割圆术求极限

割圆术及极限方法

第三讲 割圆术及极限方法

实验目的

1．介绍刘徽的割圆术．

2．理解极限概念.

3．学习matlab求函数极限命令。

实验的基本理论及方法

1．割圆术

中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率．刘微先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积，其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积． “割之弥细，所失弥少．割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想．

刘徽先将直径为2的圆分割为6等分，再分割成12等分，24等分，...，这样继续下去，并利用勾股定理计算其面积，从而求出圆周率的近似值，他一直计算到圆内接正192边形的面积。

2．斐波那奇数列和黄金分割

,,

3．学习matlab命令.

matlab求极限命令可列表如下:

表2.1

割圆术及极限方法

matlab代数方程求解命令solve调用格式.

Solve(函数

4．理解极限概念.

数列收敛或有极限是指当无限增大时，与某常数无限接近或趋向) 给出的根. 于某一定值，就图形而言，也就是其点列以某一平行与轴的直线为渐近线. 例2.1.观察数列

解:输入命令:

>>n=1:100；xn=n./(n+1) 当时的变化趋

割圆术及极限方法

第三讲 割圆术及极限方法

实验目的

1．介绍刘徽的割圆术．

2．理解极限概念.

3．学习matlab求函数极限命令。

实验的基本理论及方法

1．割圆术

中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率．刘微先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积，其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积． “割之弥细，所失弥少．割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想．

刘徽先将直径为2的圆分割为6等分，再分割成12等分，24等分，...，这样继续下去，并利用勾股定理计算其面积，从而求出圆周率的近似值，他一直计算到圆内接正192边形的面积。

2．斐波那奇数列和黄金分割

,,

3．学习matlab命令.

matlab求极限命令可列表如下:

表2.1

割圆术及极限方法

matlab代数方程求解命令solve调用格式.

Solve(函数

4．理解极限概念.

数列收敛或有极限是指当无限增大时，与某常数无限接近或趋向) 给出的根. 于某一定值，就图形而言，也就是其点列以某一平行与轴的直线为渐近线. 例2.1.观察数列

解:输入命令:

>>n=1:100；xn=n./(n+1) 当时的变化趋

割补法求几何体体积

割补法求几何体体积

奉贤区致远高级中学 周叶青

一、教学目标 （一）知识目标

（1）对割补法在求几何体体积之中的作用有一定的了解和认识 （2）能对几何体进行简单的拼补或切割以达到求几何体体积的目的 （二）能力目标

学生在由教师以课件形式提供的问题情境及解决问题的提示、帮助下，通过独立思考，小组讨论等方法，自主探索问题的答案，以提高学生的空间想象力及自主学习，协作交流的能力；通过学生自己总结解题思路及解题要点，可提高他们的分析问题、迅速构建问题框架、及时提出解题方案、并准确用语言表达等综合能力。 （三）情感目标

情感是教学的润滑剂，通过学生自主学习，自主探索，加强同学之间的交流。使他们真正体验到主动学习、合作学习的愉悦，体验到成功的快乐，促使他们乐学，会学，从而达到学会的目的。

二、教学重难点

重点：割补法 [对几何体进行拼补与切割，是提高学生空间想象力的一种很好的练习方法]

难点：灵活割补，简化解题 [对几何体进行拼补或切割的最终目的是为了“转”，而如何根据已知条件，恰当地对几何体进行拼补或切割是初学者难以准确把握的突破难点的方法：

(1)动画演示切割或拼补的过程;

(2)一题多解,反复进行割补的训练,了解割或补的本质;

三、教学思想与教学方法

极限及几种求极限重要方法的探究

王龙科

西北师范大学数学与信息科学学院 甘肃兰州 730070

摘要： 极限理论是高等数学的理论基石，也是研究高等数学的重要方法。高等数学中的微分和积分理论都是建立在极限理论基础之上的，这说明理清极限理论和重要极限求法是非常有必要的。本文主要分两大部分作以探究，第一部分介绍极限理论；第二部分列举求极限的常见方法，并配有相关例题加以说明。 关键词： 极限；高等数学；求极限的方法

一、引言

极限是高等数学中最重要得概念之一，是研究积分和微分的重要工具。极限思想也是研究高等数学的重要思想，掌握极限思想是学习微分和积分的基础。极限是描述数列和函数在无限变换过程中的变化趋势的概念，它是人们从有限认识到无限、从近似认识到精确、从量变认识到质变的一种数学方法。极限理论的出现是微积分发展历史上的一个历程碑，它使微积分理论更加蓬勃法展起来。本文接下来将就极限理论思想和求极限的重要方法进行探究。

二、极限理论 1、数列极限

定义1若函数f的定义域为全体正整数集合N?，则称 f: N?→R 或 f(n),n∈N?

为数列.因为正整数集N?的元素可按由小到大的顺序排列,故数列f(n)也可写作 a1，a2，…，an…

几种求极限方法的总结

摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过sn对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.

关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列

1 用定义求极限?1?

根据极限的定义：数列{xn}收敛??a,??〉0,?N?N?,当n〉N时，有xn-a〈?. 例1 用定义证明limn?1

n??n?111n?1???成立：解得n??1,取N=??1?，于?1=

n?1?n?1???证明：???0,要使不等式

nn?1??1 是???0,? N=??1?，?n?N，有?1??,即limn??n?1?n?1??2利用两边夹定理求极限??

1?1?111? ????例2 求极限lim???2n??n2?2n2?3n2?n??n?1 解：设cn?1n?11n?n1n?1222?1n?21n?n1n?1222??1n?n1?2

nn?nnn?122则有：cn???n?n1n?122

nn?n2同时有：cn???? ，于是 ?cn?nn?12,由n2?n?n2

割补法求几何体体积

割补法求几何体体积

奉贤区致远高级中学 周叶青

一、教学目标 （一）知识目标

（1）对割补法在求几何体体积之中的作用有一定的了解和认识 （2）能对几何体进行简单的拼补或切割以达到求几何体体积的目的 （二）能力目标

学生在由教师以课件形式提供的问题情境及解决问题的提示、帮助下，通过独立思考，小组讨论等方法，自主探索问题的答案，以提高学生的空间想象力及自主学习，协作交流的能力；通过学生自己总结解题思路及解题要点，可提高他们的分析问题、迅速构建问题框架、及时提出解题方案、并准确用语言表达等综合能力。 （三）情感目标

情感是教学的润滑剂，通过学生自主学习，自主探索，加强同学之间的交流。使他们真正体验到主动学习、合作学习的愉悦，体验到成功的快乐，促使他们乐学，会学，从而达到学会的目的。

二、教学重难点

重点：割补法 [对几何体进行拼补与切割，是提高学生空间想象力的一种很好的练习方法]

难点：灵活割补，简化解题 [对几何体进行拼补或切割的最终目的是为了“转”，而如何根据已知条件，恰当地对几何体进行拼补或切割是初学者难以准确把握的突破难点的方法：

(1)动画演示切割或拼补的过程;

(2)一题多解,反复进行割补的训练,了解割或补的本质;

三、教学思想与教学方法

求极限的13种方法（简叙）

龘龖龍

极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限

利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限

lim(1?a)(1?an??2)...(1?a) ，其中a?1

2n分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。 解 因为(1?a)(1?a)...(1?a)

122n(1?a)(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a1222n(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a12n?1(1?a) =1?a22n当

a2n?1n??时，

22n?1??,2n而

1 1?aa?1，故

1?a?0,从而lim(1

求极限的13种方法（简叙）

龘龖龍

极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限

利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限

lim(1?a)(1?an??2)...(1?a) ，其中a?1

2n分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。 解 因为(1?a)(1?a)...(1?a)

122n(1?a)(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a1222n(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a12n?1(1?a) =1?a22n当

a2n?1n??时，

22n?1??,2n而

1 1?aa?1，故

1?a?0,从而lim(1

一类

刘丽 01211209

（徐州师范大学 数学系 徐州221116）

摘要 文中对某些具有特殊形式的数列作了一般性的推广,应用单调有界定理证明其极限的存在. 关键词 数列;极限;单调有界定理.

1 引言

求数列极限是数学中的一类基本问题,在考研中常见.求极限的方法很多,如定义法、反正法、两边夹、单调有界定理、柯西准则等.就一类能运用单调有界定理证明的考研题中有关求数列极限的问题在形式上进行了推广,并加以证明.另外还讨论了一类与积分有关的数列的极限问题.

2 主要内容

本节主要针对考研的一些特殊类型数列通过观察、猜想对其进行一般化的推广,并加以证明. 例1?1? (2002年全国硕士研究生入学考试数学二试题)设0?x1?3,xn?1??3?xn?xn,

?n?1,2,??.证明:数列?xn?的极限存在并求出此极限.

例1可以作如下推广: 命题 1 若0?x1?p,xn?1?xn?p?xn?,?n?1,2,??,则数列?xn?的极限存在且为

p2.

证明 由0?x1?p知x1?0且p?x1?0.由算术—几何平均不等式知

0?x2?x1?p?x1??12?x1?p?x1??p2,

假设0?xk?p2?k?1?,再次用算术—几

求极限的13种方法（简叙）

龘龖龍

极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限

利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限

lim(1?a)(1?an??2)...(1?a) ，其中a?1

2n分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。

1?a) 解 因为(1?a)(1?a)...(122n(1?a)(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a1222n(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a12n?1(1?a) =1?a22n当

a2n?1n??时，

22n?1??,2n而

1 1?aa?1，故

?0,从而lim(1?a)