空间向量及其运算知识点总结

空间向量及其运算

1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下

?????OB?OA?AB?a?b;BA?OA?OB?a?b;OP??a(??R)

????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a

??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b

a3．平行六面体：

?平行四边形ABCD平移向量a到A?B?C?D?的轨迹所形成的几何体，

D'A'B'C'DC叫做平行六面体，并记作：ABCD－A?B?C?D?它的六个面都是平行四边A形，每个面的边叫做平行六面体的棱 B4. 平面向量共线定理

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．

????向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.

?要注意其中对向量a的非零要求．

5 共线向量

如果表示空间向量的有向线

空间向量与立体几何知识点归纳总结

一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a

??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b

?????????????????????????????????OB?OA?AB?a?b;BA?OA?OB?a?b;OP??a(??R)

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共

??线向量或平行向量，a平行于b，记作

?????（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数

??a//b。 ???λ，使a＝λb。

（3）三点共线：A、B、C三点共线<=>AB??AC

<=>OC?xOA?yOB(其中x?y?1)

?a（4）与共线的单位向量为

aa

???x,y使

8.6 空间向量及其运算

一、选择题

1．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )．

A．{a，a＋b，a－b} C．{c，a＋b，a－b}

B．{b，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}

解析 若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋

b，a－b可构成空间向量的一组基底． 答案 C

2．以下四个命题中正确的是( )．

A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示

B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底

→

→

C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底

解析 若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－λ－1μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b1－μλ＋μ＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾． 1－μ答案 B

3．有下列命题：

①若p＝xa＋y

一对一授课教案

学员姓名： 年级： 所授科目：

上课时间： 年 月 日 时 分至 时 分共 小时

老师签名 教学主题 上次作业检查 本次上课表现 本次作业 空间向量与立体几何 学生签名

一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a

??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b

? ????????????????????????????????OB?OA?AB?a?b;BA?OA?OB?a?b;OP??a(??R)

???b，记作a//b。

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3

空间向量及其运算（2）

一、课题：空间向量及其运算（2）

二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．

三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 四、教学过程：

（一）复习：空间向量的概念及表示； （二）新课讲解：

1．共线（平行）向量：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或

????平行向量。读作：a平行于b，记作：a//b．

2．共线向量定理：

????????对空间任意两个向量a,b(b?0),a//b的充要条件是存在实数?，使a??b（?唯一）．

?推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线

?????????????l上的充要条件是存在实数t，满足等式OP?OA?tAB①，其中向量a叫做直线l的方向?????????????????????????????向量。在l上取AB?a，则①式可化为OP?OA?tAB或OP?(1?t)OA?tOB②

????1????????1当t?时，点P是线段AB的中点，此时OP?(OA?OB)③

22①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段A

空间向量及其运算（2）

一、课题：空间向量及其运算（2）

二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．

三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 四、教学过程：

（一）复习：空间向量的概念及表示； （二）新课讲解：

1．共线（平行）向量：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或

????平行向量。读作：a平行于b，记作：a//b．

2．共线向量定理：

????????对空间任意两个向量a,b(b?0),a//b的充要条件是存在实数?，使a??b（?唯一）．

?推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线

?????????????l上的充要条件是存在实数t，满足等式OP?OA?tAB①，其中向量a叫做直线l的方向?????????????????????????????向量。在l上取AB?a，则①式可化为OP?OA?tAB或OP?(1?t)OA?tOB②

????1????????1当t?时，点P是线段AB的中点，此时OP?(OA?OB)③

22①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段A

解析几何复习知识点总结

第一章 向量与坐标

第一节 向量的概念：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模（moduius)。

规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0. 模为1的向量称为单位向量。

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a 方向相等且模相等的向量称为相等向量。

长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量．与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。

1共线向量定理

两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb

2共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by

3空间向量分解定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。

任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

1.2 向量的加法

三角形定则解决向量加减的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。

平行四边形定则解决向量加法的方法：将两个

解析几何复习知识点总结

第一章 向量与坐标

第一节 向量的概念：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模（moduius)。

规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0. 模为1的向量称为单位向量。

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a 方向相等且模相等的向量称为相等向量。

长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量．与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。

1共线向量定理

两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb

2共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by

3空间向量分解定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。

任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

1.2 向量的加法

三角形定则解决向量加减的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。

平行四边形定则解决向量加法的方法：将两个

空间向量的运算及应用

知识梳理

数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： ①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；

②a⊥b?a·b＝0(a，b为非零向量)； ③|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2. (2)向量的坐标运算：

向量和 向量差 数量积 共线 垂直 夹角公式 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b322a21＋a2＋a3222 b1＋b2＋b3 方法归纳

1．直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB为直线l的方向向量，与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向

?a＝0，?n·

量，则求法向量的方程组为?

?n·b＝0.?

2．建立空间直角坐标系的原则：

(1)合理利用几何体中

9.6空间向量的直角坐标及其运算(二)

教学目的：

1.掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式，会用这些公式解决有关问题；

2.会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直. 教学重点：夹角公式、距离公式

教学难点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用.

授课类型：新授课. 课时安排：1课时. 教具：多媒体、实物投影仪. 教学过程：

一、复习引入： 1.空间直角坐标系：

???（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{i,j,k}表示；

??????（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O为原点，分别以i,j,k的方

向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直

???角坐标系O?xyz，点O叫原点，向量i,j,k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐

标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系O?xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数

z??????组(x,y,z)，使OA?xi?yj?zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在

空间直角坐标系O?xyz中的坐