正交矩阵的性质及特征

正交矩阵与酉矩阵的性质和应用

0 前 言.......................................................................................................................... 1 1 欧式空间和正交矩阵................................................................................................ 2

1.1 欧式空间.......................................................................................................... 2 1.2 正交矩阵的定义和性质.................................................................................. 2

1.2.1 正交矩阵的定义和判定....................................

给出行正交矩阵的概念,并讨论行正交矩阵的行列式、可逆性、特征值、迹等问题,得到行正交矩阵的行列式、等于正负1、行正交矩阵的逆矩阵和伴随矩阵仍是行正交矩阵以及一些等价条件.

第 3卷第 1 7期

西南民族大学学报 然科学版自J u a f o t we t i e s y f r t n l i sNau a c e c i o o r l u h s v r i o i ai e t r l i n eEd t n n o S Un t Na o t S i

文章编号： 0 324 (0 1 1 0 10 10 832 1) - 7— 0 0 4

行正交矩阵的一些性质贾书伟，何承源(西华大学数学与计算机学院，四川成都 6 0 3 ) 10 9

摘

要：给出行正交矩阵的概念，并讨论行正交矩阵的行列式、可逆性、特征值、迹等问，题得到行正交矩阵的行列式

等于正负 l、行正交矩阵的逆矩阵和伴随矩阵仍是行正交矩阵以及一些等价条件.关键词：矩阵；正交矩阵；行正交矩阵； (对称矩阵行列)中图分类号： 5 . Ol 1 2文献标志码： A

d i 03 6/i n10 -4 3 0 0 .1 o:1 . 9 .s.0 32 8. 1.1 8 9 js 2 1

正交矩阵的作用

引言

正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.

首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义

定义1 n阶实矩阵A，若满足A?A?E，则称A为正交矩阵. 定义2 n阶实矩阵A，若满足AA??E，则称A为正交矩阵. 定义3 n阶实矩阵A，若满足A??A?1，则称A为正交矩阵. 定义4 n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质

设A为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A∣=±1，A-1存在，并且A-1也为正交矩阵； <2>A′，A*也是正交矩阵；

当∣A∣=1时，A??A*，即aij?Aij；

1

当∣A∣=-1时,A???A*,即aij??Aij.

<3>若B也是正交矩阵，则AB,A?B,AB?,A?1B,AB?1都为正交 矩阵.

证明 <1>显然 A??1

(A?1)???A???(A?1)?1 所以A?1也是正交矩阵.

?1<2>A??A?1，显然A?为正交矩阵.

A*由 A??1，A??A

LUOYANG NORMAL UNIVERSITY

2012届 本科毕业论文

正定矩阵的性质及推广

院（系）名称 专 业 名 称 学学指

导

教生

姓

名 号 师

数学科学学院 数学与应用数学

李俊霞 080414076 黄盛 讲师 2012.5

完 成 时 间

洛阳师范学院本科毕业论文

正定矩阵的性质及推广

李俊霞

数学科学学院 数学与应用数学专业 学号： 080414076

指导教师：黄盛

摘要：正定矩阵是一类比较重要且应用广泛的矩阵，作为一种特殊的矩阵，当然有许多与其它矩阵不同的性质，本文首先给出了正定矩阵的若干性质. 其次，给出了正定矩阵在证明不等式、求函数的极值、多项式因式分解等方面的具体应用. 最后对正定矩阵作了进一步的推广，得到了广义正定矩阵的一些性质，并给出了相应的证明.

关键词：正定矩阵；广义正定矩阵；正对角矩阵；实对称矩阵

1 关于正定矩阵的定义

本科阶段学习的正定矩阵局限于实对称矩阵，它的常规定义为

定义1?1? n阶实对称矩阵A称为正定的，如果对?0?X??x1,x2, ... ,xn??Rn?1 ,都

T有XTAX?0.这种正定矩阵的全体记作PS.

1970年，C.R.Johnson首先提出了较广义的正

JIU JIANG UNIVERSITY

毕 业 论 文 （设 计）

题 目幂等矩阵的性质及应用 英文题目Properties and Application

of Idempotent Matrix

院 系 理学院 专 业 数学与应用数学 姓 名 邱望华 年 级 A0411 指导教师 王侃民

二零零八年 五月

摘 要

幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。

[关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合

I

Abstract

The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well

正交多项式的性质

（李锋，1080209030）

摘要：本文主要阐述了由基{1,x,x2,?,xn,?}按G-S正交化方法得到的正交多项式的一些有用性质及

其证明过程，包括正交性，递推关系，根的分布规律等。

正如在最佳平方逼近的讨论中看到的那样，正交多项式能够使得由其生成的Gram矩阵

的形式极其简单，为非奇异对角矩阵，从而大大降低了求解最佳平方逼近多项式的系数的计算，也避免了计算病态的矩阵方程。同时在数值积分方面，它也有着非常重要的应用。因而，有必要分析正交多项式有用的性质。

在区间[a,b]上，给定权函数?(x)，可以由线性无关的一组基{1,x,x2,?,xn,?}，利

用施密特正交化方法构造出正交多项式族{?n(x)}?由?n(x)生成的线性空间记为?。对0，

*于f(x)?C[a,b]，根据次数k的具体要求，总可以在?在找到最佳平方逼近多项式?k (x)。

?n(x)的具体形式为：

(xn,?k)?0(x)?1;?n(x)?x???k(x),n?1,2?

k?0(?k,?k)nn?1这样构造的正交多项式?n(x)具有以下一些有用的性质： 1.

?n(x)为最高次数项系数为1的n次多项式；

2. 任一不高于n次的多项式都可以表示成

???kk?0

幂零矩阵性质及应用

数本041 严益水 学号：410401109

摘要：

幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。

关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识

（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）

（一） 一些概念

1、令A为n阶方阵，若存在正整数k，使Ak?0，A称为幂零矩阵。 2、若A为幂零矩阵，满足Ak?0的最小正整数称为A的幂零指数。

?a11?a1n??a11?an1?????3、设A??????，称A???????为A

幂零矩阵性质及应用

数本041 严益水 学号：410401109

摘要：

幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。

关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识

（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）

（一） 一些概念

1、令A为n阶方阵，若存在正整数k，使Ak?0，A称为幂零矩阵。 2、若A为幂零矩阵，满足Ak?0的最小正整数称为A的幂零指数。

?a11?a1n??a11?an1?????3、设A??????，称A???????为A

安庆师范学院数学与计算科学学院2013届毕业论文

矩阵迹的若干个性质与应用

姓名：某某 指导老师：某某

摘 要：根据矩阵迹的定义,首先给出了矩阵迹的性质,然后依据方阵的F?范数定义Cauchy —Schwarz

不等式,给出了零矩阵,不相似矩阵,数幂矩阵,列矩阵,幂等矩阵及矩阵不等式的证法。矩阵的迹在解题中的应用给出了实例。

关键词：迹 矩阵 范数 特征值

1 引言

矩阵的迹及其应用是高等数学的重要内容，也是工程理论研究中的重要工具。本文在前人研究的基础上，首先介绍了矩阵迹的相关性质，然后给出了零矩阵，不相似矩阵，数幂矩阵，列矩阵，幂等矩阵及矩阵不等式的证法，最后对矩阵的应用给出实例。

2 预备知识

定义1 设

A?(aij)?Cn?n,则trA??aii称为A 的迹。

i?1n定义2 设

nnA?(aij)?Cn?n,记与向量范数AX2相容的A 的F 一范数为: 212AF?(??aij)

i?1j?1(1)A?0?AF?0

(2) KAF?K?AF,?K?C(3) A?B(4) AB(5) AXF

?AF?BF,?A,B?Cn

F?AF?BF,?A,B?Cn?n ?AF2?X2

引理：矩阵迹的性质: 1

本科生学年论文（设计）

论文（设计）题目 正定矩阵的性质及应用 作 者 分院、 专业 理学分院数学与应用数学专业 班 级

指导教师（职称） 字 数 5488 成果完成时间

正定矩阵的性质及应用

摘 要：我们在化二次型为标准型的过程中，得到了正定矩阵的定义，而关于正定矩阵的等价定理及其性质我们在本文中进行了详细的举例及证明．同时，本文也就正定矩阵的性质在矩阵、不等式和极值问题的应用进行了深刻的探讨． 关键词：正定矩阵；等价定理；性质；应用

The nature and application of positive definite matrices

Abstract：We are o