高等数学同济第七版

第七章 多元函数积分学

§7．1 二重积分

一．直角坐标系中二重积分的计算 例1．计算

??xydxdy，其中D是由曲线xy?1，x?y?D5所围区域。 2

解：

??xydxdy??dx?D1225?x21x212??51??xydy ??1?x??x???dx

22?x????2?21651?2525314??ln2 ??x?x?x?lnx?1?1282?834?2 例2．计算 例3．计算

???xDD2?y2dxdy其中D是以y?x，y?x?a，y?a和y?3a ?a?0?为边的平行四边形区域。

?2y??dxdy其中D是由摆线x?a?t?sint?，

y?a?1?cost? ?0?t?2??的第一拱和x轴所围区域。

例4．计算

x?y?1???x?y?dxdy 例5．计算??2y?x2dxdy

x?10?y?2 例6．计算

?ye??dxdy，其中D由y?x，y?1和y轴所围区域。 D 例7．计算

sinydxdy其中D由y?x和y?x所围区域。 ??yD22D其中由x?y?2ax?a?0?与x轴围成上半圆区域。 ydxdy?? 二．极坐标系中二重积

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 86

第七章 空间解析几何与向量代数

§7.1 空间直角坐标系

§7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法

一、判断题。

1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量a,b，若a?b.则a=b同向。 ( ) 4． 若二向量a,b满足关系a?b=a+b,则a,b同向。 （ ）

????5． 若二向量a,b满足关系a?b=a+b，则a,b反向。 （ ）

6． 若

( ) 7． 向

量

a?b?a?c,则

b?c

a,b满足

aa=

bb，则

a,b同向。

专业 班级 姓名 学号 成绩 时间 86

第七章 空间解析几何与向量代数

§7.1 空间直角坐标系

§7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法

一、判断题。

1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量a,b，若a?b.则a=b同向。 ( ) 4． 若二向量a,b满足关系a?b=a+b,则a,b同向。 （ ）

????5． 若二向量a,b满足关系a?b=a+b，则a,b反向。 （ ）

6． 若

( ) 7． 向

量

a?b?a?c,则

b?c

a,b满足

aa=

bb，则

a,b同向。

同济高等数学公式大全

高等数学公式

导数公式：

(tgx)??sec2x(ctgx)???csc2x(secx)??secx?tgx(cscx)???cscx?ctgx(ax)??axlna(logax)??1xlna(arcsinx)??11?x21(arccosx)???1?x21(arctgx)??1?x21(arcctgx)???1?x2

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

?tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?Cdx1x?arctg?C?a2?x2aadx1x?a?ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x?ln?a2?x22aa?x?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a?2ndx2?cos2x??secxdx?tgx?Cdx2?sin2x??cscxdx??ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?cscx?ctgxdx??cscx?Cax?adx?lna?Cx?shxdx?chx?C?chxdx?shx?C?dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?C?2In??sinxdx??cosnxdx?00n?1In?2

复旦大学出版社 黄立宏主编的 高等数学(第三版)下册 课后习题答案 第七章

习题七

1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：

A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).

解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；

点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.

2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0;

在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0.

3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0;

y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0.

4. 求下列各对点之间的距离： （1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1

）s(2) (3)

s

s

s (4)

5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解：点(4，-3，5)到x轴，y

第八章 多元函数微分法及其应用

一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法

在求

?z?z时，应将y看作常量，对x求导，在求时，应将x看作常量，对y求导，所运用的是一元函?x?y数的求导法则与求导公式.

2、复合函数的偏导数的求法

设z?f?u,v?，u???x,y?，v???x,y?，则

?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v????，???? ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y几种特殊情况：

1）z?f?u,v?，u???x?，v???x?，则

dzdz?u?zdv???? dxdu?x?vdx?f?v2）z?f?x,v?，v???x,y?，则?x??x??v??x，

?z?f?z?f?v?? ?y?u?y3）z?f?u?，u???x,y?则

?zdz?u?zdz?u????， ?xdu?x?ydu?y3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况

设z?z?x,y?是由方程F?x,y,z??0唯一确定的隐函数，则

F?z??x?xFz?Fz?0?，

Fy?z???yFz?Fz?0?

或者视z?z?x,y?，由方程F?x,y,z??0两边同时对x(或y)求导解出

?z?z(或). ?x?y2）方程组的情况

由方程组??F?x,y,u,

第一章 函数与极限分析基础

函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁

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第一章

第一节 映射与函数一、集合 二、映射 三、函数

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一、 集合1. 定义及表示法简称集

定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 注: M 为数集*表示 M 中排除 0 的集 ; M

简称元

.

M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .目录 上页 下页 返回 结束

表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an

自然数集

ai N 0 , 1 , 2 , , n , n

n i 1

(2) 描述法： M x x 所具有的特征

例: 整数集合 Z x x N 或 x N p 有理数集 Q p Z , q N , p 与 q 互质 q 实数集合 R

高等数学公式

导数公式：

(tanx) sec2x(cotx) csc2x(secx) secx tanx(cscx) cscx cotx(ax) axlna

1

(logax)

xlna

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

(arcsinx)

1

x2

1

(arccosx)

x21

(arctanx)

1 x2

1

(arccotx)

1 x2

tanxdx lncosx C cotxdx lnsinx C

secxdx lnsecx tanx C cscxdx lncscx cotx C

dx1x

C a2 x2aadx1x a

ln x2 a22ax a Cdx1a x

a2 x22alna x Cdxx

arcsin C a2 x2

a

2

n

dx2

sec cos2x xdx tanx Cdx2

csc2 sinx xdx cotx C

secx tanxdx secx C

cscx cotxdx cscx C

ax

adx lna C

x

shxdx chx C chxdx shx C

dxx2 a2

ln(x x2 a2) C

2

In sinxdx cosnxdx

n 1

In 2n

x2a22

x adx x a ln

第一章 函数与极限分析基础

函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁

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第一章

第一节 映射与函数一、集合 二、映射 三、函数

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一、 集合1. 定义及表示法简称集

定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 注: M 为数集*表示 M 中排除 0 的集 ; M

简称元

.

M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .目录 上页 下页 返回 结束

表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an

自然数集

ai N 0 , 1 , 2 , , n , n

n i 1

(2) 描述法： M x x 所具有的特征

例: 整数集合 Z x x N 或 x N p 有理数集 Q p Z , q N , p 与 q 互质 q 实数集合 R

(tgx)′=secx(ctgx)′= csc2x(secx)′=secx tgx(cscx)′= cscx ctgx(ax)′=axlna(logax)′=

1xlna

2

(arcsinx)′=

1

x2

1

(arccosx)′=

x21

(arctgx)′=

1+x2

1

(arcctgx)′=

1+x2

∫tgxdx= lncosx+C∫ctgxdx=lnsinx+C

∫secxdx=lnsecx+tgx+C∫cscxdx=lncscx ctgx+C

dxx1

arctg=+C∫a2+x2aa

dxx a1

ln=∫x2 a22ax+a+C

dx1a+x

=∫a2 x22alna x+Cdxx

=+Carcsin∫a2 x2

a

π

2

n

dx2

sec=∫cos2x∫xdx=tgx+C

dx2

csc=∫sin2x∫xdx= ctgx+C

∫secx tgxdx=secx+C

∫cscx ctgxdx= cscx+C

ax

∫adx=lna+C

x

∫shxdx=chx+C∫chxdx=shx+C∫

dxx2±a2

=ln(x+x2±a2)+C

π

2

In=∫sinxdx=∫cosnxdx=

n 1

In 2n

∫∫∫

x2a22

x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C

22x2a2