反常二重积分的概念
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21.1二重积分概念
很好的教案
第二十一章 二重积分
§1 二重积分概念
教学目的 掌握二重积分的定义和性质. 教学内容 二重积分的定义和性质.
(1) 基本要求:掌握二重积分的定义和性质,二重积分的充要条件,了解有界闭区域上的连续函数的可积性.
(2) 较高要求:平面点集可求面积的充要条件. 教学建议
(1) 要求学生必须掌握二重积分的定义和性质,知道有界闭区域上的连续函数必可积.由于二元函数可积的充要条件与定积分类似,这方面的内容可作简略介绍.
(2) 对较好学生可详细讲述二元函数可积的充要条件的证明,并布置有关习题. 教学程序
一、平面图形的面积
(一)、内、外面积(约当,黎曼外内测度)的概念
直线网T分割平面图形P,T的网眼中小闭矩形 i的分类: (ⅰ) i含的全是P的内点,
(ⅱ) i含的全是P的外点(不含P的点), (ⅲ) i内含有P的边界点, 记sP T 为T的第ⅰ类 i的面积的和. 记SP T 为T的第ⅰ和第三类 i的面积的和. 记IP=记IP=
sup sP T T,称为P的内面积.
inf SP T T,称为P的外面积.
定义1 若平面图形P的内面积IP等于它的外面积IP,则称P为可求面积,并称其共同值IP=IP=IP为P的面积(约当,黎曼测度)
二重积分的概念和性质
第九章 重积分
第一节 二重积分的概 念与性质1、二重积分的概念 2、二重积分的性质
一、二重积分的概念1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底: xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面
D
侧面:以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱 面 求其体积. 解法: 类似定积分解决问题的思想:“大化小,常代变,近似和,求极限”
机动
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结束
1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域
1, 2 , , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 f ( k , k ) 小曲顶柱体 ( k , k ) 2)“常代变” 在每个
D k
中任取一点
则
Vk f ( k , k ) k3)“近似和”n
(k 1, 2 , , n)
f ( k , k ) kk 1机动 目录 上页 下页 返回 结束
4)“取极限”
( k ) max P P2 P ,P2 k 1 1令 max ( k )1 k nn
f ( k , k )( k , k ) k
V lim f ( k , k ) k 0 k 1
机动
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二重积分的概念和性质
第九章 重积分
第一节 二重积分的概 念与性质1、二重积分的概念 2、二重积分的性质
一、二重积分的概念1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底: xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面
D
侧面:以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱 面 求其体积. 解法: 类似定积分解决问题的思想:“大化小,常代变,近似和,求极限”
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结束
1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域
1, 2 , , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 f ( k , k ) 小曲顶柱体 ( k , k ) 2)“常代变” 在每个
D k
中任取一点
则
Vk f ( k , k ) k3)“近似和”n
(k 1, 2 , , n)
f ( k , k ) kk 1机动 目录 上页 下页 返回 结束
4)“取极限”
( k ) max P P2 P ,P2 k 1 1令 max ( k )1 k nn
f ( k , k )( k , k ) k
V lim f ( k , k ) k 0 k 1
机动
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二重积分、三重积分
二重积分、三重积分的概念和性质,二重积分、三重积分的计算和应用。
第九章 重积分
教学内容
二重积分、三重积分的概念和性质,二重积分、三重积分的计算和应用。 教学目的、要求
1.理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,知道二重积分中值定理。 2.熟练掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法。
3.掌握二重积分在极坐标系下的计算方法,掌握三重积分在直角坐标系、柱坐标系、球坐标系下的计算方法。
4.会用重积分来表达一些几何量(如平面图形的面积、体积、曲面面积)和物理量(如质量、质心坐标、转动惯量、引力等)。 重点与难点
1重点:二重积分的概念与计算。
2难点:三重积分的计算,重积分的应用。
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积
设有一空间立体 ,它的底是xoy面上的有界区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z f x,y (f x,y 在D上连续)且f x,y 0,这种立体称为曲顶柱体。曲顶柱体的体积V可以这样来计算:
用任意一组曲线网将区域D分成n个小区域 1, 2, , n ,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体 分划成n个小曲顶柱
高数 二重积分
《高等数学I》A班习题 班级_____________ 姓名____________ 学号_________________
第十一章 习题一 曲线积分与格林公式
(为了节省纸张和便于收发,请您双面打印)
一.选择题
1.设L为圆周x2?y2?1,L1为该圆周在第一象限的部分,则 ( ) (A)xds?4xds; (B)
LL1???Lyds?4?yds;
L1L1(C)
?Lx2sinyds?4?x2sinyds; (D)?x2cosyds?4?x2cosyds.
L1L22.设L为沿右半圆周x?1?y从点A(0,?1)经点B(1,0)到点C(0,1)的路径,L1为
L上从点B到点C的路径,则积分?|y|dx?y3dy等于 ( )
L(A)0; (B)2?L1|y|dx?y3dy; (C)2?|y|dx; (D)2?y3dx.
L1L13.设G为一个平面单连通区域,P、Q在G上具有一阶连续偏导数,则积分
?L Pdy?Qdx与路径无关的充分必要条件是 ( )
(A)
?P?Q?P?
8-1 二重积分的概念与性质
第八章
二重积分
复习定积分1.曲边梯形的面积
y
A f ( x )dxa
b
A lim f ( i ) xi 0 i 1
n
O a x1
xi 1 xi
2. 定积分思想:
i
分割、近似、求和、取极限.
第一节 二重积分的概念与性质一、引例
第八章
二、二重积分的定义与可积性三、二重积分的性质
8-1 二重积分的概念与性质
一、引例1.曲顶柱体的体积 (1) 曲顶柱体的定义:
z
z f ( x, y)
y
底: xoy 面上的闭区域 D顶: 连续曲面o D
x
侧面:以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面4
(2)求曲顶柱体体积的意义: 由空间曲面所围成的任意
空间立体的体积都可以转化为曲顶体积的体积的代数和.z
y
ox5
(3)求曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 特点:平顶.
(3)求曲顶柱体的体积 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、 取极限”的方法,如下动画演示.
(3)求曲顶柱体的体积 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、 取极限”的方法,如下动画演示.
(3)求曲顶柱体的体积 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、 取极限”的方法,如下动画演示.
(3)求曲顶柱体的体积 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、
第一节 二重积分的概念和性质
第一节 二重积分的概念和性质
第一节
二重积分的概念和性质
一、 两个实例 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质
第一节 二重积分的概念和性质
一 两个实例
1 曲顶柱体的体积 (1)曲顶柱体的概念 底为xOy面上的有界闭区 域D,其侧面是以D的边界为
Z
z f ( x, y)
准线,而母线平行于z轴的柱
面,它的顶是曲面 z f ( x, y) ,
x
O
y
D
这里 f ( x, y) 0且在D上连续。
其体积如何计算?
第一节 二重积分的概念和性质
(2)体积的计算 Z ⅰ分割 将区域D任意分割 成n个小区域,它们的面积分别 记作 i , 该曲顶柱体被分割成n O 个小曲顶柱体,体积分别记为 Δ Vi,(i=1,2,…)。如图。 x D ⅱ 近似 在 i 上任取一 点 ( i , i ), 当 i很小时,可以近 似地用一个平顶柱体的体积代替 相应小曲顶柱体的体积,如图。 从而有
z f ( x, y)
y
( i , i ),
Vi f ( i , i ) i , i 1,2, , n
第一节 二重积分的概念和性质
ⅲ 求和 将这n个小平顶柱体的体积加起来, 就得到曲顶柱体体积的近似值,即
V Vi f (
7.2.2 二重积分的计算法(2)
二重积分的计算法(2)
一、利用极坐标系计算二重积分
1122
i (ri ri) i ri 221
(2ri ri) ri i2
r (r r) ri i
2
i ri i,
D
f(x,y)dxdy f(rcos ,rsin )rdrd .
D
二重积分化为二次积分的公式(1)
区域特征如图极点在区域之外 ,
1( ) r 2( ).
2( )
r ( )
f(rcos ,rsin )rdrd
d
D
1( )
f(rcos ,rsin )rdr.
区域特征如图
, 1( ) r 2( ).
r( )
f(rcos ,rsin )rdrd
D
d
2( )
1( )
f(rcos ,rsin )rdr.
二重积分化为二次积分的公式(2)
区域特征如图(极点在D的边界上) ,0 r ( ).
D
r ( )
f(rcos ,rsin )rdrd
d
D
( )
f(rcos ,rsin )rdr.
注意内下限未必全为0
区域特征如图
(极点在D的内部)
A
0 2 ,0 r ( ).
( )
D
f(rcos ,rsin )rdrd
d
02
f(rcos ,rsin )rdr.
二重积分的计算方法
重庆三峡学院数学分析课程论文
二重积分的计算方法
院 系 数学与统计学院
专 业 数学与应用数学(师范) 姓 名 年 级 2010级 学 号
指导教师 刘学飞
2014年5月
二重积分的计算方法
(重庆三峡学院数学与统计学院10级数本1班)
摘 要 :本文总结出了求二重积分的几种方法,比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 :函数极限;计算方法;洛必达法则; 四则运算
引言
二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何、物理、力学等方面有着重
要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被
积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求
二重积分的方法很多且非常灵活,本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.
1. 预备知识
1.1二重积分的定义
设f?x,y?是定
第二节 二重积分的计算法
第二节 二重积分的计算方法
教学目的:利用直角坐标系把二重积分化为二次积分 教学重难点:将积分区域用不等式组表示 教 法:讲授 课 时:4
仅仅依靠二重积分的定义及其性质,不可能对一般的二重积分进行计算。本节介绍一种二重积分的计算方法,这种方法是把二重积分化为两次单积分(即两次定积分)来计算。 一、利用直角坐标系计算二重积分
我们首先来考虑直角坐标系下面积元素d?的表达形式。在二重积分的定义中对区域D的分割是任意的,极限lim?f(?i,?i)??i都存在,那么对
??0i?1n于区域进行特殊分割该极限也应该存在。因此,在直角坐标系下,我们用平行于x轴和y轴的两族直线把区域D分割成许多小区域(图10—4)。除靠区域D边界曲线的一些小区域外,其余的都是小矩形区域。当这些小区域的直径的最大者??0时,这些靠区域D边界的不规则的小区域的面积之和趋于0。因此,第i个小矩形区域??i的面积
??i??xj??yk。 因此,直角坐标系下面积元素
d??dxdy。 于是二重积分的直角坐标形式为
??f(x,y)d????f(x,y)dxdy。
DD
由二重积分的几何意义