关于三角形角平分线定理应用

一、选择题

1. (2009 山东省临沂市) 如图，OP平分 AOB，PA OA， OB，

垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（） A．PA PB B．PO平分 APB C．OA OB D．AB垂直平分OP

O

B

2. (2010 吉林省长春市) 如图，△ABC中， C 90°， B 40°，AD是角平分线，则 ADC的度数为（）

（A）25°（B）50°（C）65°（D）70°

3. (2010 广西柳州市) 如图，若CD 3Rt△ABC中， C 90°， ABC的平分线BD交AC于D，cm，则点D到AB的距离DE是（）

A．5cm Ｂ．4cm Ｃ．3cm Ｄ．2cm A D B C

4. (2010 湖南省益阳市) 如图3，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A两边的距离相等，且PA＝PB．下

列确定P点的方法正确的是

Ａ．P为∠A、∠B两角平分线的交点

Ｂ．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点 Ｃ．P为AC、AB两边上的高的交点 Ｄ．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点

5. (2010 湖北省襄樊市) 如图１，已知直线AB∥CD，BE平分

难舍难分的角平分线与等腰三角形

角平分线与等腰三角形有着密不可分的联系。在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形。下面归类说明。

一、 角平分线＋平行线→等腰三角形

当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图1（1）中，若AD平分，AD//EC，则是等腰三角形；如图1（2）中，若AD平分，DE//AC，则是等腰三角形；如图1（3）中，若AD平分，CE//AB，则是等腰三角形；如图1（4）中，若AD平分，EF//AD，则是等腰三角形。

图1

例1. 如图2，在中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作线于点E，垂足为点F。求证：AE＝AP

，交BA的延长

图2

简析：要证AE＝AP，可寻找一条角平分线与EF平行，于是想到AB＝AC，则可以作AD平分，此时。而，故AD//EF。故可知是等腰三角形。故AE＝AP。

例2. 如图3，在中，、的平分线相交于点O，过点O作DE//AC，分别交AB、BC于点D、E。试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的理由。

图3

简析：猜想：AD＋CE＝DE。理由如下：由于OA、OC分别是DE//AC，所以

和

。

训练题：如图4，在

中，AD平

难舍难分的角平分线与等腰三角形

角平分线与等腰三角形有着密不可分的联系。在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形。下面归类说明。

一、 角平分线＋平行线→等腰三角形

当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图1（1）中，若AD平分，AD//EC，则是等腰三角形；如图1（2）中，若AD平分，DE//AC，则是等腰三角形；如图1（3）中，若AD平分，CE//AB，则是等腰三角形；如图1（4）中，若AD平分，EF//AD，则是等腰三角形。

图1

例1. 如图2，在中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作线于点E，垂足为点F。求证：AE＝AP

，交BA的延长

图2

简析：要证AE＝AP，可寻找一条角平分线与EF平行，于是想到AB＝AC，则可以作AD平分，此时。而，故AD//EF。故可知是等腰三角形。故AE＝AP。

例2. 如图3，在中，、的平分线相交于点O，过点O作DE//AC，分别交AB、BC于点D、E。试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的理由。

图3

简析：猜想：AD＋CE＝DE。理由如下：由于OA、OC分别是DE//AC，所以

和

。

训练题：如图4，在

中，AD平

在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目,本文将此类问题进行归纳总结,以利于进行求解.命题1如图1,点D是△ABC两个内角平分线的交点,则＜D=90^o+1/2＜A证明如图1,＜1=＜1’,＜2=＜2’,2＜1+2＜2+＜A=180^。.＜l+＜2+＜D=180^。.

2 8

中。擞 ( 1年 0初中 ) 7 7 2 1第1期 版 0

解题研究

三角形内外角平分线有关命题韵证明及应用4 1 2湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学张昌林 4 13在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目，本文将此类问题进行归纳总结，以利于进行求解.命题 1如图 1点 D是， AA C两个内角平分线的交 B点，a￥l￣o=9。 0十l E A.

=9 0。一1 Z.

A.

点评

利用角平分线的定义和三角形的一个外角

等于与它不相邻两内角的和以及三角形的内角和等于10,以证明. 8。可命题 3如图 3, E是点

AA C一个内角平分线与一 B个外角平分线的交点，则 EC D

证明‘.’

如图 1,1= 1 2= 2,,

1 A=.

A.

图3

.

.

2 1+2 2+/

=1 0, 8。

(

1 2+LD=10.+ 8。 ①一得②

②

证明‘ .

如图 3,1= L

三角形的高、中线、角平分线练习题

1、分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高。

2、三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是（ ）

A ．直线

B ．射线

C ．线段

D ．射线或线段

3、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C

．钝角三角形 D ．不能确定

4、能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是

（ ）

A ．中线

B ．高

C ．角平分线

D ．以上三种情况都正确

5、如图若∠BAF=∠CAF ，则____是△ABD 的角平分线，

____是△ABC 的角平分线

6、如图AB ⊥AC ，则AB 是△ABC 的边____上的高，也是

△BDC 的边______上的高，也是△ABD 的边____上的高.

7、如图BD 、AE 分别是△ABC 的中线、角平分线，AC=10cm ，

∠BAC=700，则AD=_____，∠BAE=____.

F A B C

D A B C D A B C D

8、在△ABC 中，AE 是中线，AD 是角平分

线，AF 是

高，填空：

⑴BE ＝___＝21_____；

⑵∠BAD=_____=21

_____；⑶∠AFB=_____=90

1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。分a、b两种情形： a、 如图甲：一直线与角的一边平行 //OA??3??2?CD???1??3?DO?DC ?1??2? 等腰三角形DOCb、 如图乙：一直线与角的平分线平行

?? DE//OC???

2．等腰三角形与角平分线往往出现平行线 a、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行

CO?DC??1??3? ???2??3?CD//OA?1??2?

b、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行

?1??3????2??4???3??4?OD?OE??等腰三角形ODE??1??2?图甲

B

O 3 D

图乙 1 2 4 E

A

C

?OE??3??4?OD1???3??AOB???2?AOB??3??4? ? ??1??3?OC//DE1 ??1??AOB?2 ?3．等腰三角形与平行线往往出现角平分线

a、如图甲：与一腰平行 OA//DC??3??2????1??2 CO?DC??3??1?b、如图乙：与底边平行 OD?OE??3??4? ? ? 1 ? ? 3 ? ? 1 ??2??DE//OC?

教案

7.1.2三角形的高、中线与角平分线

大坦学校 许志越

一、教学目标：

1、 三角形的高、中线与角平分线的定义。

2、 三角形的高、中线与角平分线的画法及数量关系。 3、 通过学习，增强空间抽象能力和比较归纳思想。 二、教学重点：

三角形的高.中线与角平分线的定义及画法。 三、教学难点：

三角形的高.中线与角平分线的定义的理解及不同三角形高的画法 四、教学分析：

本课课本内容较少，为一个课时，为了加深学生的学习兴趣与理解，在教学中我一方面将教学内容与小学内容进行衔接，增强过渡效果。第二方面为加深学生对定义理解，教学中可采用投影，既可以对指定内容进行强调，又可减少教师上课作图时间，增加教学容量。第三教学中我采用了折纸方法，进一步加强学生对定义的理解。 五、教学过程： 1、教学引入：

1)复习三角形的定义。

(由三条线段首尾相接组成的图形) 2）三角形的面积公式是什么？ S△=

1ah 2

3)你还记得三角形的高是怎么作出来的吗？引出课题 2、新课讲解：

三角形的高

1）找一个同学上黑板作一个三角形的高。注意规范，师生指正。

找一个同学用几何语言来描述一下三角形的高的定义，归纳出定义。

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，所得的垂线段

三角形相关的性质与定理

三角形

1、 三角形的内角和是180° 2、 三角形的外角和是360°

3、 三角形的任意一个外角都等于和它不相邻的两个内角的和。 4、 三角形的任意一个外角都大于和它不相邻的内角 全等三角形 1、 对应边相等 2、 对应角相等 三角形全等的判定

1.三边对应相等的两个三角形全等（SSS或边边边）

2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS或边角边） 3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA或角边角）

4.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS或角角边） 5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL或斜边、直角边） 等腰三角形的性质

1.等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；

2 “三线合一”.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等。（等角对等边） 等边三角形

等边三角形的性质

1.等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都等于60°。 2.三个角都相等的三角形是等边三角形。

3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 直角三角形

5.直角三角形的两个锐角互余

1..在直角

3 .6关注三角形的外角

如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其 A 它角有什么关系?

能证明你的结论吗?

∠1+∠4=1800 ; ∠1>∠2; ∠1>∠3; ∠1=∠2+∠3.

2

3

B

4 1 C

D

证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理), ∠1+∠4=1800(平角的意义), ∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换). ∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 在这里,我们通过三角 形内角和定理直接推导 出两个新定理.像这样, 由一个公理或定理直接 推出的定理,叫做这个公 理或定理的推论.

A 2

3

B

4 1 C

D

推论可以当作定理使用.

三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它 不相邻的内角. △ABC中: ∠1=∠2+∠3; ∠1>∠2,∠1>∠3.

3

B

A 2

4 1 C

D

这个结论以后可以直接运用.

E

例1 已

角平分线性质定理以及逆定理教案

学科： 数学 任课教师： 授课时间：2012 年 月 日 星期 姓名 性 别 男 年 级 初二 总课时： 课时 第 次课 教 学 角平分线定理以及逆定理 内 容 重 点 角平分线定理 难 点 角平分线的逆定理 教 学 掌握角平分线定理以及逆定理 目 标 课前检作业完成情况： 查与交 教 流 交流与沟通： 角平分线定理以及逆定理 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 A 用数学符号可表示： 学 针 ∵点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB） D ∴ P 对 角平分线的判定定理： 过 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 O B E 用数学符号可表示： 性 ∵ ∴点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB） 程 授 探究一 应用角平分线性质证明线段相等--------------------性质 如图2，在△ABC中，∠C＝90，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，课 BD＝DF．求证：CF