使我对数学这门学科有了更深入的了解。在此就谈谈我对数学的一些想法和对初中数学的总结。

数学是我们认知世界的重要工具。它就像我们的语言和文字，在人类和社会的发展中有着必不可少的作用。我们从小便开始学习数学，从简单的数数到复杂的代数运算，从随意的画图到使用尺规标准的作图，从观察图形到研究几何，学习数学的这条道路是循序渐进而又漫长的。

有些同学认为数学是枯燥而又无味的，这或许是因为他们缺少对数学的兴趣（也许是应试教育的影响）。在我看来，数学并不只是做题和应付考试这么枯燥和乏味。学习数学更多的要应用到生活的一些问题中来，这样才能学有所用，学有所思，逐渐懂得数学学习的乐趣。 我这里举一个概率的例子（或许看完你就会发现数学的趣味性了）

设想有三个箱子，一个装着两枚金币，一个装着两枚银币，一个装一枚银币一枚金币。三个箱子混杂，然后随意取一个箱子，显然这个箱子里装着两个一样的钱币的概率是2/3。 然而，假定我们从选出的箱子中拿出一枚钱币，看到它是金的。这就是说，箱子里的不可能是两枚银币。因此，它必然是两枚金币；或一枚金币，一枚银币。由于这两个箱子中任何一个被选中的机会相等，看起来似乎我们取得两枚同样钱币的概率降到了

小学数学算术定义定理公式

1．加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。

2．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。

3．乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。

4．乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。

5．乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。如：（2+4）×5＝2×5+4×5。

6．除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。0除以任何不是0的数都得0。

7．等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。

8．方程式：含有未知数的等式叫方程式。

9．一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。

学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。

10．分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。

11．分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通

AOTU个性教育学习法行动成功手册之错题本

凹凸个性教育对683所中小学进行试点研究，独创出AOTU学习法。AOTU学习法是建立在对学科知识点科学拆解的基础上，按照考试大纲要求，结合学生个性化学习特征而进行合理匹配的教学体系。该体系以学生百分百掌握知识点为目的，用专属的个性化教材、个性化的授课方式，360度全方位覆盖，从而做到“不留疑问到明天”，全面满足学生个性化学习要求。

凹凸教育坚持“行动赢得成功”（Action success）的理念，让学生做到课前预习，课上记笔记，强化记忆，归纳错误点，课后及时复习，考后科学总结，并与家长亲密配合，注意引导家长建立良好的亲子关系，从而共同帮助学生取得学习及人生的优胜。

使用说明

①原题抄录：把错题填入或粘贴在上方空白处。

②自检：

本题错误原因：把出错原因写入下方空白处。如XX知识点没有理解； 解题方法是否掌握：在“是”或“否”处划“√”

询问老师后，解题方法是否掌握：在“是”或“否”处划“√”

③遗漏知识点：根据老师的讲解和分析，把所遗漏的知识写入下方空白处。

④还需进一步理解的知识点：把理解但不熟练的知识点写入下方空白处。

⑤正解：写下正

汽车通过凹凸不平道路的驾驶技术

汽车通过凹凸不平道路的驾驶技术

一、汽车通过凸路时的驾驶方法

凸路，就是高出道路水平线的凸起物或曲率半径很小的凸形桥。汽车通过凸形地段时，车速是关键，正确的操作方法是基础。因为汽车在通过凸形地时，要出现方向垂直向上的离心力，此离心力和汽车抽下的重力相等时，两力相抵消，地面对车轮的垂直反力变成零。如果车速过快，震动就越强烈，汽车就象失去重心一样，转向操纵完全失灵，必定造成事故，尤其是汽车在凸形坡的顶点时失去操纵性，危险性更大。为了防止汽车在凸形路段，要达到此目的，其驾驶方法 是：

①要保持正确的驾驶姿势，上身稍贴后靠边背坐稳，两手握紧方向盘，防止由于身体随车跳动而失去对汽车的控制。

②要注意路面情况，分别采取不同的方法通过。

a.通过短而凸的道路，应降低车速，空挡滑行通过。

b.通过连续小凸凹或“搓板”路时，要适当减速，保持匀速行驶。

c.通过较大的凸形地段，应用低速挡缓慢通过 ，必要时，应在凸形地段前停车，重新起步通过。前轮将要上凸形地时应加油，前轮到凸形地最高点时要抬起加速踏板，使前轮溜下凸形地，然后，用前轮通过的方法使通过的方法使后轮通过。

二、汽车通过凹路时的驾驶方法

凹路，就是低于道路水平线的洼

Unity渲染教程（六）：凹凸度

译者：白芷（白芷）审校：王磊（未来的未来）

?扰动法线来模拟凹凸不平的情况。

?从高度字段来计算法线。

?对法线贴图进行采样和混合。

?从切线空间转换到世界空间。

这是关于渲染基础的系列教程的第六部分。这个系列教程的上一部分讲的是法对多个光源的支持。在这篇文章里面，我们将创建具有更复杂错觉的曲面。

这个教程是使用Unity5.4.0f3开发的。

它看起来不像是一个光滑的球体了。

1 凹凸贴图

我们可以使用反射率纹理创建具有复杂颜色图案的材质。我们可以使用法线来调整表面的曲率。通过使用这些工具，我们可以生产各种表面。然而，单个三角形的表面将总是平滑的。它只能在三个法线向量之间进行插值。因此它不能表示粗糙或是有变化的表面。当抛弃反射率纹理并仅使用纯色的时候，这变得显而易见。这个平面的一个很好的例子是一个简单的四边形。将一个简单的四边形添加到场景中，并通过围绕X轴旋转90°使这个简单的四边形指向上方。给这个简单的四边形施加我们的光照材质，没有纹理并且是全白色调。

完美的平面。

因为默认的天空盒非常的明亮，很难看到其他光源的贡献。所以，在这个教程让我们关闭默认的天空盒。你可以通过在光照设置中将环境亮度降低为零来实现这一点。然后只启用主方向光

初中数学定义，公理，定理，公式汇编

华文学校 黄文杰

一．直线、线段、射线

1. 过两点有且只有一条直线. （简：两点决定一条直线） 2.两点之间线段最短 3.同角或等角的补角相等. 同角或等角的余角相等.

4. 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

5. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. （简：垂线段最短） 二．平行线的判断

1.平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行（简：平行于同一直线的两直线平行） 3.同位角相等，两直线平行. 4.内错角相等，两直线平行. 5.同旁内角互补，两直线平行. 平行线的性质

1.两直线平行，同位角相等. 2.两直线平行，内错角相等. 3.两直线平行，同旁内角互补. 三．三角形三边的关系

1.三角形两边的和大于第三边、三角形两边的差小于第三边. 三角形角的关系

1. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°. 2.直角三角形的两个锐角互余.

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 4. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 四．全等三角形的性质、判定

1.全