第一章随机事件及其概率

第一章 随机事件及其概率

§1.1 样本空间与随机事件

一、

计算下列各题

1.写出下列随机实验样本空间：

(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；

(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；

(3) 一只口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中抽取4只，观察它们具有哪种颜色；

(4) 有A,B,C三只盒子，a,b,c三只球，将三只球，装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球情况；

(5) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 解 1（1）{3,4,5,?,18}； （2）{3,4,5,?,10}；

}；其中R,W,B分别表示红色，白色和蓝色； （3）{R,W,B,RW,RB,WB,RWB（4）{Aa,Bb,Cc;Aa,Bc,Cb;Ab,Ba,Cc;Ab,Bc,Ca;Ac,Bb,Ca,Ac,Ba,Cb}其中Aa表示a求放在盒子A中，可类推；

（5）{(x,y,z)|x?0,y?0,z?0,x?y?z?1}其中x,y,z分别表示三段之长。 2. 设A,B,C为三事件，用A,B,C运算关系表示下列事件：

（1）A发生,B和C不发生； （2）A与B都发生, 而C不

第一章 随机事件及其概率

习题一 一、填空题

1．设样本空间??{x|0?x?2}，事件A?{x| ?{x|0?x?}?{x|113?x?1}, B?{x|?x?}，则A?B 242143113?x?2} , AB?{x|?x?}?{x|1?x?} . 2422 2. 连续射击一目标，Ai表示第i次射中，直到射中为止的试验样本空间?，则

A1A2； ?； A1A2?An?1An； ?. ?=A1；3．一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为

1 . 12??4．一批(N个)产品中有M个次品、从这批产品中任取n个，其中恰有个m个次品的概

mn?mnCn率是 CM?M/CN .

5．某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 0.6 .

6．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于7．已知P(A)=0.4, P(B)=0.3,

(1) 当A,B互不相容时, P(A∪B)= 0.7; P(AB)= 0 . (2) 当B?A时, P(A+B)= 0.4 ; P(AB)= 0.3

第一章 随机事件及其概率习题

一 、填空题：

1.设A，B，C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示（1）A和B都发生，而C不发生为 ，（2）A、B、C至少有两个发生的事件为 。

2.设A，B为两个互不相容的事件，P(A)=0.2, P(B)=0.4, P(A+B)= 。 3.设A，B，C为三个相互独立的事件，已知P(A)=a, P(B)=b, P(C)=c,则A，B，C至少有一个发生的概率为 。

4.把一枚硬币抛四次，则无反面的概率为 ，有反面的概率为 。

5.电话号码由0，1，??9中的8数字排列而成，则电话号码后四位数字全都不相同的概率表示为 。

6.设公寓中的每一个房间都有4名学生，任意挑选一个房间，则这4人生日无重复的概率表示为 （一年以365天计算）。 7. 设A，B为两个事件，P(A)=0.4, ,P(B)=0.8,P(AB)=0.5,则P(B|A)= 。 8.设A，B，C构成一个随机试验的样本空间的一个划分，且P(A)?

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号

第一章 随机事件及其概率（一）

一．选择题

1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A）不可能事件 （B）必然事件 （C）随机事件 （D）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A）A1?{抽到的三个产品全是合格品} A2?{抽到的三个产品全是废品}

（B）B1?{抽到的三个产品全是合格品} B2?{抽到的三个产品中至少有一个废品} （C）C1?{抽到的三个产品中合格品不少于2个} C2?{抽到的三个产品中废品不多于2个} （D）D1?{抽到的三个产品中有2个合格品} D2?{抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A?B不等价的是

第一章 随机事件与概率

亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策。

──祖冲之

内容提要

1. 事件间的关系与运算（四种关系：包含关系、互不相容、对立和相互独立；三种运算：和、积与差；若干运算规律：交换律、结合律、分配律和对偶律：Ai?i?1?n ?A,?A??A）

iiii?1i?1i?1nnn2. 确定概率的三种方法：频率方法（P(A)?fn(A)?k(A出现的次数)；古典,n充分大）

n(试验的总次数)方法（用于求古典概型的随机试验中各种结果出现的概率：P(A)?（kA中的样本点数））；

（样本点总数）n几何方法（用于求几何概型的随机试验中各种结果出现的概率：P(A)?S（的度量）AA）；

S（??的度量）3. 概率的公理化定义及其简单性质

（1） 公理化定义：概率是定义在事件域??上的非负、规范、可列可加的实值函数：

1o非负性:P?A??02o规范性：P????13o可列可加性：PA1?A2???PA1?PA2??,,AiAj??(i?j)（2） 性质：

??????

1o.oP(?)?0,n?n?2.有限可加性:若A1,?

一、单项选择题 在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确

选项前的字母填在题后的括号内。

1．设A,B为两个事件，且B?A，则 （ ） A.P(A?B)?P(A)?P(B) B.P(A?B)?1?P(A) C.P(A?B)?P(A)?P(B) D.P(B?A)?1

2．对于事件设A,B，下列命题正确的是 （ ） A.若A,B互不相容，则A与B也互不相容 B.若A,B相容，则A与B也相容

C.若A,B互不相容，且概率都大于零，则A与B也相互独立 D.若A,B相互独立，则A与B也相互独立

3.设A,B,C为三个事件，“A,B中至少有一个发生而C不发生”，这一事件可表为 () A.AC?BC B.ABC?ABC?ABC C.ABC?BAC D. A?B?C 4.某工人生产了三个零件，Ai表示“他生产的第i个零件是正品”（i?1,2,3），则

第一章 随机事件与概率

教学要求

通过本章的教学，使学生达到以下几个方面的基本要求：

1、理解随机现象、样本空间和随机事件的概念，会用随机变量表示随机事件，掌握事件间的关系与运算；

2、理解概率的公理化定义及确定概率的三种方法(频率方法、古典方法与几何方法)，掌握概率的基本性质；

3、理解条件概率与独立性的概念，掌握与条件概率有关的三个基本公式(乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式)；

4、掌握概率的计算的基本方法：

(1) 概率的直接计算：古典概率与几何概率；

(2) 概率的间接推算：利用概率的基本性质、基本公式和事件的独立性，由较简单事件的概率推算较复杂事件的概率.

重点与难点

本章的重点是概率的计算，关键在于会判别概率的各种类型，然后选择相应的公式进行计算；难点是古典概率的计算与全概率公式的运用.

§1.1 随机事件及其运算

一、随机现象

自然界中有两类现象：

一类是“条件完全确定结果”的现象，就是在一定的条件下，只有一个结果出现的现象，这类现象称为确定性现象. 例如，每天早晨太阳从东方升起；水在标准大气压下加热到1000C就沸腾；一个口袋中有十只相同的白球，从中任取一只必为白球.

另一类是“条件不能完全确定结果”现象，就是在一定的

随机事件及其概率

【教学目标】

1、知识与技能：⑴了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；

⑵通过试验了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；

2、过程与方法：⑴创设情境，引出课题，激发学生的学习兴趣和求知欲；

⑵发现式教学，通过抛硬币试验，获取数据，归纳总结试验结果，体会随机事件发生的随机性和规律性，在探索中不断提高；

⑶明确概率与频率的区别和联系，理解利用频率估计概率的思想方法． 3、情感态度与价值观：⑴通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；

⑵培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识，并通过数学史实渗透，培育学生刻苦严谨的科学精神． 【重点与难点】

⑴重点：通过抛掷硬币了解概率的定义、明确其与频率的区别和联系； ⑵难点：利用频率估计概率，体会随机事件发生的随机性和规律性； 【教学方法】

引导发现法 直观演示法

【教学手段】通过多媒体辅助教学 【教学过程】 一、课题引入

日常生活中，有些问题是能够准确回答的.例如，明天太阳一定从东方升起吗？明天上午第一节课一定是六点40分上课吗？等等，这些事情的发生都是必然的.同时也有许多问题是很难给予准确回答的.例如，你明天什么时间来到学校？明天中午12：

第一章 概率论基础 第一

事件与样本空间

一 两类现象

1、确定性现象：在一定条件下，必然发生的现象。 2、随机现象：统计规律。 二 随机试验

1、重复性 2、确定性 3、随机性 三 样本空间

?={试验的所有可能结果} 样本点 ω

例1：从编号为1，2，3的球中，有放回地取两次，每次一只，考虑顺序，观察所取到的球。

解：?={11,12,13,21,22,23,31,32,33} 事件A：全有1号球 则 A ={11,12,13,21,31} 四 随机事件

定义：试验的某种结果称为随机事件，简称为事件。 一般用A,B,C表示。

注：1、随机事件通常是样本空间的子集。

2、事件的表示方法：①集合②文字叙述

3、一次试验的结果属于事件A，则称事件A在这次试验中发生。 4、基本事件 {ω} 不可能事件? 必然事件A=? 五 事件的关系与运算

设A,B是?的两个事件

1、包含：A?B 若事件A发生必然导致事件B发生。

2、相等：A=B

3、事件的并：A?B 事件A与B至少有一个发生。 4、事件的交：A?B或AB 事件A与B同时发生。

5、事件的差：A-B=A-(A?B) 事件

第一章 概率论基础 第一

事件与样本空间

一 两类现象

1、确定性现象：在一定条件下，必然发生的现象。 2、随机现象：统计规律。 二 随机试验

1、重复性 2、确定性 3、随机性 三 样本空间

?={试验的所有可能结果} 样本点 ω

例1：从编号为1，2，3的球中，有放回地取两次，每次一只，考虑顺序，观察所取到的球。

解：?={11,12,13,21,22,23,31,32,33} 事件A：全有1号球 则 A ={11,12,13,21,31} 四 随机事件

定义：试验的某种结果称为随机事件，简称为事件。 一般用A,B,C表示。

注：1、随机事件通常是样本空间的子集。

2、事件的表示方法：①集合②文字叙述

3、一次试验的结果属于事件A，则称事件A在这次试验中发生。 4、基本事件 {ω} 不可能事件? 必然事件A=? 五 事件的关系与运算

设A,B是?的两个事件

1、包含：A?B 若事件A发生必然导致事件B发生。

2、相等：A=B

3、事件的并：A?B 事件A与B至少有一个发生。 4、事件的交：A?B或AB 事件A与B同时发生。

5、事件的差：A-B=A-(A?B) 事件