极大线性无关组

第十二讲 向量组的最大线性无关组

一、考试内容与考试要求

考试内容

向量组的最大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；向量的内积；向量空间及其相关概念；n维向量空间的基变换和坐标变换；过渡矩阵；规范正交基．

考试要求

（1）理解向量组的最大线性无关组的概念，会求向量组的最大线性无关组； （2）理解向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系，会求向量组的秩；

（3）理解向量组等价的概念；

（4）了解内积的概念，了解规范正交基；

（5）了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念；

（6）了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．

注 考研数学二、三不考向量空间等概念，对数学一的考生要求掌握向量空间的有关内容．

二、知识要点

引入 当方程组Ax?o（Ax?b）有无穷解时，可以用有限个解表示出来，这有限个解就是解集的基础解系，一个基础解系也就是一个最大线性无关向量组．

向量组的秩：是这有限个解的个数，也就是最大无关组中向量的个数，或基础解系中解向量的个数．

复习 首先简单复习本讲需要用到的一些知识。

线性表示：??k1?1?k2?2???km?m，对k1,k2,?km没有要求，且

R(

安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文

向量组线性相关与线性无关的判别方法

摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的

线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法.

关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩

1 引言

在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的.

2 向量组线性相关和线性无关的定义

定义 设向量组?1,?2,?,?m都为n维向量，如果数域P中存在一组不全为零的数

k1,k2km,使k1?1?k2?2?

西南交大线性代数习题参考答案

2 第一章 行列式

§1 行列式的概念

1． 填空

(1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。

(2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。

(3) n 阶行列式由 项的代数和组成，

其中每一项为行列式中位于不同行

不同列的 n 个元素的乘积，若将

每一项的各元素所在行标按自然顺

序排列，那么列标构成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的

符号为 号；若为偶排列，该

项的符号为 号。

(4) 在6阶行列式中， 含152332445166a

a a a a a 的项的符号为 ，含324314516625a

a a a a a 的项的符号为 。

2． 用行列式的定义计算下列行列式的值

(1)

11222332330000a a a a a

3 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为

，所以行列式的值为 。

(2) 12,121,2

1,11,12,100000

0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L

第四章 线性方程组

1． 设A 为n 阶方阵，若2)(-=n A R ，则0=AX 的基础解系所含向量的个数是（ ）。

)(A 0个(即不存在) )(B 1个 )(C 2个 )(D n 个

2．如果n 元非齐次线性方程组b AX =的系数矩阵A 的秩小于n ，则（ ）。

)(A 方程组有无穷多个解 )(B 方程组有惟一解

)(C 方程组无解 )(D 不能断定解的情况

3．设33)(?=ij a A 满足条件：(1)ij ij A a =(3,2,1,=j i )，其中ij A 是元素ij

a 的代数余子式；(2) 133-=a ；(3) ||1A =，则方程组

b AX =，

T b )1,0,0(=的解是（ ）。

)(A T )2,5,3( )(B T )3,2,1( )(C T )1,0,0(- )(D T )1,0,1(-

4．设A 为n 阶奇异方阵，A 中有一元素ij a 的代数余子式0≠ij A ，则齐次线性方程组0=AX 的基础解系所含向量个数为（ ）。

)(A i 个 )(B j 个 )(C 1个 )(D n 个

第三章 线性方程组

第一节 线性方程组与矩阵的行等价

一 线性方程组

以前学过求解二元一次方程组与三元一次方程组的方法. 这里研究一般的一次方程组.

定义3.1 多元一次方程组???????=+++=+++=+++m

n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111称为线性方程组. 方程组有m 个方程, n 个未知数i x (1,2,,i n =), 而ij a (1,2,,i n =;m j ,,2,1 =)是未知数的系数, j b (m j ,,2,1 =)是常数项.

如果0=j b (m j ,,2,1 =), 则称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组. 数组n c c c ,,,21 是方程组的一个解, 如果用它们分别代替方程组中的未知数n x x x ,,,21 , 可以使方程组变成等式组. 方程组的全部解的集合称为方程组的通解. 相对于通解, 称方程组的一个解为特解.

定义3.2 如果两个线性方程组有相同的通解, 则称它们同解.

按照定义, 两个方程组同解是指它们的解的集合相等. 集合相等是一种等价关系, 因此

Review 常系数齐次线性ODE的特征解法x(n)n

+ a1 x

( n 1)

λ + a1λ特征根 重数

n 1

+ L + an 1 x′ + an x = 0

+ L + an 1λ + an = 0.线性无关解 λt

λ (实) λ (实)

1kλt αt

e

e ,te , , t Lαt αt αt

λt

k 1 λt

e

α ± iβ

1k

e cos β t , e sin β t e cos β t , te cos β t ,L , t e cos β t , eα t sin β t , teα t sin β t ,L , t k 1eα t sin β tk 1 α t

α ± iβ

常系数非齐次线性ODE的待定系数法

x ( n ) + a1 x ( n 1) + L + an 1 x′ + an x = f (t ) f (t ) special solution x(t )

q (t )t k eλt , q real polynomial, p (t )e , λ ∈ deg(q ) ≤ deg( p ), p real polynomial, k = multiplicity of λ as an

   先夫在世的时候,因性格不合和生活琐事,夫妻间发生过很多龃龉。有些不愉快的事现在想起来,都是不值一提的了,但当时却让人感到痛不欲生甚至咬牙切齿发出许多不共戴天的誓言。想想真是太孩子气,虽说当时已经人过不惑。后来才明白了,有个人可以和你吵,和你闹,让你任性使气,这本身就是幸福。父母虽亲,毕竟是长辈,不能什么话都说的;孩子可爱,但又是下一代,你只能容她撒娇,却不能跟她使性儿。但当一些事情让你明白了之后,已经是过去时了。人生常常这样,你置身在生活中的时候,你总是糊涂;当你明白了,那段生活早已离你而去。你只能远远地望着它叹息。

   我们当时解决纠纷的方式很简单,一到事情无法缓和了他就提出帮我搬家。这是他摸透了我的脾气。我一到心情不好的时候就爱搬家——当然不是从此房搬到彼房,而是在一个屋里瞎折腾。后来看到一本有关心理学的书方才明白,我的行为也有理论根据的,心理学上有一种调剂心情的治疗方法,就是搬家。

其时我们住的是被叫做“一室半”格局的屋子。一间大的有十八米,而那间“半”屋只四米。我能够整整一天或几天痴迷在对屋内摆设的设计上。包括躺在床上的时候,都在脑子里勾画室内布置图,有时候半夜就蹦起来逼他帮我实施。所

篇一：2014高考作文急救攻破50天

2014高考作文急救攻破50天（3）“强国”“强市”和“强

人”

阅读下面的文字，根据要求作文。(60分)

英国前首相撒切尔夫人在任时曾经被媒体问到：?中国的电视机已经出口到英国了，你是否感到危机??撒切尔夫人一笑，回答道：?等到中国的节目也输出到英国的时候你再来问我这个问题。?美国前国务卿希拉里在任时也说过类似的话，大意也是一个不能输出价值观的国家，不能说它是一个强国。她们所说的价值观，简单的说，就是有稳定性、持久性的思想。

在撒切尔夫人和希拉里看来，中国在没有输出电视节目或者是背后的价值观之前，中国是不足以为惧的。如果推而广之，一个国家、一个城市乃至一个人，在没有能力输出价值观以前，不能算真正的?强国??强市?和?强人?。

请仔细阅读材料，然后从中选择一个角度作文。你可以同意也可以不同意她们的观点。写议论文的话，你可以就国家或城市立论，也可以就个人立论;也可以写记叙文。只要把你的想法通过文章很好地表达出来就可以了。要求：自拟标题，不要脱离材料的含意作文，不少于800字。

优秀作文点评：

编号：1

得分：59分

中国精神的突围

深圳外国语夏雨

多少次，我们骄傲孔孟儒思，老庄哲学，李杜诗篇?(。)多少回，我们自傲自己的千年历史，

§3.3 向量组的线性关系一.线性组合 二.线性相关与线性无关 三.小结与思考题

向量组的线性关系对于我们揭示线性方程组中方程 与方程之间、解与解之间的关系乃至更广泛的事物之 间的联系是极其有意义的, 我们必须熟练掌握如何判

定向量组之间的线性关系.

一.线性组合定义3.7 对于 n 维向量 1 , 2 ,

, m , 若存在一组

实数k1 , k2 ,

, km , 使得 km m , m 的线性组合,或称2

k1 1 k2 2 则称向量β 是向量组 1 , 2 ,

向量β 可由向量组 1 , 2 ,

, m 线性表示.

称k1 , k2 ,

, km 为组合系数或表示系数.

例1 设向量组 1 1 3 2 0 0 0 0 , 1 , 2 , 3 0 2 4 2 3 1 1 2

不难验证

2 1 2 或 1- 33

例2 设

判定向量β 是否可由向量组 1 , 2 , 3线性表示？ 如果

线性方程组在现实中的应用

线性方程组在现实生活中的应用非常广泛的，不仅可以广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，通信，航空等学科和领域，同时也应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理等课程。 为了更好的运用这种理论，必须在解题过程中有意识地联系各种理论的运用条件，并根据相应的实际问题，通过适当变换所知，学会选择最有效的方法来进行解题，通过熟练地运用理论知识来解决数学得问题.

一、 线性方程组的表示

1.按照线性方程组的形式表示有三种 1）一般形式的表示

?a11x1?a12x2?...?a1nxn?b1??a21x1?a22x2?...?a2nxn?b2?...??ax?ax?...?ax?bn22nnnn?n11

2）向量形式：

x1?1?x2?2?...?xn?n??

3）矩阵形式的表示 ：

AX??,A???1,?2,...,?n?X??x1,x2,...,xn?T

?0特别地，当?AX???0时，AX??称为齐次线性方程组，而当?时，

称为非齐次线性方程组

2.按照次数分类又可分为两类 1）齐次线性方程组