常用积分公式24个

常 用 积 分 公 式

（一）含有ax?b的积分(a?0) 1．

dx1＝?ax?balnax?b?C

2．(ax?b)dx＝

??1(ax?b)??1?C（???1）

a(??1)3．

x1dx(ax?b?blnax?b)?C ＝?ax?ba2x21?1?dx＝3?(ax?b)2?2b(ax?b)?b2lnax?b??C 4．?ax?ba?2?5．

dx1ax?b＝??x(ax?b)blnx?C

6．

?dx1aax?b＝??ln?C 22x(ax?b)bxbx7．

1bx(lnax?b?)?C dx＝?(ax?b)2a2ax?b1b2x2)?C 8．?dx＝3(ax?b?2blnax?b?aax?b(ax?b)29．

?dx11ax?b＝?ln?C

x(ax?b)2b(ax?b)b2x（二）含有ax?b的积分

23(ax?b)?C ?3a2(3ax?2b)(ax?b)3?C 11．?xax?bdx＝215a22(15a2x2?12abx?8b2)(ax?b)3?C 12．?xax?bdx＝3105a10．

ax?bdx＝13．

?2xdx＝2(ax?2b)ax?b?C

3aax?b1

14．

?2x2(3a2x2?4abx?8b2)ax?b?C dx＝31

常用的求导积分公式及解法

常用的求导积分公式及解法 1．基本求导公式

⑴ (C) 0（C为常数）⑵ (xn) nxn 1；一般地，(x ) x 1。 特别地：(x) 1，(x2) 2x，()

1x

11

，。 (x) 2

x2x

⑶ (ex) ex；一般地，(ax) axlna (a 0,a 1)。 ⑷ (lnx)

11

(a 0,a 1)。 ；一般地，(logax)

xxlna

2．求导法则 ⑴ 四则运算法则

设f(x)，g(x)均在点x可导，则有：（Ⅰ）(f(x) g(x)) f (x) g (x)； （Ⅱ）(f(x)g(x)) f (x)g(x) f(x)g (x)，特别(Cf(x)) Cf (x)（C为常数）； （Ⅲ）(

f(x)f (x)g(x) f(x)g (x)1g (x)

，特别。 ) , (g(x) 0)() 22

g(x)g(x)g(x)g(x)

3．微分 函数y f(x)在点x处的微分：dy y dx f (x)dx 4、 常用的不定积分公式

1 1x2x32

xdx 1x C ( 1), dx x c, xdx 2 c, xdx 3（1） ；

4x3

xdx c 4

1axxxx

C (a 0,

2.基本积分公式表

(1)∫0dx=C (2)(3)(4)(5)

=ln|x|+C

(m≠-1，x>0) (a>0,a≠1)

(6)∫cosxdx=sinx+C (7)∫sinxdx=-cosx+C (8)∫sec2xdx=tanx+C (9)∫csc2xdx=-cotx+C (10)∫secxtanxdx=secx+C (11)∫cscxcotxdx=-cscx+C (12)(13)注．(1)(2)

=arcsinx+C =arctanx+C 不是

在m=-1的特例．

=ln|x|+C ，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．

事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则 (ln|x|)' =(ln(-x))' =(3)要特别注意积分．

下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．

3.不定积分的四则运算

根据微分运算公式 d(f(x)?g(x))=df(x)?dg(x)

与

.

的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的

d(kf(x))=kdf(x)

我们得不定积分的线性运算公式

(1)∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx (2)∫kf(x)dx=k∫f(x)dx，k是非零常数.

现在可利用这两个公式与基本积分公式来计算简单不定积分．

08070141常用导数和积分公式

导数公式：

? (1) (C)?0 ? (3) (sinx)?cosx

???1?(x)??x (2)

? (4) (cosx)??sinx

(5)

(tanx)??sec2x (7) (secx)??secxtanx

(9)

(ax)??axlna (log1 (11)

ax)??xlna

(arcsinx)??1 (13)

1?x2

(arctanx)??1 (15)

1?x2

(cotx)???csc2x (cscx)???cscxcotx

(ex)??ex

(lnx)??1x，

(arccosx)???11?x2(arccotx)???11?x2

(6)

(8) (10) (12)

(14)

(16)

08070141常用导数和积分公式

基本积分表

?tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?Cdx1x?arctg?C?a2?x2aadx1x?a?ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x??a2?x22alna?x?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a?2ndx

各种积分公式,公式大概分为四类,

北京理工大学

微积分-积分定理集锦

常用积分公式 定理

程功 2010/12/22

各种积分公式,公式大概分为四类,

定理

1.积分存在定理

1）当函数f(x)在区间 a,b 上连续时，称f(x)在区间 a,b 上可积.

2）设函数f(x)在区间 a,b 上有界，且只有有限个间断点，则f x 在区间 a,b 上可积。

2.性质：1 [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx（此性质可以推广到有限多个函数求和的

a

a

a

bbb

情况）。

性质2. kf(x)dx k f(x)dx k为常数

a

a

bb

假设a c b，性质3： f(x)dx f(x)dx f(x)dx（定积分对于积分区间具有可加性）

a

a

c

bcb

性质4: 1 dx badx b a

a

b

性质5：如果在区间 a,b 上f(x) 0,则 f(x)dx 0 (a b)

a

b

推论（1）：如果在区间[a,b]上，f(x) g x 则 f(x)dx g(x)dx(a b)

a

a

bb

推论（2）：

b

a

f()xdx fx a b

a

b

性质6：设M及m分别是函数f x 上的最大值与最小值，则

m(b a) f(x)dx M(b a)

a

b

3.定积分中值定理

如果函数f x

不定积分基本公式

第二节 不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of Undefined

Integral and Direct Integral）

课 题：1. 不定积分的基本公式 2. 不定积分的直接积分法 课堂类型：讲授 教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。 教学重点：不定积分的基本公式 教学难点: 直接积分法 教 具：多媒体课件 教学方法： 教学内容：

一、不定积分的基本公式

由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。 导数的基本公式 不定积分的基本公式

(C) 0x 1

(x 1)

1 x (ex) ex(ax) axlna1x

(sinx) cosx(cosx) sinx(lnx) (tanx) sec2x(cotx) csc2x(secx) secxtanx(cscx) cscxcotx(arcsinx)

1

(arctanx)

1 x2

(arccosx) 1

(arccotx)

1 x21

(logax)

xlna

0dx C dx x C

x 1

xdx 1

所有微积分公式《全》

·两角和与差的三角函数

　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

　　·和差化积公式：

　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　·积化和差公式：

　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

　　cosα·cosβ

高考必备：高中数学常用公式及常用结论（共203个）

1. 元素与集合的关系

x?A?x?CUA,x?CUA?x?A. 2.德摩根公式

CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB.

3.包含关系

A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA

?A?CUB???CUA?B?R

4.容斥原理

card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B)

card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC?card(A?B)

?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C).

5．集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2–1个；非空的真子集有2–2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)?ax?bx?c(a?0); (2)顶点式f(x)?a(x?h)?k(a?0); (3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0). 7.解连不等式N?f(x)?M常有以下转化形式

22nnnnN?f(x)?M?[f(x)?M][f(x)?N]?0

M?NM?Nf(x)?N|??0 ?|f(x)??22M?f(x)11?.

14、水利常用专业计算公式

一、枢纽建筑物计算

1、进水闸进水流量计算： Q=B0δεm（2gH03）1/2 式中：m —堰流流量系数 ε—堰流侧收缩系数 2、堰流过水流量计算： Q=B0δεm（2gH03）1/2 式中：m —堰流流量系数 ε—堰流侧收缩系数 δ—堰流淹没系数 3、挖深式消力池校核长度计算： Lsj=Ls+βLj

1

式中：Lsj —消力池长度（m）

Ls —消力池斜坡段投影长度（m） β —水跃长度校正系数 Lj —水跃长度（m） 4、挖深式消力池深度按下式校核： d= hc hs △Z Ls+β Lj 式中：d —消力池深度 (m) hc—水跃跃后水深 (m) hs—出池河床水深 (m) △Z—出池落差 (m) 5、护坦式海漫长度计算 Lp=Ks（q（△H）1/2）1/2 式中：Lp —海漫长度 (m)

2

Ks —海漫长度计算系数

q —消力池末端单宽流量（m3

/s） △H —下泄时上下游水位差（m） 6、稳定河宽阿尔图宁公式： B=AQ0.5/J0.2

式中：B —稳定河宽（m） A —河宽系数取1.5（m2

） Q —造床流量（m3

/s）

常用函数公式及技巧搜集

【身份证信息提取】

从身份证号码中提取出生年月日

=IF(LEN(A2)=15,\\

从身份证号码中提取出性别

=IF(MOD(MID(A1,15,3),2),\男\女\

从身份证号码中进行年龄判断

以2006年10月31日为基准日,按按身份证计算年龄(周岁)的公式

=DATEDIF(TEXT(MID(A1,7,6+(LEN(A1)=18)*2),\

按身份证号分男女年龄段

按身份证号分男女年龄段，身份证号在K列，年龄段在J列（身份证号为18位） 男性16周岁以下为 1 男性16周岁（含16周岁）以上至50周岁为 2 男性50周岁（含50周岁）以上至60周岁为 3 男性60周岁（含60周岁）以上为 4 女性16周岁以下为 1 女性16周岁（含16周岁）以上至45周岁为 2 女性45周岁（含45周岁）以上至55周岁为 3 女性55周岁（含55周岁）以上为 4

=MATCH(DATEDIF(DATE(MID(K1,7,4),MID(K1,11,2),MID(K1,13,2)),TODAY(),\,50,60}-{0,0,5,5}*ISEVEN