高等代数与解析几何同济大学第二版答案

高等代数与解析几何复习题

第一章 矩阵

一、 填空题

1.矩阵

A与B的乘积AB有意义，则必须满足的条件是 。

? 。

2.设A?(aij)m?s,B?(bij)s?n,又AB?(cij)m?n，问cij3.设

A与B都是n级方阵，计算(A?B)2? , (A?B)2? ,

(A?B)(A?B)? 。

4.设矩阵A???12??,试将A表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。 34?? （注意：任意n阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）

?20?1???T5.设X?(1,2,1),Y?(2,1,?3),A?013,计算XAY? 。

????122???6.设向量???1,2,3?,??(1,1,1)T，则??? ，??? 。 ?20?100?，则A? 。

?03?7.设矩阵A???2

高代与解几第二章自测题（一）——行列式

一、 判断题

1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ） 2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ） 3. n?2时，n级的奇排列共

n !个. （ √ ） 2二、填空题

1. 排列(15342 )的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列13?(2n?1)(2n)(2n?2)?2 的逆序数是 n(n－1) . 2. 设行列式D?aijn?n,则a11A11?a12A12?...?a1nA1n= D ，a11A51?a12A52?...?a1nA5n= 0 .

?x12323xx23. 行列式D＝的展开式中x4的系数是 -4 ，常数项是 -18 . 12x?33x122x

4. 排列j1j2?j8的逆序数是9，则排列 j8j7?j1 的逆序数是 19 .

75. 设D?6232?13?2，则M11?M12?M13?M14= 240 . 41948?127?8

二、证明题

2?20?0002?000?0???0?000?2123?n?1n3. Dn??22?（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）

0??2122?2222?24. Dn?223?

高代与解几第二章自测题（一）——行列式

一、 判断题

1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ） 2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ） 3. n?2时，n级的奇排列共

n !个. （ √ ） 2二、填空题

1. 排列(15342 )的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列13?(2n?1)(2n)(2n?2)?2 的逆序数是 n(n－1) . 2. 设行列式D?aijn?n,则a11A11?a12A12?...?a1nA1n= D ，a11A51?a12A52?...?a1nA5n= 0 .

?x12323xx23. 行列式D＝的展开式中x4的系数是 -4 ，常数项是 -18 . 12x?33x122x

4. 排列j1j2?j8的逆序数是9，则排列 j8j7?j1 的逆序数是 19 .

75. 设D?6232?13?2，则M11?M12?M13?M14= 240 . 41948?127?8

二、证明题

2?20?0002?000?0???0?000?2123?n?1n3. Dn??22?（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）

0??2122?2222?24. Dn?223?

篇一：高等代数与解析几何教学大纲

附件1

教学大纲

课程编号：

课程英文名：Advanced Algebra and Analytic Geometry

课程性质：学科基础课

课程类别：必修课

先修课程：高中数学

学 分：4+4

总学时数：72+72

周学时数：4+4

适用专业：统计学

适用学生类别：内招生

开课单位：信息科学技术学院数学系

一、教学目标及教学要求

1.本课程是统计学专业的一门重要基础课。它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应用的必要基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的提高和发展有着深远的影响。

2.通过本课程的学习，要使学生了解高等代数与解析几何的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系；学会代数与几何方法，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。

3.要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题。

二、本课程的重点和难点

（略。由课任教师自行掌握）

三、主要实践性教学环节及要求

精讲、细读、自学相结合方法，加强课内

习题1—1解答 1． 设f(x,y)?xy?x11x1，求f(?x,?y),f(,),f(xy,), yxyyf(x,y)解f(?x,?y)?xy?111yx1yx?;f(xy,)?x2?y2;?2；f(,)?

xyxyxyf(x,y)xy?xy2． 设f(x,y)?lnxlny，证明：f(xy,uv)?f(x,u)?f(x,v)?f(y,u)?f(y,v)

f(xy,uv)?ln(xy)?ln(uv)?(lnx?lny)(lnu?lnv)?lnx?lnu?lnx?lnv?lny?lnu?lny?lnv?f(x,u)?f(x,v)?f(y,u)?f(y,v)3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）f(x,y)?1?x?（2）f(x,y)?2

y2?1;

;

4x?y2ln(1?x2?y2)x2y2z2（3）f(x,y)?1?2?2?2;

abc（4）f(x,y,z)?x?y?z1?x?y?z222.

解（1）D?{(x,y)x?1,y?1? （2）D?(x,y)0?x?y?1,y?4x?222?

??x2y2z2（3）D??(x,y)2?2?2?1?

abc??（4）D?(x,y,z)x?0,y?0,z?0,x?y?z?1

第八章向量代数与空间解析几何

第一节向量及其线性运算

教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。

教学重点：1. 空间直角坐标系的概念

2. 空间两点间的距离公式

3. 向量的概念

4. 向量的运算

教学难点：1. 空间思想的建立

2. 向量平行与垂直的关系

教学内容：

一、向量的概念

1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向

量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。

2．量的表示方法有: a、i、F 、OM 等等。

3．向量相等a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。

4．量的模：向量的大小，记为a 、OM 。

模为1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。

5．量平行a//b ：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。

6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a

二、向量的线性运算

1．加减法a b c ：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4 bc

a

1

2

2． a

第五章 向量代数与空间解析几何 5.1.1 向量的概念

____

____例1 在平行四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b。试用a和b表示向量MA、MB、

?____?____?____?____?MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点（图5－8）

解 由于平行四边形的对角线互相平行，所

____?以 a＋b＝AC＝2AM

____?____?即 －（a＋b）＝2MA

____?于是 MA＝?____

?1（a＋b）。 2?____因为MC＝－MA，所以MC?________?

____?1（a＋b）. 2____

____ 图5－8

________???11又因－a＋b＝BD＝2MD，所以MD＝（b－a）.由于MB＝－MD，MB＝（a－b）.

22??? 例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的速度均为（常

向量）v。设n为垂直于S的单位向量（图5－11（a）），计算单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为?）.

（a） （b） 图5－11

解 该斜柱体的斜高| v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角?，所以这柱体的高为| v |cos?

第五章 向量代数与空间解析几何 5.1.1 向量的概念

____

____例1 在平行四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b。试用a和b表示向量MA、MB、

?____?____?____?____?MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点（图5－8）

解 由于平行四边形的对角线互相平行，所

____?以 a＋b＝AC＝2AM

____?____?即 －（a＋b）＝2MA

____?于是 MA＝?____

?1（a＋b）。 2?____因为MC＝－MA，所以MC?________?

____?1（a＋b）. 2____

____ 图5－8

________???11又因－a＋b＝BD＝2MD，所以MD＝（b－a）.由于MB＝－MD，MB＝（a－b）.

22??? 例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的速度均为（常

向量）v。设n为垂直于S的单位向量（图5－11（a）），计算单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为?）.

（a） （b） 图5－11

解 该斜柱体的斜高| v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角?，所以这柱体的高为| v |cos?

第4章 向量代数与空间解析几何

4.1 空间直角坐标系

4.1.1 坐标系

在空间中任意取定点O，从O引出三条相互垂直的数轴，它们都以点O为坐标原点，且一般具有相同的长度单位。这三条数轴分别称为x轴（横轴），y轴（纵轴），z轴（竖轴），统称为坐标轴，点O称为坐标原点。

我们常用的是右手系，即用右手握着z轴，当右手四指从x轴正向转向y轴正向时大拇指的指向就是

z轴的正向。

z O yx

图4.1

在此空间直角坐标系中，x轴称为横轴，y轴称为纵轴，z轴称为竖轴，O称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x轴与y轴所确定的坐标面称为xOy坐标面，类似地有yOz坐标面，zOx坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点M与一组有序数(x,y,z)之间的一一对应关系。有序数组(x,y,z)称为点M的坐标；x,y,z分

z III 别称为x坐标，y坐标，z坐标. II

VII VI V 图4.2

IV I o y x VIII 76

这八个卦限中坐标的对应符号为：

卦限 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ － ＋ ＋ Ⅲ － － ＋ Ⅳ ＋ － ＋ Ⅴ ＋ ＋ － Ⅵ － ＋ － Ⅶ －

空间解析几何与向量代数

第一节 向量及其线性运算

一 、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影

第二节 数量积 向量积 混合积

一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积

第三节 曲面及其方程

一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面

第四节 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第五节 平面及其方程

一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 第六节 空间直线及其方程

一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例

《空间解析几何与向量代数》- 1 -

一、

第一节 向量及其线性运算

向量概念

在研究力学、物理学以及其他应用科学时? 常会遇到这样一类量? 它们既有大小? 又有方向? 例如力、力矩、位移、速度、加速度等? 这一类量叫做向量（或矢量）?

在数学上? 用一条有