数学物理方程调和方程

调和方程狄利克雷内外问题的唯一性及稳定性。

（1）原理 3.1 （极值原理） 对于不恒等于常数的调和函数u(x,y,z)，其在区域?的任何内点上的值不可能达到它在?上的上界或下界。

推论1 在有限区域?内调和、在???上连续连续的函数必在边界?上取得最大值和最小值；

推论2 设u及v都是区域?内的调和函数，且在???上连续。如果在?的边界?上成立着不等式u?v，那么在?内上述不等式也成立；并且只有在u?v时，在?内才会有等式成立的可能。

（2）调和方程狄利克雷内问题

??2u?2u?2u3.1)??u?2?2?2?0......( ?x?y?z??u??g.......................(3.2)?现在证明解如果存在必是唯一的，而且连续的依赖于所给定的边界条件f.

证：假设有两个调和函数u1(x,y,z)和u2(x,y,z)，它们在有界区域?的边界?上完全相同，则它们的差u?u1?u2在?中也满足方程（3.1），而在?上等于零。于是按照极值原理的推论1，函数u在区域?上最大值及最小值均为零，即u?0.因此u1?u2，即狄利克雷内问题的解是唯一的。

?其次，设在区域?的边界?上给定了函数f和f，而且在?上处处成立f?f??，这里

调和方程狄利克雷内外问题的唯一性及稳定性。

（1）原理 3.1 （极值原理） 对于不恒等于常数的调和函数u(x,y,z)，其在区域?的任何内点上的值不可能达到它在?上的上界或下界。

推论1 在有限区域?内调和、在???上连续连续的函数必在边界?上取得最大值和最小值；

推论2 设u及v都是区域?内的调和函数，且在???上连续。如果在?的边界?上成立着不等式u?v，那么在?内上述不等式也成立；并且只有在u?v时，在?内才会有等式成立的可能。

（2）调和方程狄利克雷内问题

??2u?2u?2u3.1)??u?2?2?2?0......( ?x?y?z??u??g.......................(3.2)?现在证明解如果存在必是唯一的，而且连续的依赖于所给定的边界条件f.

证：假设有两个调和函数u1(x,y,z)和u2(x,y,z)，它们在有界区域?的边界?上完全相同，则它们的差u?u1?u2在?中也满足方程（3.1），而在?上等于零。于是按照极值原理的推论1，函数u在区域?上最大值及最小值均为零，即u?0.因此u1?u2，即狄利克雷内问题的解是唯一的。

?其次，设在区域?的边界?上给定了函数f和f，而且在?上处处成立f?f??，这里

南航数学物理方程

数学物理方程Mathematical Equations for Physics

南航数学物理方程

用数理方法研究问题的步骤Á Á Á1、写出定解问题 2、求解: 求解方法：行波法、分离变量法、格林函 数法、…… 3、分析解答： 物理意义 存在 适应性 唯一 稳定ÁÁ

南航数学物理方程

本次课主要内容数学物理方程总复习 一、偏微分方程理论 二、行波法 三、分离变量法3

南航数学物理方程

一、偏微分方程理论 (一)、偏微分方程理论掌握定解问题的建立a、掌握基本方程的建立 b、掌握定解条件的推导 c、掌握定解问题的概念4

南航数学物理方程

定解问题的建立写出定解问题，需要建立偏微分方程、写出 定解条件（边界条件(包括衔接条件，自然条件） 和初始条件）。 建立偏微分方程的主要方法是微元法 (1).明确物理过程与研究对象(待研究物理量); (2).进行微元分析；分析短时间内微元和相邻部分的相互作用，根据物理定 律用算式表达这种作用。(3).化简、整理算式。5

南航数学物理方程

如何写出三类边界条件？ (1)、明确环境影响通过的所有边界； (2)、分析边界所处的物理状况； (3)、利用物理规律写出表达边界状

数学物理方程复习

一．三类方程及定解问题

（一） 方程

1. 波动方程（双曲型）

Utt = a2Uxx +f; 00 U(0,t)= Φ1（t）; U(L,t)= Φ2（t）; U(x,0)= Ψ1（x）; Ut(x,0)=Ψ2（x）。

2. 热传导方程（抛物型）

Ut=a2Uxx+f; 00 U(0,t)=Φ1（t）; U(L,t)=Φ2（t）; U(x,0)=Ψ1（x）.

3. 稳态方程（椭圆型）

Uxx +Uyy =f; 0

（二） 解题的步骤

1. 建立数学模型，写出方程及定解条件 2. 解方程

3. 解的实定性问题（检验） （三） 写方程的定解条件 1. 微元法：物理定理

2. 定解条件：初始条件及边界条件 （四） 解方程的方法

1. 分离变量法（有界区域内）

2. 行波法（针对波动方程，无界区域内） 3. 积分变换法（Fourier变换Laplace变换）

Fourier变换:针对整个空间 奇：正弦变换 偶：余弦变换 Laplace变换：针对半空间 4. Green函数及基本解法 5. Bessel函数及Legendre函数法

例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程

数学物理方法

数理方程题解

第一章（定解问题）

数学物理方法

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---------END---------

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第二章（分离变量法）

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第三章（行波变换法）

数学物理方法

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主要研究了Laplace算子△、双重Laplace算子△^2的Navier边界问题的第1和第2Hardy不等式。并由此得出一些推论.同时也讨论了Dirichlet边界问题的情况.

维普资讯

20 0 7年 6月

湛江师范学院学报J OURNAL OF Z ANJ ANG H I NoRM AL COLL EGE

J n。0 7 u . 2 0V o128 N O 3 . .

第 2 8卷第 3期

非线性调和方程 Na e v r问题的 H d a y不等式 r熊辉

(莞理工学院数学教研室，东东莞 53 0 )东广 2 8 8摘要：要研究了 L pae子△、重 L pae子△主 alc算双 al算 c。的 N ve边界问题的第 1和第 2Had ai r ry不等式。并由此得出一些推论 .同时也讨论了 D r h e边界问题的情况 . i c lt i

关键词： ry不等式；和算子；调和算子； Had调双最佳常数中图分类号： 7 . O1 5 8文献标识码： A文章编号：0 6 4 0 ( 0 7 0—0 2— 0 10— 7220)3 03 4

0引言 对于如下半线性椭圆型 Na ir ve问题 (这时同时也是 D r he问题 ) i c l

数理课后答案

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数学物理方程习题解(谷超豪) 第二章 热传导方程(来自网络)

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数学物理方程习题解(谷超豪) 第二章

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数学物理方程习题解(谷超豪) 第二章

华东交通大学课程教学计划表

( 2011-2 学年第 二学期适用)

任课教师在每学期开课前根据教学大纲的要求编写“课程教学计划表”经教研室主任同意后，在 开学后第一周内送至学院办公室、学生主管学院和教务处各一份。

专业年级 信息计算09-1,2 讲课教师 朱旭生 辅导教师 朱旭生 教研室主任 刘二根 12年 2 月 11日填 本 课程 名称 学期学时数 本课程总学时数已完成学时数本学期上课周数 采用现场教学 《数学物理方程——傅里叶分析及其应用》（英文版），（英文书名：Fourier Analysis and Its Applications） (美) G. B. Folland著 机械工业出版社 校内学时数 小计讲课习题讨论实验 设计作业 什么教材内 数学物理方程 48 48 41 7 周 教 学 内 容 校学时数 现场教讲习题次课集 课堂讨论 实习课 实验课 合计 学 大型设作计业或课程书的书名及页数指定的学生参考