高中数学选修一空间向量与立体几何

空间向量与立体几何

高二数学空间向量测试题

第Ⅰ卷

一 选择题

1、在下列命题中：

①若向量a、b共线，则a、b所在的直线平行；

②若向量a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面； ③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；

④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc． 其中正确命题的个数为 （ ）

A .0 B. 1 C. 2 D. 3 2、空间四边形ABCD中，,,,则CD ( )

A．

B.

C．

D．

A．

62636465 B. C. D. 7777

9、在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，BC 二面角B－AD－C的大小为

( )

1

AB，这时2

A．60°

B．45° C．90°

D．120°

10、矩形ABCD中，AB＝1，BC

的角是( ) A．30°

B．45°

2，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面A

向量法解立体几何

1、直线的方向向量和平面的法向量

⑴．直线的方向向量： 若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.

⑵．平面的法向量： 若向量n所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作

n??，如果n??，那么向量n叫做平面?的法向量.

⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：

①建立适当的坐标系．

②设平面?的法向量为n?(x,y,z)．

③求出平面内两个不共线向量的坐标a?(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)．

??n?a?0④根据法向量定义建立方程组?.

??n?b?0⑤解方程组，取其中一组解，即得平面?的法向量.

2、用向量方法判定空间中的平行关系

⑴线线平行。设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即

a?kb(k?R).

⑵线面平行。设直线l的方向向量是a，平面?的法向量是u，则要证明l∥?，只需证明

a?u，即a?u?0.

⑶面面平行。若平面?的法向量为u，平面?的法向量为v，要证?∥?，只需证u∥v，即证u??v.

3、用向量方法判定空间的垂直关系

⑴线线垂直。设直线l1,l2的方向向量分别是a、b，则要

3.2 立体几何中的向量方法（1）空间向量与平行关系

学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.

知识点一 直线的方向向量与平面的法向量

思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？

答案 (1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用→→

向量OP来表示.我们把向量OP称为点P的位置向量.

(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.

→→

②对于直线l上的任一点P，存在实数t，使得AP＝tAB，此方程称为直线的向量参数方程. (3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.对于平面α上的任一点

P，a，b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得OP＝xa＋yb.

②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示. 梳理 (1)用向量表示直线的位置 条件 直线l上一点A 表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量) →

→→形式 在直线l上取→AB＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得AP＝tAB

。 。 。 内部文件，版权追溯 3.1.2 空间向量的基本定理

课堂探究

探究一 共线向量定理的应用

判定向量共线就是利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立．同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即向量a与b共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线．

【典型例题1】 如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点．判断CE与MN是否共线？

→→

思路分析：由共线向量定理，要判断CE与MN是否共线，即看能否找到x，使CE＝xMN成立．

解：∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，

→→→→→→→→1→→1→∴MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB.

22

1→→→1→→→→→→又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－CA＋CE－AF－FB，

221→→1→1→→→1→∴CA＋AF＋FB＝－CA＋CE－AF－FB， 2222

→→→→→→→→∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)＝2MN，

∴CE∥MN，即CE与MN共线． 探究二 共面向量定理的应用

判断三个(或三个以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，

。 。 。 内部文件，版权追溯 3.1.2 空间向量的基本定理

课堂探究

探究一 共线向量定理的应用

判定向量共线就是利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立．同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即向量a与b共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线．

【典型例题1】 如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点．判断CE与MN是否共线？

→→

思路分析：由共线向量定理，要判断CE与MN是否共线，即看能否找到x，使CE＝xMN成立．

解：∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，

→→→→→→→→1→→1→∴MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB.

22

1→→→1→→→→→→又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－CA＋CE－AF－FB，

221→→1→1→→→1→∴CA＋AF＋FB＝－CA＋CE－AF－FB， 2222

→→→→→→→→∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)＝2MN，

∴CE∥MN，即CE与MN共线． 探究二 共面向量定理的应用

判断三个(或三个以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，

。 。 。 内部文件，版权追溯 3.1.2 空间向量的基本定理

课堂探究

探究一 共线向量定理的应用

判定向量共线就是利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立．同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即向量a与b共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线．

【典型例题1】 如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点．判断CE与MN是否共线？

→→

思路分析：由共线向量定理，要判断CE与MN是否共线，即看能否找到x，使CE＝xMN成立．

解：∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，

→→→→→→→→1→→1→∴MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB.

22

1→→→1→→→→→→又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－CA＋CE－AF－FB，

221→→1→1→→→1→∴CA＋AF＋FB＝－CA＋CE－AF－FB， 2222

→→→→→→→→∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)＝2MN，

∴CE∥MN，即CE与MN共线． 探究二 共面向量定理的应用

判断三个(或三个以上)向量共面，主要使用空间向量共面定理，

关于空间向量与立体几何

1 空间向量与立体几何

一、平行与垂直问题

（一） 平行

线线平行 线面平行 面面平行 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括直线在平面内，面面平行包括面面重合。

（二） 垂直

线线垂直 线面垂直 面面垂直 注意：画出图形理解结论

二、夹角与距离问题

（一） 夹角

（二）距离

点、直线、平面之间的距离有7种。点到平面的距离是重点.

1．已知四棱锥P A B C D -的底面为直角梯形，//A B D C ，

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ∥m ?a ∥b a k b ?=

；

l ∥α?a

u ⊥ 0a u ??=

；

α∥β?u ∥v .u k v ?=

设直线,l m 的方向向量分别为

,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ⊥α?a ∥u a k u ?= ；

l ⊥m ?a ⊥b 0a b ??=

；

α⊥β?u ⊥v .0=??v u

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则

①两直线l ,m 所成的角为θ(02π

θ≤≤),cos a b

a b

θ?=

；

②直线l 与平面α

人教版高中数学选修2-1导学案

第三章空间向量与立体几何复习

设计者： 审核者： 执教： 使用时间：

学习目标

1．掌握空间向量的运算及其坐标运算；

2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具.

________________________________________________________________________________ 自学探究

问题1. 空间向量的基本概念，运算规律有哪些？

【试试】已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )

33，，－3333C． (－，，33A． (

3333) B． (，－，) 33333333) D． (－，－，－) 3333问题2. 用向量解决立体几何中的平行，垂直，距离，角度这些问题所使用的方法是什么？

【试试】若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( )

A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确 【技能提炼】

1. 如图,

第三章 空间向量与立体几何

本章归纳整合

高考真题

1．(2011·课标全国卷)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD. (1)证明：PA⊥BD；

(2)若PD＝AD，求二面角A - PB - C的余弦值．

证明 (1)因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝3AD. 从而BD＋AD＝AB，故BD⊥AD. 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD. 所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD.

(2)解 如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射 线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系D－xyz， 则A(1，0，0)，B(0，3，0)，C(－1，3，0)，P(0，0， 1)． →

2

2

2

AB＝(－1，3，0)，PB＝(0，3，－1)，BC＝(－1，0，

0)．

设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)， →??n·AB＝0，?－x＋3y＝0，则?即?

→??n·PB＝0.?3y－z＝0.因此可取n＝(3，1，3)．

→??m·PB＝0，

设平面PBC的法向量为m，则?

→??m·BC＝0.

－427

可取m＝(0，－1，－3)．cos〈m，n〉＝＝－.

72727

故二面角

Now similar concerns are being raised by the giants（巨头）that deal in data, the oil of the digital age. The most valuable firms are Google,Amazon,3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程

课后导练

基础达标

1.已知A（1，1，0），

=（4，0，2）,点B的坐标为（ ）

A.（7，-1，4） B.(9,1,4) C.(3,1,1) D.(1,-1,1) 答案：B 2.

=(-1,2,3)，

=（l,m,n），

=（0，-1，4），则

等于（ ）

A.（-1+l，1+m,7+n） B.(1-l,-1-m,-7-n)

C.(1-l,1-m,7-n) D.(-1+l,-1+m,-7+n) 答案：B

3.若a=(0,1,-1)，b=(1,1,0)，且(a+λb)⊥a，则实数λ的值是（ ） A.-1