数学必修二平面向量

高中数学学习资料--向量部分

高中数学必修内容复习---平面向量

一、 选择题（每题3分，共54分）

1

1、已知向量 (3, 2), ( 5, 1),则等于（

2

1

A．(8,1) B．( 8,1) C．(4, )

22、已知向量a (3, 1),b ( 1,2),则 3a 2b的坐标是（ ）

A．(7,1)

B．( 7, 1)

C．( 7,1)

）

）

1

D．( 4,)

2

D．(7, 1)

3、已知 ( 1,3), (x, 1),且∥，则x等于（

A．3

B． 3

1C．

3

1D．

3

4、若a (3,4),b (5,12),则a与b的夹角的余弦值为（ ）

A．

63 65

B．

33

65

C．

33 65

D．

63 65

5 4 6，与的夹角是135 ，则 等于（ ）

A．12

B．122

C． 122 ）

C．( 9,6)

1

D．(3, )

2

D． 12

6、点( 3,4)关于点B( 6,5)的对称点是（

A．( 3,5)

9

B．(0,)

2

7、下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（ ）

A．(3, 2)

B．(2,3)

C．( 4,6)

D．( 3,2)

8、已知A、B、C三点共线，且A、B、C三点的纵坐标分别为2、5、10，则点A分 所成的比是(

)

3A．

8

3B．

8

8C．

3

8D．

3

9、在平行四边形

高中数学学习资料--向量部分

高中数学必修内容复习---平面向量

一、 选择题（每题3分，共54分）

1

1、已知向量 (3, 2), ( 5, 1),则等于（

2

1

A．(8,1) B．( 8,1) C．(4, )

22、已知向量a (3, 1),b ( 1,2),则 3a 2b的坐标是（ ）

A．(7,1)

B．( 7, 1)

C．( 7,1)

）

）

1

D．( 4,)

2

D．(7, 1)

3、已知 ( 1,3), (x, 1),且∥，则x等于（

A．3

B． 3

1C．

3

1D．

3

4、若a (3,4),b (5,12),则a与b的夹角的余弦值为（ ）

A．

63 65

B．

33

65

C．

33 65

D．

63 65

5 4 6，与的夹角是135 ，则 等于（ ）

A．12

B．122

C． 122 ）

C．( 9,6)

1

D．(3, )

2

D． 12

6、点( 3,4)关于点B( 6,5)的对称点是（

A．( 3,5)

9

B．(0,)

2

7、下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（ ）

A．(3, 2)

B．(2,3)

C．( 4,6)

D．( 3,2)

8、已知A、B、C三点共线，且A、B、C三点的纵坐标分别为2、5、10，则点A分 所成的比是(

)

3A．

8

3B．

8

8C．

3

8D．

3

9、在平行四边形

第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例

考纲要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

1．平面向量的数量积

若两个__非零__向量a与b，它们的夹角为θ，则__|a||b|cos θ__叫做a与b的数量积(或内积)，记作__a·b＝|a||b|cos θ__.

规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.

两个非零向量a与b垂直的充要条件是__a·b＝0__，两个非零向量a与b平行的充要条件是__a·b＝±|a||b|__.

2．平面向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影__|b|cos θ__的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a＝a·e＝__|a|cos〈a，e〉__； (2)非零向量a，b，a⊥b?__a·b＝0__；

(3)当a与b同向时，a·b＝__|a||b|__；当a与b反向时，a·b＝_

1 平面向量的数量积

【考点梳理】

1．平面向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.

(2)几何意义：数量积a 2b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．

2．平面向量数量积的运算律

(1)交换律：a 2b ＝b 2a ；

(2)数乘结合律：(λa )2b ＝λ(a 2b )＝a 2(λb )；

(3)分配律：a 2(b ＋c )＝a 2b ＋a 2c .

3．平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.

考点一、平面向量数量积的运算

【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →2BC →的值为( )

A ．－58

B ．18

C ．14

D ．118

(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →2AP →的最大值为

________.

[答案] (1)B (2) 6

2 [解析] (

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向量

1、在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点,则（ ）

???????1??????????????????????????A、AB与AC共线 B、DE与CB共线C、ADsin?与AE相等 D、AD与BD相等

2、下列命题正确的是（ ）

????????A、向量AB与BA是两平行向量

????aaB、若、b都是单位向量,则=b

????????C、若AB=DC,则A、B、C、D四点构成平行四边形

D、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3、在下列结论中，正确的结论为（ ）

????????????(1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件；(2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件；????????????(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件；(4)a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条

件A、(1)(3) B、(2)(4) C、(3)(4) D、(1)(3)(4)

4、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向

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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

课堂导学

三点剖析

1.两个向量数量积的坐标表示

【例1】 已知向量a=(4,3),b=(-1,2). (1)求a与b的夹角θ的余弦值；

（2）若向量a-λb与2a+b垂直，求λ的值. 解：(1)a·b=4×(-1)+3×2=2,

又∵|a|=32?42=5,|b|=12?22?5, ∴cosθ=

a?b225. ??|a||b|5525(2)a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8).

∵(a-λb)⊥(2a+b), ∴(a-λb)·(2a+b)=0. ∴7×(4+λ)+8(3-2λ)=0. ∴λ=

52. 9温馨提示

运用数量积解决有关角度、长度、垂直问题的关键是正确地使用运算公式. 2.数量积坐标表示的应用

【例2】已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.

a?(a?b)|a|2?a?b思路分析：根据向量夹角公式得：cosθ=,须根据已知条件找到?|a||a?b||a||a?b|a·b与a的关系.|a+b|与|a|的关系即可解决. 解法1：

22

根据|a|=|b|,有|a|=|b|.

222

又由|b|=|a-b|,得

第四节

平面向量及其加减法

22.7 平面向量上海市民办文绮中学 杨卓远

试一试：

在上新课之前，

谈谈你对向量的了解！ 越多越好哟！

课题引入如图，从点A向东走5米到达点B,与从点A向

北走5米到达点C,两者有什么区别？再看从点A向东走5米到达点B,与从点A向西 走5米到达点D,两者又有什么区别？C

5米 5米D

5米AB

向量的定义由以上的讨论可以看出，世界上确实存在着“既有大小、又有方向的量” . 表明我们有必 要对这种量进行学习和研究.

既有大小、又有方向的量叫做向量(vector) .C

5米 5米D

5米AB

向量的表示方法 图中向量可表示为：有向线段 AB ,其中 A为始点，B为终点.B

AB的大小，称为向量的模，记作 AB ;

始点 A和终点 B间的距离表示向量

A

自始点 A指向终点 B的方向表示向量的方向.

比较：线段 AB与线段 BA一样吗？向量 AB 与向量 BA一样吗？

向量的表示方法向量还可以用小写的粗体英文字母表示，如 a、b、c、…;手写时，在字母上方加箭头，

如 a 、b 、c 、…(见下图),它们的模分别 b c 记作 a 、 、 、… .

a

b

c

练习：如图，

复习引入：

新授： 1. 向量的概念

把既有大小、又有方向的量，叫做向量．记为向量a,b,c,...等，在书写时，则在小写西文字

???符的上方加一个小箭头，例如a,b,c,...等．

如果向量的方向限于平面内，则叫做平面向量．

??? 向量的大小是一个非负数量，叫做向量的模．记为|a|,|b|,|c|,...或|a|,|b|,|c|,...．

特别地，若一个向量的模为单位1，则叫做单位向量，单位向量常记作e．若一个向量的模为0，则叫做零向量，零向量总是记作0．零向量的长度为0，且规定零向量0的方向是可以任意确定的．

为了更直观的反映确定向量的大小、方向，我们又把向量 表示成如图7-2(1)上所示的带箭头的短线段，箭头的方向表示 了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量 的模(即大小)．有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标 出起终点(见图7-2(2))，此时可以以AB,CD,B1C1等表 示向量，而向量的模，也就对应地表示为|AB|,|CD|,|B1C1|．

A D 图7-2(2)

B1

B C C1

a b 图7-2(1)

c

由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的

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2.3.1 平面向量基本定理

学习目标：1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．(重点)2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．(难点)3.两个向量的夹角与两条直线所成的角．(易混点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．平面向量基本定理

条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量 结论 对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 思考：(1)0能与另外一个向量a构成基底吗？ (2)平面向量的基底是唯一的吗？

[提示] (1)不能．基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的．

(2)不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．

2．向量的夹角

条件 两个非零向量a和b →→作向量OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角 产生 过程 范围 特殊 情况 θ＝0° θ＝90° θ＝180° [基础自测]

1．思考辨析

(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (2

从平面向量到空间向量学案

第一节 ：从平面向量到空间向量

设计人：陈维江 审核人：席静

上课时间： 班级： 姓名：

学习目标：1、理解空间向量的概念；

2、掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；

3、掌握两个空间向量的夹角、空间向量的方向向量和平面的法向量的概念。

学习重点：理解两个向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念 学习难点：理解共面向量的概念

新课学习：

看课本25-26页回答下列问题：

从平面向量到空间向量学案

做27页练习 总结：本节概念较多，多看课本，理解概念是关键。 课后作业：