三角形的心与向量的关系

三角形的重心是三角形三条中线的交点。

三角形的三条中线必交于一点

已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。

三角形的三条中线必交于一点

求证：AE=CE

证明：延长OE到点G，使OG=OB

∵OG=OB,∴点O是BG的中点 又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线 ∴AD∥CG

∵点O是BG的中点，点F是AB的中点 ∴OF是△BGA的一条中位线 ∴CF∥AG

∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形 ∴AC、OG互相平分,∴AE=CE

三角形的重心的性质

1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：

(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3

5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

编辑本段二、三角形的外心

三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或

收集(部分证明)了三角形四心相关性质,对高中生更加了解向量和三角形有一定帮助。

符号说明：“AB”表示向量，“|AB|”表示向量的模
【一些结论】：以下皆是向量
1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=0
2 若P是△ABC的垂心PA*PB=PB*PC=PA*PC(内积）
3 若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）
4 若P是△ABC的外心|PA|=|PB|=|PC|
（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）
5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心
6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心
7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+∞) 经过重心
8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,∠C的外角平分线的交点
【以下是一些结论的有关证明】
1.
O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性：
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，
延长CO交AB于D，根据向量加法得：
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合

（1）OA OB OC 0 O是 ABC的重心.

证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

(x1 x) (x2 x) (x3 x) 0

OA OB OC 0

(y1 y) (y2 y) (y3 y) 0

x1 x2 x3 x 3

y y y23 y 1

3

O是 ABC的重心.

证法2：如图

OA OB OC

2 2

A、O、D三点共线，且O分AD

为2：1

O是 ABC的重心

B

DC

（2）OA OB OB OC OC OA O为 ABC的垂心.

证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.

OA OB OB OC OB(OA OC) OB CA 0

同理OA BC，OC AB

O为 ABC的垂心

（3）设a,b,c是三角形

三角形中的“四心”问题

重心：三角形的三条边上的中线的交点

如果三角形ABC中三边BC、CA、AB上的中点分别是D、E、F 则AD、BE、CF的交点为O，O为三角形ABC的重心

AO?2OD,OA?OB?OC?0,AO?BO?CO?0??x0??AB?AC?2AD?3AO，坐标???y??0xyA?xB?xC?Ay3B

?yC3重心可以得到这些，要证明是否过重心或者是否为重心也就是要证明这些，

垂心：三角形当中三条高的交点

如果三角形的三条高交与H一点，则H就是三角形的垂心，那么我们可以得到

AH?BC?0,BH?AC?0,CH?AB?0 如果PA?PB?PB?PC?PC?PA则P为三角形的垂心

要判断一个点是否过垂心或者就是垂心就是要证明这些或者某些 内心;三角形中的三条角平分线的交点

三角形三条角平分线交与一点O,则这个点O就是三角形中的内心，那么我们可以得到

O 点到三角形的三边的距离相等，其次AO???AB?AC?,BO???BA?BC?,CO???CA?CB?

???????AB?AC???BA?BC???CA?CB????????O是内心也就是三角形的内切圆的圆心，既然是角平分线在向量中就是要单位向量相

A类平面向量

命题人 胡老师

→→→→→

1．(08·全国Ⅰ)在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD＝( ) 2152A.b＋c B.c－b 33332112C.b－c D.b＋c 3333[答案] A

→→→

2．已知O、A、M、B为平面上四点，且OM＝λOB＋(1－λ)OA，λ∈(1,2)，则( ) A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上 C．点A在线段BM上 D．O、A、M、B四点共线 3.(理)已知a＝(1,3)，b＝(1,1)，c＝a＋λb，若a和c的夹角是锐角，则λ的取值范围是( )

5?－∞，－5? －，＋∞? A.? B.2??2??

5

－，0?∪(0，＋∞) C．{0} D.??2?

4．若|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是 ( ) ππππA. B. C. D. 6432

5.(理)已知a＝(m，n)，b＝(p，q)，且m＋n＝5，p＋q＝3，则|a＋b|的最小值为( ) A．4 B．42 C．6 D．8

6．半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半

儒洋教育学科教师辅导讲义

学员姓名： 年 级： 课时数： 辅导科目： 学科教师： 课 题 授课时间： 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在?ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则三角形、等腰三角形以及全等三角形的证明 备课时间： S?ABE?S?CDE?S

三岔小学四年级数学学科导学案

主备人：黄丽 审核人： 组名： 姓名： 时间：2014年 5月 日 课题 学 习 目 标 学 习 重、难点 三角形三边的关系 课型 综合解决课 教学具准备 导学案 1、通过摆一摆、算一算等实践活动，探索并能发现三角形任意两条边的和大于第三条边。 2、自己能够应用发现的结论，来判断指定长度的三条线段能否组成三角形。 1、理解掌握三角形三边的关系 2、通过实验操作，发现三角形三边之间的关系。 学 案 【知识回顾】 1．说说什么叫三角形以及三角形各部分的名称。 2、说说自行车架、篮球架等为什么要做成三角形的？ 【问题探究】 问题：探究三角形三边关系（阅读课本第82页例3，独立完成以下问题。） （1）小明从家到学校有几条路可走? (2)小明从家到学校走哪条路最近？为什么？ （3）用长是4cm、5cm、5cm、6cm、10cm的小棒摆三角形，（每边只能用一根小棒来表示） 组别 三 边 长（厘米） 能否围成 三 角 形 三

A类平面向量

命题人 胡老师

→→→→→

1．(08·全国Ⅰ)在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD＝( ) 2152A.b＋c B.c－b 33332112C.b－c D.b＋c 3333[答案] A

→→→

2．已知O、A、M、B为平面上四点，且OM＝λOB＋(1－λ)OA，λ∈(1,2)，则( ) A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上 C．点A在线段BM上 D．O、A、M、B四点共线 3.(理)已知a＝(1,3)，b＝(1,1)，c＝a＋λb，若a和c的夹角是锐角，则λ的取值范围是( )

5?－∞，－5? －，＋∞? A.? B.2??2??

5

－，0?∪(0，＋∞) C．{0} D.??2?

4．若|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是 ( ) ππππA. B. C. D. 6432

5.(理)已知a＝(m，n)，b＝(p，q)，且m＋n＝5，p＋q＝3，则|a＋b|的最小值为( ) A．4 B．42 C．6 D．8

6．半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半

三角形中的“四心”问题

重心：三角形的三条边上的中线的交点

如果三角形ABC中三边BC、CA、AB上的中点分别是D、E、F 则AD、BE、CF的交点为O，O为三角形ABC的重心

AO?2OD,OA?OB?OC?0,AO?BO?CO?0??x0??AB?AC?2AD?3AO，坐标???y??0xyA?xB?xC?Ay3B

?yC3重心可以得到这些，要证明是否过重心或者是否为重心也就是要证明这些，

垂心：三角形当中三条高的交点

如果三角形的三条高交与H一点，则H就是三角形的垂心，那么我们可以得到

AH?BC?0,BH?AC?0,CH?AB?0 如果PA?PB?PB?PC?PC?PA则P为三角形的垂心

要判断一个点是否过垂心或者就是垂心就是要证明这些或者某些 内心;三角形中的三条角平分线的交点

三角形三条角平分线交与一点O,则这个点O就是三角形中的内心，那么我们可以得到

O 点到三角形的三边的距离相等，其次AO???AB?AC?,BO???BA?BC?,CO???CA?CB?

???????AB?AC???BA?BC???CA?CB????????O是内心也就是三角形的内切圆的圆心，既然是角平分线在向量中就是要单位向量相

相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式

【知识疏理】

一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！

若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。

A A'

B'C'CB

图（4）图1

二， 相似三角形证明的变式

1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如：

例1、 已知：如图1，BE、DC交于点A，∠E=∠C。求证：DA·AC=BA·AE

E D

A

CB

图2

题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。

2，对特殊图形的认识

例2、已知：如图3，Rt△ABC中，∠ABC=90o，BD⊥AC于点D。 AD

BC

图3

（1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么